浅议高三学生良好数学认知结构的培养.doc

浅议高三学生良好数学认知结构的培养肖定涛（广东省中山市桂山中学 中山 528463）作者简介：姓名： 肖定涛出生年月 1971年10月性别 男民族 彝族籍贯 贵州省六枝特区职称 中学数学一级教师学位 学士通信地址： 中山市桂山中学 肖定涛 邮编 （528463） 联系电话 ： E-mail 浅议高三学生良好数学认知结构的培养桂山中学 肖定涛 摘要： 高三数学复习要抓住培养学生良好数学认知结构这一目标来组织教学，本文通过利用“最近发展区”、“采点复习”、“形成层次分明的观念网络结构”、“注重数学思想方法的教学”、“进行化归解题策略的训练”等等教学设计来力图达到培养学生良好数学认知结构这一目标关键词：高三学生、数学认知结构、培养正文：提到高三数学复习，大家自然避不开那一份份试卷，一本本复习参考书，亦真亦假的信息题，学生埋头于总也做不完的试卷之中，教师则在茫茫的题海之中殚精竭虑地选试题；为了避免师生在题海之中盲目“扑腾”的现象，在我们为书山题海所困时，就需要有一指引航海的“灯塔”，让我们跳出“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的困境，从而提高复习的效率，这“灯塔”即指我们复习的目标是什么？以及如何有效地达到目标？为此，笔者从认知学习理论的角度对这个问题加以探讨，以期能抛砖引玉，得到大家的指点。一，复习的目标是培养学生良好的数学认知结构美国著名的教育心理学家奥苏贝尔的有意义学习理论认为：有意义学习是“符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质性的联系，所以，学习者在学习过程中所构建的数学认知结构的优劣与正误直接影响了学生学习的效率，学习效果与学习态度。那么，什么是数学认知结构呢？华南师范大学何小亚教授认为：数学认知结构是与数学知识结构密切相关的一个概念，数学知识结构指的是由数学的概念、公式、法则、定理和性质等知识内容所构成的系统，是客观存在的，不以人的意志为转移。而数学认知结构是主体对数学知识结构认识的结果，它的优劣与正误的差别反映了主体学习数学和解决数学问题的能力，所以数学认知结构是学习者头脑里的数学知识结构，是学习者在学习过程中逐步积累起来的在数学方面的主观经验系统，它反映了学习者对数学的理解和看法，具有主观性和发展性。数学知识结构不会主动转化为学生的数学认知结构，只有在精心设计的教学环境之中，学生通过有意义的学习，才能构建自已的数学认知结构，也才有数学能力可言。 所以，高三复习的实质是学生在教师的帮助下主动地建构自已的数学认知结构的过程。由于数学认知结构有优劣与正误之分，要指导好学生的高三数学复习，必须了解良好数学认知结构的特征，一般说来，良好的数学认知结构具有如下的特征：（1）具备足够的基本概念、公式、定理、公理等，不能有知识断链与破网，（2）具备稳定而灵活的产生式，即学习者头脑之中贮存了一系列以“如果那么”的形式表示的规则，也相当于是适量的定势思维，（3）层次分明的观念网络结构，（4）一定的问题解决策略的观念，何小亚与新课程同行数学学与教的心理学第83页广州华南理工大学出版社2004 何小亚与新课程同行数学学与教的心理学第101页广州华南理工大学出版社2004何小亚与新课程同行数学学与教的心理学第104页广州华南理工大学出版社2004二，培养学生良好数学认知结构的教学设计（一）教学要以学生原有的数学认知结构为起点，充分利用学生的“最近发展区”提高教学效率奥苏贝尔的有意义学习理论认为：学生进行有意义学习，必须具备三个条件：（1）学习材料本身具有意义，（2）学习者认知结构中具备适当的观念，（3）学习者具有有效学习的动机。这三个条件之中，第（2）个条件说明了要使学生有效地接纳新知识，学生的认知结构中必须具备适当的基础，因此，要发展学生的数学认知结构，教师首先必须熟悉学生原有的数学认知结构，这样才能知道选择教什么和如何教，有效的教学实质上是把学生的“最近发展区”转化为“现有发展水平”的过程，如图1所示：现有水平最近发展区潜在水平新的现有水平图1新的最近发展区新的潜在水平第三级现有水平第三级最近发展区第三级潜在水平图1从教的方面而言是一种螺旋式思维的教学结构，关注学生知识的“增长点”，通过变式与题组给学生搭上一座桥，使学生能把新知识与自已原有的知识联系起来，从而扩展原有的认知结构，下面举两例加以说明这种教学设计的思想。