江苏专用2018届高考数学总复习考前三个月附加题高分练6计数原理二项式定理和数学归纳法理.docx

6计数原理、二项式定理和数学归纳法1已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.(1)求(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CCCCCC；(2)证明：(C)22(C)2n(C)2nC.(1)解(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数为C，由(1x)n1(1x)n(CCxCxn1)(CCxCxn)可知，(1x)n1(1x)n的展开式中含xn的项的系数为CCCCCC.所以CCCCCCC.(2)证明当kN*时，kCknnC，所以(C)22(C)2n(C)2k(C)2(kCC)(nCC)n(CC)n(CC)由(1)知CCCCCCC，即(CC)C，所以(C)22(C)2n(C)2nC.2(2017江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线yx2(x0)上已知点A(0，1)，Pn(x，y)，nN*.记直线APn的斜率为kn.(1)若k12，求P1的坐标；(2)若k1为偶数，求证：kn为偶数(1)解因为k12，所以2，解得x01，y01，所以P1的坐标为(1,1)(2)证明方法一设k12p(pN*)，即2p.所以x2px010，所以x0p.因为y0x，所以knx，所以当x0p时，kn(p)nn(p)n(p)n.同理，当x0p时，kn(p)n(p)n.当n2m(mN*)时，kn2pn2k(p21)k，所以kn为偶数当n2m1(mN)时，kn2pn2k(p21)k，所以kn为偶数综上，kn为偶数方法二因为xx，所以kn2k1kn1kn.k2x22k2.设命题p(n)：kn，kn1均为偶数以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”因为k1是偶数，所以k2k2也是偶数当n1时，p(n)是真命题；假设当nm(mN*)时，p(n)是真命题，即km，km1均为偶数，则km2k1km1km也是偶数，即当nm1时，p(n)也是真命题由可知，对nN*，p(n)均是真命题，从而kn是偶数3(2017江苏扬州中学模拟)在数列an中，ancos(nN*)(1)试将an1表示为an的函数关系式；(2)若数列bn满足bn1(nN*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论解(1)ancoscos221，an2a1，an1，又nN*，n12，an10，an1.(2)当n1时，a1，b1121，a1b1，当n2时，a2，b21，a2b2，当n3时，a3，b31，a3b3，猜想：当n3时，anbn，下面用数学归纳法证明当n3时，由上知，a3b3，结论成立假设当nk，k3，nN*时，akbk成立，即ak1，则当nk1时，ak1，bk11，要证ak1bk1，即证明22，即证明112，即证明20，即证明20，显然成立nk1时，结论也成立综合可知：当n3时，anbn成立综上可得：当n1时，a1b1；当n2时，a2b2，当n3，nN*时，anbn.4已知fn(x)CxnC(x1)n(1)kC(xk)n(1)nC(xn)n，其中xR，nN*，kN，kn.(1)试求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；(2)试猜测fn(x)关于n的表达式，并证明你的结论解(1)f1(x)CxC(x1)1，f2(x)Cx2C(x1)2C(x2)2x22(x1)2(x2)22，f3(x)Cx3C(x1)3C(x2)3C(x3)3x33(x1)33(x2)3(x3)36.(2)猜测fn(x)n！，nN*.以下用数学归纳法证明当n1时，f1(x)1，等式成立假设当nm时，等式成立，即fm(x)(1)kC(xk)mm！.当nm1时，则fm1(x)(1)kC(xk)m1.因为CCC，kC(m1)C，其中k1,2，m，且CC，CC，所以fm1(x)(1)kC(xk)m1x(1)kC(xk)m(1)kkC(xk)mx(1)kC(xk)mx(1)kC(xk)m(m