培优训练题6.docxVIP

1已知函数在（1，+）上是增函数，且a0（1）求a的取值范围；（2）求函数在0，+）上的最大值；（3）设a1，b0，求证：2已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，且使成立（为直线外的一点）？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由3已知函数，（）求函数的单调区间；（）若k为正常数，设，求函数的最小值；（）若，证明：4已知偶函数（）在点处的切线与直线垂直，函数（）求函数的解析式（）当时，求函数的单调区间和极值点；（）证明：对于任意实数x，不等式恒成立（其中e271828是自然对数的底数）5已知函数.（）讨论函数的单调区间；（）已知，对于函数图象上任意不同的两点，其中，直线的斜率为，记，若求证6如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为（）求抛物线的方程；（）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由AEF7已知函数.（）求函数的单调递减区间；（）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（）若正实数满足，证明.8已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率.（）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M.证明；（）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.9已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：10已知函数，其中（）若函数、存在相同的零点，求的值；（）若存在两个正整数、，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.11已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B（）求椭圆的方程；（）若在椭圆上的点处的切线方程是求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；（）记点C为（）中直线AB恒过的定点，问否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由12已知函数（a为常数），曲线yf（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，试卷第9页，总9页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1（1）a1；（2）0；（3）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的单调区间和最值，同时考查不等式的恒成立问题和不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，求出函数的导数，由函数在（1，+）上是增函数，所以在（1，+）上恒成立，运用参数分离，求得最值即可；第二问，求得g（x）的导数，求得单调性，即可得到最小值；第三问，由（1）知在（1，+）上是增函数，所以，由第（2）问可知，化简即可得证试题解析：（1）的导数为，因为函数在（1，+）上是增函数，所以在（1，+）上恒成立，即在（1，+）上恒成立，所以只需，又因为a0，所以a1；（2）因为x0，+），所以所以在0，+）上单调递减，所以在0，+）上的最大值为（3）证明：因为a1，b0，所以，由（1）知在（1，+）上是增函数，所以，即，化简得，又因为，由第（2）问可知，即，综上得证考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明2（）；（）详见解析【解析】试题分析：()此题为待定系数法求椭圆方程的系数的问题，首先根据抛物线的焦点确定顶点，即参数，根据离心率确定，又根据，确定参数，代入方程；（）对于过定点的直线，一般要考虑两种情况，斜率不存在，和斜率存在两种情况，当斜率不存在时，计算的坐标，判定是否满足条件，当斜率存在时，设直线与椭圆方程联立，根据韦达定理，由,代入坐标运算，根据坐标关系消去坐标参数，看是否存在参数试题解析：解：（）由题意得：由，解得，由得：，所以椭圆方程是（）, 当直线的斜率不存在时，,易知符合条件，此时直线方程是当直线的斜率存在时，设直线的方程是，代入得由，解得设，得 由得 由上式消去得：，即矛盾综上，符合条件的直线是考点：1椭圆的标准方程；2直线与椭圆联立的综合问题3（） 的单调递增区间是，单调递减区间是；（）；（）详见解析【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（）第一步，求函数的导数，定义域，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（）首先求函数和函数的定义域，然后求函数的导数，并进行化简，求导数大于0和导数小于0的解集，取得单调区间，同时求最小值；（）此题观察形式，用换元，令，代入第二问的最小值，得到，并进行化简，得到所证明的式子试题解析：解:（），解，得；解，得的单调递增区间是，单调递减区间是（），定义域是由，得，由，得 函数在上单调递减；在上单调递增故函数的最小值是：（）， 在（）中取，可得，即，即考点：1利用导数求函数的单调区间；2利用导数求函数的最值；3利用导数证明不等式；4换元法4（） （）时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；有唯一极小值点时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；函数有一个极大值点和一个极小值点（）详见解析【解析】试题分析：（）因为为偶函数，所以由导数几何意义得 ，又解方程组得所以（）先求的导函数： ，再根据 得导函数的零点： ，比较零点与定义域的关系，进行分类讨论，最后根据导数符号变化规律确定极值 （）先等价转化不等式：“，不等式恒成立”等价于“当时，有恒成立” ，令函数，则，因此，得证试题解析：（）因为为偶函数，所以2分因为，由题意知解得 所以4分（）由题意知，的定义域为，5分因为，则有两个不同解，若，即此时，当变化时，随的变化情况如下表：极小值可知：时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；有唯一极小值点7分若，此时，当变化时，随的变化情况如下表：极大值极小值可知：时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；函数有一个极大值点和一个极小值点综上所述：若，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；有唯一极小值点；若，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；函数有一个极大值点和一个极小值点10分（）当时，函数，令函数则，所以当时，所以函数在上单调递增，又，则时，恒有，即恒成立故当时，有所以，不等式恒成立14分考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性及极值，利用导数证明不等式5（）时，增区间为； 时，增区间为，减区间为（）详见解析【解析】试题分析：（）研究函数单调区间，通常利用导数进行研究，先求导函数，再讨论导函数是否在定义域内有零点（）先根据得到，从而，又为直线的斜率，所以，这样就明确证明的目标：，再转化证明构造函数，利用导数确定其单调性，证明其恒小于零.