1，在公式的复习过程之中，通过变式让学生对公式的理解上升到“同构图式”的表象阶段，例1：复习公式时，设计如下变式（1）已知，则（2）已知，则做完了（2），学生对两角和公式中的就有了深刻的认识，即可以是一个角，也可以是一个式子和，这时就可以引导学生理解公式的特点，即公式中“关系的不变性”与“字母的可变性”特点，这样，学生对两角和正切公式的理解就上升到“同构图式”的理解阶段，即学生头脑之中形成了这样的公式：（其中之中可以填入任何角或式子）当对公式的理解达到了这一步，对公式就可以灵活运用了，从而具备了较强的迁移能力。谢全苗思维的“最近发展区”的开发与利用数学通报2004年第8期2，对于一些比较抽象的较难的内容，应该将它划分为一些小步子，分散难点，各个击破。例2，是否存在常数，使偶函数？学生若一开始就做这道题，因为同时有两个参数，会感到无从下手，所以设计如下的题组过渡，（1）判断函数的奇偶性？（2）判断函数的奇偶性？（3）是否存在常数，使偶函数？当学生做完（1）（2）（3）三题之后，对原题就不再害怕了，而是有信心自已去思考和解决了。 图1从学的方面来说，表明学生是在不断地完成“平衡不平衡平衡”的过程中发展起来的，在这一平衡与不平衡之间的相互转化的过程中，当学生所接触到的问题、知识正好符合自已思维的“最近发展区”时，他们便会在教师的指导下，利用已有的知识，经过合作，努力使问题得到圆满解决，从而得到心理满足，产生新的心理需要，进而产生较为稳定的和持久的学习兴趣，同时又会具有获得新知识的动机，此时，他们学习的思维活动是主动的积极的，否则，学生的思维就会处于低潮，高三复习之中之所以会产生“高原现象”，很大程度在于高三的数学教学或者没有挖掘学生的潜能，在原有的知识上炒冷饭，让学生感到乏味，或者是不符合学生实际的提高，使所学习内容远离学生的“最近发展区”，让学生感到高不可攀而失去信心。（二）采点复习，形成良好的产生式，构建知识组块， 丰富学生的认知结构现代认知心理学关于“优生系统”的研究表明，优生之所以比差生善于解决问题，在于优生比差生具备了更多的知识组块与思维组块，故而学生良好的数学认知结中，首先要具备足够的观念（这儿指产生式知识），故在复习的起始阶段，必须对高中数学的所有知识点进行全面的普查，做到疏而不漏，应用“采点复习”的方法，以课本为载体，把每个知识点的内涵与外延全部弄懂，并能用来解决相关的问题，这个阶段是学生构建良好数学认知结构的基础，要舍得花时间，下面举例加以说明。比如椭圆的概念，可设计如下的题型，以消除学生理解上容易产生的误区：例3，平面内有动点和定点，根据下列条件判断点的轨迹（1）（2）（3）其中（1）的轨迹为椭圆，（2）的轨迹为线段（3）的轨迹不存在，通过这样的例子，学生对椭圆的概念的本质有了全面的认识，深化了对椭圆概念的理解。又如均值不等式（当且仅当时取“”）的理解，可以设计如下的题型，例4，（1）时，求的最小值？（2）时，函数有最小值吗？（3）函数的最小值为2吗？何小亚与新课程同行数学学与教的心理学第104页广州华南理工大学出版社2004其中（1）的最小值为2，（2）没有最小值（3）的最小值为通过这样的练习，学生对均值不等式中所要求的各项条件有了深刻的体会，再看一个例子，对于线性规划的目标函数的理解，设计如下题型，例5，设实数满足条件如图2（1）求的最小值与最大值？（2）求的最小值与最大值？图2（3）求的最小值与最大值？（4）求的最小值与最大值？ 其中（1）表示可行域上的点到坐标原点的距离，最大值为，最小值为，（2）化为，即表示直线的纵截距，最大值为，最小值为，（3）表示可行域上的点与坐标原点所在直线的斜率，最大值为，最小值为，（4）表示可行域上的点到直线的距离，最大值为，最小值为。通过这样练习，学生对目标函数的几何意义就有了明确的理解。