09—10年高三数学高考模拟试题压轴大题选编.doc

0910年高三数学高考模拟试题压轴大题选编1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次月考）已知在数列中，其中，是函数的一个极值点.(1)求数列的通项公式；(2)若，求证：.解答. (1) 由题意得： ，即 故，则当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以 由此式对也成立，所以6分（2），因为，所以，则 ，有故12分2.（南充高中2010届高三第二次月考）已知函数f(x)=，其中n（1）求函数f(x)的极大值和极小值；（2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若pq对一切nN恒成立，求实数p和q的取值范围解答（1） =，1分=。2分令，从而x1x2x3. 当n为偶数时f(x)的增减如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00+无极值极大值极小值所以当x=时，y极大=；当x=1时，y极小=0. 5分当n为奇数时f(x)的增减如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00无极值极大值无极值所以当x=时，y极大=。8分（2）由（1）知f(x)在x=时取得最大值。所以=，=23=，=。，即；所以实数p和q的取值范围分别是，。143.(2010届扬州市高三数学学情调研测试)已知数列，设 ，数列。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解答：（1）由题意知，数列的等差数列（2）由（1）知，于是两式相减得（3）当n=1时，当当n=1时，取最大值是又即4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次月考)已知函数. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）若在0，2上是增函数，是方程的一个实根，求证：；（2）若的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数的取值范围. 解答：（1） 由题可知在0，2上恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时此式显然成立，；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时有恒成立，易见应当有，可见在0，2上恒成立，须有 又 （2）设是图象上的两个不同点，则此式对于恒成立，从而 此式对于也恒成立，从而注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.(衡阳市八中2010届高三第二次月考数学（理科）设函数， (1) 求函数的极大值与极小值；(2) 若对函数的，总存在相应的，使得成立，求实数a的取值范围.解答(1)定义域为R -30+0极小值极大值令，且 ：极大值为，极小值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)依题意，只需在区间上有 在，取小值或 又 当时，当时， 又在 式即为 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解的 （无解） 6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理）已知函数（）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当时，求函数的最大值；（）当时，且，证明：.解答：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 2分由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 4分（2）当时，由，得 当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 同理可得， 12分法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减 即 ，综上成立 12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 其中7.(银川一中2010届高三年级第二次月考)已知 （）当且有最小值为2时，求的值； （）当时，有恒成立，求实数的取值范围解答（1）=又，当，解得当，解得，舍去所以（2），即，依题意有而函数因为，所以8.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解答:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得 所以9.(广东省广州市2010届第二次调研数学试题（理科）.设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解答: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知是定义在-1,1上的奇函数，且，若任意的，当时，总有（1）判断函数在-1,1上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围解答（1）在上是增函数，证明如下：任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数；（2）由在上是增函数知：，故不等式的解集为（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为Rw.w.w.k.s.5.u.c.o.m11.(湖北黄冈中学2010届8月份月考数学试题（理科）已知（1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围；（2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明解答（1）当时，的图象是开口向上对称轴为的抛物线，的值域为，的值域也为的充要条件是，即b的取值范围为（2），由分析知不妨设因为上是单调函数，所以在上至多有一个解.若，即x1、x2就是的解，与题设矛盾. 因此，由，所以；由所以故当时，方程上有两个解.由消去b，得 由12.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份月考)已知数列中，且w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 求数列的通项公式；() 令，数列的前项和为，试比较与的大小；() 令，数列的前项和为求证：对任意，都有 解：()由题知， ， 由累加法，当时，代入，得时，又，故 4分（II）时，方法1：当时，；当时，；当时，猜想当时， 6分下面用数学归纳法证明：当时，由上可知成立；假设时，上式成立，即.当时，左边，所以当时成立由可知当时, 综上所述：当时,；当时, ；当时, 10分方法2：记函数所以 6分则所以由于，此时；，此时；，此时；由于，故时，此时 综上所述：当时，；当时, 10分（III）当时，所以当时且故对，得证 14分13.(湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理）已知二次函数（为常数且），满足条件，且方程有等根()求的解析式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()设的反函数为,若对恒成立，求实数的取值范围；()是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出 的值，如果不存在，说明理由解：() ， ，又方程有等根 有等根， 3分（）由（I）得 5分对恒成立对， 解得的取值范围是 9分（）为开口向下的抛物线，对称轴为，1 当时，在上是减函数， (*)，两式相减得：，上式除以得：，代入 (*) 化简得：无实数解2 当时，在上是增函数，3 当时，对称轴，与矛盾综合上述知，存在满足条件 13分14. (湖北省部分重点高中2010届高三联考（数学理已知函数（其中为自然对数的底数），。（）若在处的切线与直线平行，试用表示，并求此时在上的最大值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若时方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围；（）在，时,求使的图象恒在图象上方的最大自然数。解：（），由得，2分此时，当时，在上为增函数，则此时；当时，在上为增函数，故在上为增函数，则此时；当时，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，则此时，若，即时，在上为增函数，则此时；综上所述：当时；当时； 6分（），故在上单调递减；在上单调递增；故在上恰有两个相异实根，10分（）恒成立（），因为故在上单调递减；在上单调递增；故（），设，则，故在上单调递增；在上单调递减；而，且，故存在使，且时，时，又故时使的图象恒在图象的上方的最大自然数； 14分15.(湖北省荆州中学2010届高三九月月考数学卷（理科）如果是函数的一个极值，称点是函数的一个极值点.已知函数（1）若函数总存在有两个极值点，求所满足的关系；（2）若函数有两个极值点，且存在，求在不等式表示的区域内时实数的范围.（3）若函数恰有一个极值点，且存在，使在不等式表示的区域内，证明：.解：（1）令得 又 3分（2）在有两个不相等的实根.即 得 7分（3）由当在左右两边异号是的唯一的一个极值点由题意知 即 即 存在这样的的满足题意 符合题意 9分当时，即这里函数唯一的一个极值点为由题意即 即 13分综上知：满足题意 的范围为. 14分16.(湖南省师大附中2010届高三第二次月考数学理试题21.(本小题满分13分)已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.（）求的值；（）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；（）记（）中数列的前项之和为，求证：.【解】（）由题设. （1分）由已知，所以.又b0，所以a3. （2分）因为，则.又a0，所以b2，从而有. （3分）因为，故. （4分）（）设，即. （5分）因为，则，所以. （6分）因为，且bN*，所以，即，且b3. （7分）故. （8分）（）由题设，. （9分）当时，当且仅当时等号成立，所以. （11分）于是. （12分）因为S13，S29，S321，则. (13分)17.(湖南师大附中2010届高三第三次月考试卷)如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB4，POB30，双曲线C以A，B为焦点且经过点P.ABDOP（）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；（）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围.【解】（）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A(2，0），B(2，0），P(，1). （2分）设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则2aPAPB，2c|AB|4. （3分）所以a，c2，从而b2c2a22. （4分）故双曲线C的方程是. （5分）方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A(2，0），B(2，0），P(，1). （2分）设双曲线C的方程为0，b0），则. （3分）解得a2b22，故双曲线C的方程是 （5分）()据题意可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程得，即(1k2)x24kx60. （6分）因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则 即 （7分）设点E(x1，y1），F(x2，y2)，则x1x2. （8分）所以EF分）又原点O到直线l的距离d. （10分）所以SDEF= （11分）因为SOEF，则（12分）综上分析，直线l的斜率的取值范围是，1)(1，1)(1，. （13分）18.(湖南师大附中2010届高三月考试题（一）已知二次函数直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为 （I）求函数的解析式； （II）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围。解：（I）由， 2分 （II）依据定义，7分10分所以，当当 11分因此，关于x0的方程 12分故实数m的取值范围是（4，4）。 1319.(吉林省实验中学2010届高三第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q） （）求椭圆C的方程; （）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解: （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程为 -3分 （）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G， 由得 由解得 因为是方程的两根，所以，于是 =， 因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为即 亦即 解得，此时也成立故直线斜率的取值范围是20.(湖南省长沙市一中2010届高三第四次月考试卷)对于函数，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点如果函数f(x)有且仅有两个不动点0和2()试求b、c满足的关系式；()若c2时，各项不为零的数列an满足4Snf()1，求证：；()设bn，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20091ln2009T2008()设 2分()c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an1当n2时，2 Sn -1an1an12 ，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1，当n1时，2a1a1a12 a11，若anan1，则a21与an1矛盾anan11， ann4分要证待证不等式，只要证 ，即证 ，只要证 ，即证 考虑证不等式(x0) *6分令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) g (x)， h (x)，x0， g (x)0， h (x)0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函数，g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0时，令则*式成立，9分()由()知bn，则Tn在中，令