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第二讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离）2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：即 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。4、 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式或(2)解方程(3)据二次函数的图象写出二次不等式的解集。二、范例讲解：例1、解下列不等式（1） (2) （3）|x-3|-|x+1|1(1)解：原不等式等价于，所以不等式解集为(2)解：（1）法一：原不等式或由解得，由解得原不等式的解集是法二：原等式等价于原不等式的解集是o-33x9y3法三：设，由解得非曲直，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使的的范围是，原不等式的解集是评析：数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。（3）分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）当时， 41 当时，当时-41 综上，原不等式的解集为也可以这样写：解：原不等式等价于或或 ，解的解集为，的解集为x|x方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|变式：（1）若恒成立，求实数a的取值范围。解：由几何意义可知，的最小值为1，所以实数a的取值范围为。（2）数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。解：设M（x，0）则它到A、B、C三点的距离之和即由图象可得：当例2、解关于的不等式解：原不等式化为 变式：已知不等式解：由题意可知 且5和1是方程的两根 故的值分别为例3、解关于x的不等式ax222xax（aR）.解：原不等式变形为ax2+（a2）x20.a=0时，x1；a0时，不等式即为（ax2）（x+1）0，当a0时，x或x1；由于（1）=，于是当2a0时，x1；当a=2时，x=1；当a2时，1x.综上，当a=0时，x1；当a0时，x或x1；当2a0时，x1；当a=2时，x=1；当a2时，1x.变式：解关于的不等式。走向高考P11考例4。例4、已知抛物线（1） 当为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2） 若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围。（3） 如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于C点，且ABC的面积等于2，试确定的值。解：（1），得且 （2），得或（3）或。变式：（04江苏高考）二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是_.或例5、已知适合不等式|x24x+a|+|x3|5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式.解：x3，|x3|=3x.若x24x+a0，则原不等式化为x23x+a+20.此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24x+a0不成立.于是，x24x+a0，则原不等式化为x25x+a20.x3，令x25x+a2=（x3）（xm）=x2（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，a=8.此时，原不等式的解集为x|2x3.备：例6、关于x的不等式的整数解的集合为2，求实数k的取值范围.解：由x2x20可得x1或x2.的整数解为x=2，又方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为k和.若k，则不等式组的整数解集合就不可能为2；若k，则应有2k3.3k2.综上，所求k的取值范围为3k2.三、 小结：1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意义，掌握其基本类型。2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，结合数轴解决。3、解一元二次不等式时，应当考虑相应的二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑相应的