通过如上这样的复习，学生自然会形成各个不同的知识组块，形成不同的产生式，为构建良好的数学认知结构打下了扎实的基础，当学生的基础知识丰富了以后，有了足够的观念，以后碰到相应的条件，便会作出相应的反应，这时就形成了稳定而灵活的产生式结构，从而具有较好的迁移能力，下面举例说明：如学生头脑之中已经有了做如下这道题目的“知识组块”，例6，已知是直线同侧的两点，试在上求一点，使得最小（学生头脑之中已经有了这样的知识组块：即作其中一点关于的对称点，然后连结线段，与直线的交点即为所求点，原理是利用三角形两边之和大于第三边，即在上另找一点，则）当学生认知结构之中存储了如上的知识组块后，就具备了迁移能力，对付如下的问题不会有多大的困难（1）设是平面同侧两点，试在平面上求一点，使最小？（2）设分别是二面角的面上的点，试在棱上求一点，使最小？（3）是一个长方体，一只蜘蛛要从顶点沿表面爬到顶点，它怎样爬才最近？（三）形成层次分明的观念网络结构解决问题的思路探索过程实质上是由一连串的产生式构成的，在解决者具备相关稳定的产生式的前提下，如何从问题情境中识别出相关信息并与众多的产生式中的条件信息相匹配是成功解决问题的关键，而要顺利地从大量的记忆信息之中正确检索出所需要的“匹配信息”，关键在于对记忆的信息进行组织，形成记忆网络，下面介绍两种办法。1，利用框图、表解等，让概念、公式、定理、性质等形成层次分明的结构如进行不等式这一章的第一轮复习时，可让学生先进行必要的回顾与阅读，然后师生共同构建如下的知识结构图，不等式均值不等式不等式的证明比较法综合法分析法反证法换元法放缩法不等式的证明一元二次不等式高次不等式分式不等式含绝对值不等式不等式的应用函数的定义域函数的值域函数的单调性二次方程根的分布最值问题不等式的应用问题参数范围的问题通过这个框图，学生对不等式这一章的内容有了较好的归纳，又如，立体几何中，有关多面体的概念，学生容易混淆，若构建如下的框图，则有利于学生对概念的把握，棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是四边形底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面是正方形侧棱与底过相等再看一个用表建立公式之间关系与规律的例子，如等差、等比数列的主要性质归纳如下，有利于信息的检索性质类别等差数列等比数列为正整数为正整数为正整数为等差中项：为等比中项：连续多项的积构成等差数列构成等比数列2，通过串线的形式将知识点形成网络结构串线巩固，即将松散的知识点联结成网状体系，形成知识的系统结构，达到牢固掌握的目的，在这个阶段，主要通过章节小结和单元测试等来完成，下面介绍这一做法。（1）挑准串线的知识点，串线巩固不可能把所有的知识点都串在一起，但对于一些重要或易于出错的知识点，必须保证其复现率，达到清扫知识“死角”的目的，比如由等比数列中公比的意义可知，这个知识点易为学生所疏忽，应通过多次复习，以引起学生的高度重视，例7，等比数列满足，求的范围，？由数列极限的定义易得，这样就漏掉了这个条件，正确的结果应为，且（2）在知识点交汇处选题在知识的交汇处选题，可以强化基础知识，把握纵横联系，构建知识网络，揭示普遍规律，有利于学生把不同知识组块融会之后从而形成更大的知识组块，从而形成更高级的“思维组块”，高中数学常见的知识交汇处如三角与向量、解几与向量、数列与解几、数列与不等式、函数与导数及不等式、函数与数列等等，充分利用好这些交叉点进行知识整合，有利于学生构建良好的数学认知结构，有利于提高复习的效率。如汲及到函数、导数、等比数列三大知识组块的一道题目如下：例8，（04年全国卷4）已知函数，将满足条件的所有正数从小到大排成数列，证明数列为等比数列，解：，所以故而，所以（常数）从而数列是以为首项，以为公比的等比数列，这道题汲及到的知识多，从而有利于学生对函数、导数、三角的理解，从而构建三者之间的联系网络。（四）注重数学思想方法的教学具有良好的数学认知结构，学生越易迁移到对新情境的学习中，知识的概括性越高，其应用的范围就越广，随时可以用于任何情境之中的类似问题，有利于知识的保持；数学思想方法是数学中的一般性的原理，具有高度的概括性，有助于学习的迁移，故而在高三复习之中，要发展学生良好的数学认知结构，就必须突出数学思想方的教学，帮助学生建构思想方法层次上的数学观念，例如：象配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法，象观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法，以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、数形结合等这一类的高层次的思想观念。