高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积(二)学案 苏教版必修4.doc

24向量的数量积(二)学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明知识链接1向量数乘的运算律有哪些？答(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.2向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b.预习导引1向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)ba(b)(ab)ab(结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)2向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量(1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cosa，b；(5)|ab|a|b|.要点一向量数量积运算律有关概念例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_答案解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确规律方法向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)ca(bc)跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_答案解析根据向量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|ab|组成三角形三边，|a|b|0且a与b不同向共线；ab夹角为钝角的等价条件是ab0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k|k0且k11已知|a|2，|b|1，a与b之间的夹角为60，那么向量a4b的模为_答案2解析|a4b|2a28ab16b222821cos 60161212，|a4b|2.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.答案1解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.3设|a|3，|b|2，|c|5，向量a与b的夹角为，向量b与c的夹角为，则|(ab)c|_；|a(bc)|_.答案15154已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5.1.数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而a(bc)|b|c|cosb，ca是一个与a共线的向量，两者一般不同2在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.3在实数中，若abbc，b0则ac，在向量中abbc，b0ac.一、基础达标1已知|a|1，|b|，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是_答案135解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b.a，b135.2若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_答案120解析设向量a与b的夹角为，ca，ca0.又cab，(ab)a0，即a2ba0|a|2|a|b|cos 0.又|a|1，|b|2，cos .故120.3已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|5，则|3ab|_.答案7解析|3ab| 7.4在边长为1的等边abc中，设a，b，c，则abbcca_.答案解析ab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.5若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_答案解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosab.6已知ab2i8j，ab8i16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么ab_.答案63解析将两已知等式相加得，2a6i8j，所以a3i4j.同理将两已知等式相减得，b5i12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以ab(3i4j)(5i12j)354(12)63.7已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2；又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.二、能力提升8设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为_答案解析设a与b的夹角为，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记s(xiyi)，则s有以下三种情况：s2a22b2；s4ab；s|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中s10|a|2，中s8|a|2cos ，中s5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，可求.9在平行四边形abcd中，ad1，bad60，e为cd的中点若1，则ab的长为_答案解析因为e为cd的中点，所以.，因为1，所以()()221，即12|cos 601，所以2|0，解得|，即ab.10已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_答案解析向量与的夹角为120，且|3，|2，所以|cos 120323.由得，0，即()()0，所以22(1)0，即493(1)0，解得.11设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1，且m与n夹角是，mn|m|n|cos 11.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.12已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|1(kr)，求k的取值范围(1)证明因为|a|b|c|1，且a、b、c之间的夹角均为120，所以(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，所以(ab)c.(2)解因为|kabc|1，所以(kabc)21，即k2a2b2c22kab2kac2bc1，所以k2112kcos 1202kcos 1202cos