南京理工大学数字信号处理DSP复习.docVIP

复习目录1 一些基础11.1 卷积、环形卷积11.2 Xcs/Xca、Xev/Xod21.3 周期、抽样率、抽样定理、0与的关系21.4 线性、时不变、因果、稳定31.5 时域频域信号对应关系41.6 全通系统极点关于单位圆镜像对称42 三种变换42.1 DTFT42.1.1 定义42.1.2 性质52.1.3 常用52.2 Z变换62.2.1 定义62.2.2 性质82.2.3 常用82.3 DFT92.3.1 定义92.3.2 性质112.3.3 FFT算法：蝶形图、指标123 两套系统133.1 差分方程Y（n）时域描述133.1.1 建立/解差分方程133.2 系统函数H（z）频域描述143.2.1 IIR滤波器信号流图结构、低通IIR设计、脉冲响应/双线性不变法143.2.2 FIR滤波器信号流图结构、线性相位系统、窗函数法、四种类型181 一些基础1.1 卷积、环形卷积卷积：y（n）=x（n）*h（n）Eg:卷积 xn=1,2,3,4,5hn=1,1,1,1xn*hn=1,3,6,10,14,12,9,5 表格对角线斜向相加,长度为5+4-1=8h【n】 x【n】12345112345112345112345112345 环形卷积：1）设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为式中，L称为循环卷积区间长度，LmaxN，M。2) 循环卷积矩阵Eg:环形卷积 （1）计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。 hn=1,1,1,1与xn=1,2,3,4的循环卷积：注意，hx位置在前，且循环卷积的长度与循环卷积区间长度L相同 解： 4点循环卷积矩阵形式为 8点循环卷积矩阵形式为矩阵计算：行X列，8点第一行X第一列：1x1+0x1+0x1+0x1+0x0+4x0+3x0+2x0=1 第二行X第一列：2x1+1x1+0x1+0x1+0x0+0x0+4x0+3x0=3（2）xn=3n,hn=2+(-2)n,0n3.求6点圆周卷积xn=1,3,9,27 hn=3,0,6,610027933-15931002790993100276332793100-636027931009300279310108 1.2 Xcs/Xca、Xev/XodXn：对象序列 X*：共轭运算实不变，虚取反Xn = Xcs + Xca = Xev + XodXcs共轭对称序列：Xcs满足Xn=X*-n若Xn无虚部，则Xn为偶序列XevXcs=12（Xn+X*-n） Xev=12（Xn+X-n）Xca共轭反对称序列：Xca满足Xn=-X*-n若Xn无虚部，则Xn为奇序列XodXca=12（Xn-X*-n） Xod=12（Xn-X-n）Eg:共轭对称，共轭反对称，偶序列，奇序列 Xn= -1+j3 , 2-j7 , 4-j5 , 3+5j , -2-j , -2n2，求Xcs、Xca、Xev、XodXcs=Xca=Xev=Xod= 1.3 周期、抽样率、抽样定理、0与的关系周期：若正弦序列x(n)= sin(n)=sin(30n/120)是周期的,则周期N=2，抽样率：R=FTFT抽样定理：一个限带模拟信号Xa(t)，若其频谱的最高频率为F0，对它进行等间隔抽样而得X(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs=1/T；只有在抽样频率Fs2F0时，才可由Xa(t)准确恢复X(n)。0与的关系：0=0T，0：离散时间信号归一化角频率，0：连续时间型号角频率，T：抽样周期Eg:抽样相关 (1)The sequence Xn=cos(4n) is obtained by sampling an analog signal x(t)=cos(0t) at a sampling rate of 1000 samples/sec.Two possible value of 0 are 250，1750that could have resulted in the sequence Xn.41000=250，(-4+2)1000=1750(2)有一连续信号Xa(t)=cos(2ft+)（1）求出Xa(t)的周期。（2）用采样间隔T=0.02s对Xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式。（3）求出对应 的时域离散信号(序列) x(n)，并求出x(n)的周期。解：（1） 周期为 （2）（3）x(n)的数字频率=0.8，故 ，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8n+/2) 1.4 线性、时不变、因果、稳定Eg:线性、时不变、因果、稳定 A discrete-time system is described by the equation yn=nsin(xn+4)=22nsinxn+22ncos(xn)线性liner：判定条件：T(ax1n+bx2n) = aT(x1n) +bT(x2n)T(ax1n+bx2n)= 22nsinax1n+bx2n+22ncos(ax1n+bx2n)= 22nsinax1n)cos(bx2n+cosax1n)sin(bx2n+22ncosax1ncosbx2n-sinax1nsinbx2nother hand:aT (x1n)= 22ansinx1n+22ancos(x1n) , bT(x2n)= 22bnsinx2n+22bncos(x2n)aT(x1n) +bT(x2n)= 22ansinx1n+22ancos(x1n)+ 22bnsinx2n+22bncos(x2n)aT(x1n) +bT(x2n) T(ax1n+bx2n),so not liner.