试题解析：解; 的定义域为当时，在上恒成立，在定义域内单调递增；当时，令解得，（舍负）则时，单调递增；时，单调递减；综上，时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为， 的单调递减区间为 （2）证明：，又，要证：，只需证即证：，设令则令对称轴. ，故在内单调递减，则故.考点：利用导数研究函数单调区间，构造函数证明不等式6（）（）【解析】试题分析：（）由的面积可得B点纵坐标，代入椭圆方程得，再代入抛物线方程得（）面积比的转化是解决问题的关键，本题两个三角形有一个共同角，故利用面积公式：，即，再利用三点OEC共线及三点OFD共线,从而将面积比化为,这样就转化为直线与椭圆及直线与抛物线的位置关系了，利用韦达定理可解决问题试题解析：解: （）因为的面积为,所以，代入椭圆方程得， 抛物线的方程是：（） 存在直线: 符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得设,则由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以可得要使，只需即,解得，所以存在直线: 符合条件考点：直线与椭圆位置关系, 直线与抛物线位置关系,7（1）；（2）2；（3）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，先对求导，再利用求出函数的递减区间；第二问，先将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，对求导，对和进行讨论，判断函数的最小值是否小于等于0；第三问，将，化简为，再构造函数，通过判断函数的单调区间单调最小值，从而得到，通过解不等式得到的范围.试题解析：（） ，由，得，又，所以.所以的单调减区间为. 4分（）令，所以.当时，因为，所以.所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立. 6分当时，令，得.所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为. 8分令，因为，又因为在是减函数.所以当时，.所以整数的最小值为2. 10分（）由，即，从而 令，则由得， ，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以， 所以，又，因此成立. 14分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题.8（1），；（2）证明详见解析；（3）存在，.【解析】试题分析：本题主要考查抛物线和椭圆的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的相交问题、积分的运算等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用焦点直接可求出抛物线的方程，先利用椭圆的位置关系设出方程，利用顶点和离心率解出a、b、c，从而得到椭圆的方程；第二问，需考虑直线的斜率是否存在，当斜率存在时，要证明，只需证，令直线与抛物线联立，消参，通过求导得到过A、B两点的切线方程，解出M点坐标，代入中计算；第三问，假设点满足题意，求出点的坐标，通过切线方程解出切点坐标，验证是否有直线过F点，经验证存在后再数形结合，用积分的方法求图形面积.试题解析：（）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为.设椭圆的方程为，半焦距为.由已知可得：,解得 .所以椭圆的方程为：. 4分（）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ， 由, 消去并整理得 .抛物线的方程为，求导得，过抛物线上两点的切线方程分别是，,即，解得两条切线的交点的坐标为，即，,. 9分 （）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，解得或 ， 故不妨取，即直线过点.综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.此时，两切线的方程分别为和. 抛物线与切线、所围成图形的面积为. 13分考点：抛物线和椭圆的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的相交问题、积分的运算.9（1）单调递减区间是，单调递增区间是（2）（3）略【解析】试题分析：本题须按照各小问中给出的条件进行求解。（1）将所给条件带入原函数中，再进行求导函数，根据函数单调性对应导函数的正负的取向，可求出函数的单调区间；（2）本小题中运用了偶函数的性质，先将原函数进行求导函数，并求出极值点，根据k值分区间情况进行讨论求出其中极大极小值，根据条件列出不等式，进行求解即可；（3）本小问需要先将复合函数进行化简，在根据需求证的部分进行整理函数，得出结果，证毕。试题解析：（1）当时，令，得当时，；当时，.因此，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由可知：是偶函数于是，对任意恒成立等价于对任意恒成立 由，得当时，此时,在区间上单调递增 故，符合题意当时， 当变化时，的变化情况如下表： 极小值 由上表可知：在区间上，.依题意，得.又综上：实数的取值范围是（3），当，且时，即 ，故考点：函数综合运用10（）；（）. 【解析】试题分析：（）由函数可得其零点，代入函数可求得值；（）由和可得其解集交集，对进行分类讨论可得的最大整数为，此时的取值范围为.试题解析：（）=，由得， 由得或或，经检验上述的值均符合题意，所以的值为，；（）令，则， 为正整数， 即， 记，令即的解集为， 则由题意得区间. 当时，因为，故只能，即或，又因为，故，此时.又，所以. 当且仅当即时，可以取，所以，的最大整数为； 当时，不合题意； 当时，因为，故只能无解； 综上，的最大整数为，此时的取值范围为考点：1.二次函数的零点；2.集合关系；3.分类讨论思想的应用.11（）（） （）存在【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，利用已知条件求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论试题解析：（）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为 4分（）设切点坐标为,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点 9分（）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即，所以，不妨设，同理， 12分所以，即， 13分考点：求椭圆的方程即直线与椭圆的综合问题12（1），函数在区间上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）由可得，然后解不等式