高中直线与圆的方程总结及经典习题.doc

高中直线与圆的方程总结及经典习题一、概念理解：1、倾斜角：找：直线向上方向、x轴正方向； 平行：=0； 范围：0180 。2、斜率：找k ：k=tan （90）； 垂直：斜率k不存在； 范围： 斜率 k R 。3、 斜率与坐标： 构造直角三角形（数形结合）； 斜率k值于两点先后顺序无关； 注意下标的位置对应。4、 直线与直线的位置关系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直时： ； 斜率都存在时： 。 平行： 斜率都存在时：； 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 重合： 斜率都存在时：；二、方程与公式：1、直线的五个方程： 点斜式： 将已知点直接带入即可； 斜截式： 将已知截距直接带入即可； 两点式： 将已知两点直接带入即可； 截距式： 将已知截距坐标直接带入即可； 一般式： ，其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式： 两点间距离： 点到直线距离： 平行直线间距离： 4、中点、三分点坐标公式：已知两点 AB中点： AB三分点： 靠近A的三分点坐标 靠近B的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P（x，y），则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp的中点坐标在已知直线上。3、 解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）： 建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； 依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；yxo 将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。2、 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、 直线必过点： 含有一个参数-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必过点(-2,3) 含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 = 必过点(-1/7,3/7)4、 易错辨析： 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） 直线到两定点距离相等，有两种情况： 直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程 其中圆心，半径.当时，方程表示一个圆，当时，方程表示一个点.当时，方程无图形.第二种：圆的标准方程.其中点为圆心，为半径的圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程：（为参数）注：圆的直径方程：已知3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆外4. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；时，与相交；，时，与相离. 5、 圆的切线方程： 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*R2-d2 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。9.圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标练习：一、选择题1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案C2过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A. B.C2 D3解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，则切线方程为x0xy0y1.分别令x0，y0得A(，0)，B(0，)，|AB|2.答案 C3若直线2xya0与圆(x1)2y21有公共点，则实数a的取值范围()A2a2 B2a2Ca Da解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有1，解得2a2.答案B4设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|()A4 B4 C8 D8解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(xa)2(ya)2a2，将点(4,1)代入得a210a170，解得a52，设C1(52，52)，则C2(52，52)，则|C1C2|8.答案C5直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M、N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析如图，若|MN|2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d222()21.直线方程为ykx3，d1，解得k.若|MN|2，则k.答案B6若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a，b满足的关系是()Aa22a2b30Ba2b22a2b50Ca22a2b50Da22a2b50解析 即两圆的公共弦必过(x1)2(y1)24的圆心，两圆相减得相交弦的方程为2(a1)x2(b1)ya210，将圆心坐标(1，1)代入可得a22a2b50.答案C7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）A B C D答案B二、填空题8已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a0，则圆C的半径为|a1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，()2()2|a1|2，解得a3或a1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为xy30.答案 xy309过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，化简得7k224k170，k1或k.答案1或10已知直线xym0与圆x2y22交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|，那么实数m的取值范围是_解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x22mxm220，4m28(m22)0得m24，即2m2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，|即|，平方得0，即x1x2y1y20，即x1x2(mx1)(mx2)0，即2x1x2m(x1x2)m20，即2m(m)m20，即m22，即m或m.综合知2m或m2.方法2：根据向量加减法的几何意义|等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A，B是直线xym0与圆x2y22的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m满足1，即2m或者m2，b2)(1)求证：(a2)(b2)2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求AOB面积的最小值解析 (1)证明：圆的标准方程是(x1)2(y1)21，设直线方程为1，即bxayab0，圆心到该直线的距离d1，即a2b2a2b22ab2a2b2ab2a2b2，即a2b22ab2a2b2ab20，即ab22a2b0，即(a2)(b2)2.(2)设AB中点M(x，y)，则a2x，b2y，代入(a2)(b2)2，得(x1)(y1)(x1，y1)(3)由(a2)(b2)2得ab22(ab)4，解得2(舍去2)，当且仅当ab时，ab取最小值64，所以AOB面积的最小值是32.16已知圆C的方程为x2y24.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解析(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y2k(x1)，则由2，得k10，k2，从而所求的切线方程为y2和4x3y100.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x1，l与圆的两个交点