在具体的教学之中，教师可采用对题目归类的形式，将思想方法有相似之处的习题放在一起练习，让学生形成知识组块，并使平时零碎的知识系统化，例如类比的思想，例9，（1）（00年上海高考题）在等差数列中，若，则有等式，类比上述性质，在等比数列中，若，则有等式（答案：）（2）（04广东高考15题）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: （答案：）再如数形结合的思想，例10，（1）（03年高考试题全国试题的14题）“使成立的的取值范围是 .”用数形结合的方法，很快就会得到答案：（2）已全集，集合，求集合？解：如图3：从图直观得出图3ABCD（3），（02年上海春季高考试题第7题）如图4，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建 三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有 种.此题若把四个小岛与四面体的四个顶点相联系起来，则相当于四面体的6条棱中选3条出来，有多少种情况能把4个顶点全部连起来问题，那么此题的答案为 图4通过这种归纳，使学生领会不同内容的联系性，思想方法的一致性，提高数学思维的理性，从而形成主知结构的系统性。（五）进行化归解题策略的训练问题是数学的心脏，良好的数学认知结构之中包含有一定的问题解决策略，解决数学问题时，关键是把要解决的问题与原有认知结构之中相应的知识联系起来，在波利亚的怎样解题之中，强调将要解决的问题转化为已经解决或者容易解决的问题，并最终使问题得以解决，即数学之中的化归策略，这里举些例子加以说明一定的化归策略训练。1，化陌生为熟悉，即把似曾相识或陌生的问题转化为熟悉的问题 例11，（1）（05年武汉市9月调题）双曲线的对称轴与双曲线的交点即为双曲线的顶点，则双曲线的实轴长为解：我们课本上所给出的双曲线方程一般为标准方程，或对称轴平行于坐标轴的方程，所以学生在做这道题目时波利亚著涂泓、冯承天译上海科技出版社出版2002,6感到陌生， 但若将方程（陌生）化为（熟悉），那么学生对此双曲线的图象就心中有数了，即是反比例函数经过向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，故而它的实轴所在直线为一三象限的角平分线，故实轴长为（2）已知方程，其中，求此方程解的个数？解：这种方程与我们平时所见的方程不同，末知数的个数多于方程个数，称为不定方程，学生会感到陌生，若用列举法解，则太过繁杂，但若与我们排列组合联系起来，则易于理解，题目转化为：有16个相同的小球，放入三个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，则不同的放法有多少种？用“隔板法”即可得到有种放法，即方程共有105组不同的整数解。2，化繁为简：面临一个复杂的问题时，应设法将其转化为简单问题或相关的简单问题例12，（1）求方程在的解的个数，解：三次方程的求根公式没有介绍过，所以不能直接求根，题目实际上是求函数在与轴交点个数的问题，设，经检验可知处取得最大值，函数在上的单调性为：在时为增函数，此时在时为减函数，此时，故函数在与轴只有一个交点，即方程只有一个根，（2）解方程：分析：若用两次平方的办法，则此题化为4次方程，特别复杂，用换元法也无法化为二次方程，但若构造椭圆的方程求解，则此题简便好多，解：原方程化为，设，则原方程化为下面的方程组其中（1）式表示到两点距离和为的动点的轨迹方程，由椭圆定义可知，（1）式表示椭圆的方程，两焦点为，长轴长为，焦距，故而，所以椭圆的方程化为，令，则，此即为原方程的解，3，特殊与一般化：当面临一个十分困难的一般性问题时，可以先退一步，从简单的特殊形式入手，通过研究特殊形式而发现一般规律，从而使问题得以解决。例13，（1）（06年安微高考题）已知函数在上有定义，对任何实数，和任何实数，