山西大学附中高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1若，则（ ）a b c d【知识点】集合运算 a1【答案】【解析】b解析：因为,所以 因此，故选b.【思路点拨】根据集合的运算直接求解即可.【题文】2已知命题：对任意的，有，则是（ ）a存在，有 b对任意的，有c存在，有 d对任意的，有【知识点】全称命题 a3【答案】【解析】c解析：命题：对任意的，有，由全称命题的否定是特称命题可得:是“存在，有”.故选c.【思路点拨】由全称命题的否定是特称命题直接可得.【题文】3若公比为2且各项均为正数的等比数列中，则的值等于（ ）a2 b4 c8 d16【知识点】等比数列d3【答案】【解析】b解析：因为所以.故选b.【思路点拨】因为，由等比数列性质可得，可求，从而可求.【题文】4设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件a2【答案】【解析】c解析：当时，充分性成立；当为纯虚数时，必要性成立.故选c.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5已知角的终边过点，则的值是（ ）a b c或 d随着的取值不同其值不同【知识点】三角函数定义c1【答案】【解析】b解析：因为角的终边过点所以，所以，故选b.【思路点拨】由三角函数定义，即可求得.【题文】6已知直线及平面，则下列命题正确的是 （ ）a. b. c. d. 【知识点】命题的真假判断a2【答案】【解析】d解析：a中还可能相交，b中还可能，c中还可能，故选d.【思路点拨】由空间中线面的位置关系即可求得结果.【题文】7曲线上的点p处的切线的倾斜角为，则点p的坐标为 （ ）a b cd【知识点】导数应用b12【答案】【解析】d解析：因为所以，代入，得，因此点p的坐标为，故选d.【思路点拨】由，可得点p横坐标，代入可求纵坐标. 【题文】8“”是“函数在区间上为增函数”的（ ） a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 a2【答案】【解析】a解析：当时，此函数在区间上为增函数，充分性成立；当函数在区间上为增函数时，它的单调增区间为，所以，因此必要性不成立，故选a【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】9. 下列函数中周期是2的函数是 （ ）a bc d 【知识点】函数周期 c8【答案】【解析】c解析：a中周期为1；b中周期为1；c中周期为2；d中周期为1.故选c.【思路点拨】正弦余弦函数的周期为，正切函数的周期为.【题文】10椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为的值为（ ）a bcd【知识点】椭圆的应用 h5【答案】【解析】a解析：把代入椭圆得，整理得，设，则 ，线段的中点坐标为 过原点与线段ab中点的直线的斜率答案：a【思路点拨】把代入椭圆得，由根与系数的关系可以推出线段ab的中点坐标为，再由过原点与线段ab中点的直线的斜率为，能够导出的值【题文】11数列满足，且对于任意的都有则等于（ ） a b c d【知识点】数列递推式；数列的求和 d1 d4【答案】【解析】b解析：因为， 用叠加法： ， 所以，所以 ，故答案为：b.【思路点拨】先找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，即可得到结论.【题文】12已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）a b c d【知识点】根的存在性及根的个数判断b1【答案】【解析】d解析：函数，作出的简图，如图所示：由图象可得当在上任意取一个值时，都有四个不同的x与的值对应再结合题中函数 有8个不同的零点，可得关于k的方程有两个不同的实数根，且应有 ，解得，故选d 【思路点拨】方程有8个不同实数解，即要求对应于等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间时符合题意再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案.【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）【题文】13某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_【知识点】简单随机抽样 i1【答案】【解析】 解析：由题意可得中年职工180人，老年职工90人，青年职工与老年职工的比例为16:9，所以样本中的老年职工人数为18.故答案为18.【思路点拨】分层抽样中要保持总体和样本中原有比例不变.【题文】14设实数满足，则的最大值为 【知识点】简单线性规划 e5【答案】【解析】 解析：由题意作出所对应的可行域，（如图）：目标函数的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点a时，斜率最大，而由 解得，即点a的坐标为，所以直线oa的斜率为： ，故则的最大值为，故答案为：.【思路点拨】由题意作出可行域，目标函数的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点a时，斜率最大，只需解方程组求解a的坐标即可得答案【题文】15已知在时有极值0，则的值为 【知识点】导数与极值 b12【答案】【解析】 解析：由题意可得，且满足 即 或，当时，此时单调递增，无极值；所以，因此故答案为-7.【思路点拨】由导数定义可得，从而可得的值.【题文】16已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_。22正视图侧视图俯视图【知识点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体 g8 g2 g12【答案】【解析】 解析：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故，所以外接球的表面积为：故答案为：6【思路点拨】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17（本小题满分12分）公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式【知识点】等差数列，等比数列 d2 d3【答案】【解析】() () 解析：() 6分 () 12分【思路点拨】由成等比数列，可求首项与公差，从而可求的通项公式；再由可得数列的递推公式，利用叠加法即可求出数列的通项公式.【题文】18（本题满分12分）已知集合，.（）在区间上任取一个实数，求“”的概率；（）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率【知识点】几何概型，古典概型 k2 k3【答案】【解析】（）（） 解析：（）由已知， ，2分设事件“”的概率为，这是一个几何概型，则.6分（）因为，且，所以，基本事件共12个：，. 2分设事件为“”，则事件中包含9个基本事件，10分事件的概率.12分【思路点拨】由题意得，根据几何概型的概率公式即可求解；需要列出符合题意的基本事件的个数以及满足题意的基本事件的个数，再按公式代入求解.【题文】19（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（）求证：平面；（）求三棱锥的体积第19题图【知识点】线面平行的判定，锥体体积求法 g4 g1【答案】【解析】（）略（）1解析：（）由题意知，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，2分又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，易求得，4分四边形是平行四边形，平面 6分（） 12分【思路点拨】由题意取中点，作平面，点落在上，可求四边形是平行四边形，可得；利用等体积法即可求解.【题文】20（本小题满分12分）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率【知识点】直线与椭圆 h8【答案】【解析】（1）（2）和 解析：（1）由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；4分(2) 根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，令，解得 7分设、两点的坐标分别为，）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得9分）当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以，即又将代入，消去得，解得或（舍去），将代入，得所以，经检验，所求k值均符合题意。 11分 综上，k的值为和 12分【思路点拨】设，联立，消去y得，令，解得然后分为直角和或为直角两种情况时讨论即可.【题文】21.（本题满分12分）已知，函数（）若，求曲线在点处的切线方程.（) 若，求在闭区间上的最小值.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 b11 b12【答案】【解析】（）（)当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是. 解析：（）当时，所以曲线在点处的切线方程为；（）记为在闭区间上的最小值 令，得到当时，比较和的大小可得；当时，在闭区间上的最小值为【思路点拨】（）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值【题文】选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）【题文】22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲：如图所示，已知与相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且（）求证：；（）若，求的长第22题图【知识点】弦切角 n1【答案】【解析】（）略（） 解析：（）,2分又, ,， ， 4分又，5分（）, ， 由（1）可知：，解得.7分 是的切线，解得10分【思路点拨】利用与已知可得ec的长，进而得到be，利用相交弦定理可得，得到ae再利用，可得，得到pe，进而得到pb，再利用切割线定理可得即可得出.【题文】23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值【知识点】简单曲线的极坐标方程n3【答案】【解析】（）（）的最小值为4 解析：（）由，得所以曲线c的直角坐标方程为.5分（）将直线的参数方程代入，得.设、两点对应的参数分别为、，则， ，当时，的最小值为4. 10分【思路点拨】（1）利用 即可化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入，利用