高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》.doc

平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、12一、选择题1.(2012年高考重庆卷)设xr,向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|等于(b)(a)5(b)10(c)25(d)10解析:ab,x-2=0,x=2.|a+b|=a2+b2+2ab=a2+b2=4+1+1+4=10.故选b.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点a(-1,0),b(1,3),向量a=(2k-1,2),若aba,则实数k的值为(c)(a)2(b)1(c)-1(d)-2解析:由ab=(2,3),因为aba,所以2(2k-1)+23=0,得k=-1,故选c.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(b)(a)ab (b)ab(c)|a|=|b|(d)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,ab=0,ab,故选b.法二几何法:如图所示,在abcd中,设ab=a,ad=b,ac=a+b,db=a-b,|a+b|=|a-b|,平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形abcd为矩形,ab,故选b.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,ab=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(a)(a)-4(b)4(c)-2(d)2解析:cos=ab|a|b|=-1263=-23,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos=6(-23)=-4,故选a.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120,则|2a+b|等于(a)(a)2(b)4(c)25(d)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4ab=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos 120=4,所以|2a+b|=2,故选a.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos ,sin ),向量b=(3,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为(b)(a)42,0(b)4,0 (c)16,0(d)4,42解析:|2a-b|=|(2cos -3,2sin -1)|=(2cos-3)2+(2sin-1)2=8-8sin+3,所以最大值和最小值分别为4,0.故选b.二、填空题7.单位圆上三点a,b,c满足oa+ob+oc=0,则向量oa,ob的夹角为.解析:a,b,c为单位圆上三点 ,|oa|=|ob|=|oc|=1,又oa+ob+oc=0,-oc=ob+oa,oc2=(ob+oa)2=ob2+oa2+2oboa,可得cos=-12,向量oa,ob的夹角为120.答案:1208.(2011年高考天津卷)已知直角梯形abcd中,adbc,adc=90,ad=2,bc=1,p是腰dc上的动点,则|pa+3pb|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设c(0,b),则b(1,b),又a(2,0),设p(0,y),则pa+3pb=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),|pa+3pb|2=25+(3b-4y)2,当3b-4y=0,即y=34b时,|pa+3pb|2的最小值为25.|pa+3pb|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义ab=mn-pq,下列等式中,aa=0;ab=ba;(a+b)a=aa+ba;(ab)2+(ab)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由ab的定义可知,aa=mn-mn=0,故正确,ab=mn-pq,ba=pq-mn,故错误,a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)a=(m+p)(n+q)-mn,而aa+ba=pq-mn,故错误,(ab)2=(mn-pq)2,(ab)2=(mp+nq)2,所以(ab)2+(ab)2=(m2+q2)(n2+p2),故正确.答案:三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c=(x,y),由ca和|c|=25,可得:1y-2x=0,x2+y2=20,x=2,y=4或x=-2,y=-4,c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0,2|a|2+3ab-2|b|2=0,25+3ab-254=0,ab=-52,cos =ab|a|b|=-1,0,=.即a与b的夹角大小为.11.在abc中,角a、b、c的对边分别为a、b、c.若abac=cacb=k(kr).(1)判断abc的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)abac=cbcos a,cacb=bacos c,bccos a=abcos c,根据正弦定理,得sin ccos a=sin acos c,即sin acos c-cos asin c=0,sin(a-c)=0,a=c,即a=c.则abc为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得abac=bccos a=bcb2+c2-a22bc=b22.abac=k=2,即b22=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,3cos x-sin x),n=sinx+6,sinx,且满足f(x)=mn.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设abc的内角a满足f(a)=2,a、b、c分别为角a、b、c所对的边,且abac=3,求边bc的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（32sin x+12cos x）+3sin xcos x-sin2 x=23sin xcos x+cos2 x-sin2 x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,由2k-22x+62k+2,kz,得k-3xk+6,kz,故所求单调递增区间为k-3,k+6(kz).(2)由f(a)=2