时不变shift-invariant：判定条件：y(n-n0) = T(xn-n0)yn=T(xn) , if the imput is xn-n0,T(xn-n0) = nsin(xn-n0+4)but ,y(n-n0) = (n-n0)sin(xn-n0+4)y(n-n0) T(xn-n0)，so not shift-invariant因果causal：判定条件：h(n)0 (n0) 或 ROC: R1 |Rx-|。5)对于反因果序列xn, 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为|Z|Rx+|。Eg:Z变换 1）求Z正换（1）；（2）；（3） 解：（1）（2）（3）2）求Z逆变换(1) ，收敛域ROC 为,则 的z反变换为( )。说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。典型序列的z变换表达式是否记住了？这两个典型z变换对，对求z变换或逆z变换非常重要。(2) ，试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：|z|0.50.50.6.求xn.Xz=3zz2+0.3z-0.18=1z-0.3+2z+0.6=1z11-0.3z-1+21+0.6z-1，时移性质gn-n0Z变换z-n0G(z)xn=0.3n-1+2-0.6n-1n-1 2.2.2 性质名称性质描述收敛域共轭g*nZ变换G*(z*)Rg时间反转g-nZ变换G(1z)1Rg线性gn+hnZ变换G(z)+H(z)RgRh时移gn-n0Z变换z-n0G(z)Rg，可能除了点z=0或z=与指数相乘ngnZ变换G(z)|RgG(z)的差分ngnZ变换-zdG(z)dzRg，可能除了点z=0或z=卷积gnhnZ变换G(z)H(z)RgRh调制gn+hnZ变换G(z)+H(z)RgRh2.2.3 常用序列nz变换1 |Z|0nz变换11-z-1 |Z|1nnz变换11-z-1 |Z|n-n-1z变换11-z-1 |Z|nnnz变换z-1(1-z-1)2 |Z|(n+1)nnz变换1(1-z-1)2 |Z|2.3 DFT2.3.1 定义Xk=n=0N-1xnWNknxk=1Nn=0N-1XnWN-kn其中WN=e-j2N , 0kN-1，周期性：WN(n+N)k=WNnk=WN(k+N)n，对称性：WNn+N2=-WNnEg:DFT (1)某DFT的表达式是，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是。(2)某序列DFT的表达式是，由此可看出，该序列的时域长度是 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。（3）若x (n)= 3，2，1，2，1，2 ，0n5，1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？2) 若，试确定6点序列g(n)=?3) 若y(n) =x(n)x(n)，求y(n)=？解：1） 2） 3） （4）let the sequence xn=2,4,-2,1,3,1,-2,4,0n7，and its 8-point DFT is Xk,a)X0=n=07xn=11b)X4=x0-x1+x2-x3=-9c)k=07Xk=8x0=16d) k=07|Xk|2=8xn8点圆周卷积xnn=0=440e) k=07e-j(3k4)Xk=8x8-3=8(5)Compute the 4-point DFT Xn of sequence xn1,2,0,1Xk=n=03xnW4nk=W40k+2W4k+0W42k+W43k，WNk=e-j2Nk=cos(2Nk)-jsin(2Nk),欧拉公式：eix=cosx+isinxX0=W40+2W40+0W40+W40=1+2+0+1=4 X1=W40+2W41+0W42+W43=1+2(cos241-jsin241)+0+cos241-jsin243=1-2j+0+j=1-jX2=W40+2W42+0W44+W46=1+2(cos242-jsin242)+0+cos246-jsin246=1-2+0-1=-2X3=W40+2W43+0W46+W49=1+2(cos243-jsin243)+0+cos243-jsin249=1-0+0+j=1+2j+0-j=1-j(5)Compute the 4-point DFT Xn of sequence xn3,2,0,2Xk=n=03xnW4nk=3W40k+2W4k+0W42k+2W43kX0=3+2+0+2=7X1=3-j+0+j=3X2=3-2+0-2=-1X3=3+j+0-j=3 2.3.2 性质名称描述线性gn+hnDFTGk+Hk圆周时移gn-n0NDFTWNkn0Gk圆周频移WN-k0ngnDFTGk-k0N对偶GnDFTNg-kN反转g-nNDFTG-kN与共轭反转相加 xn+x*nDFTXk+X*-kN=2Xcsk共轭对称Xk=X*N-kEg:DFT的性质 (1)给定一16-点实序列x（n）, 其 16-点 DFT 记为X(k), 已知X(13)= 2 + j3,则X*(3) = ( 2 + j3 )。(2)xn+3NDFTWN-3kXk x2nDFT1NXk圆周卷积Xk x-nNDFTX-kN e-j8NnxnDFTXk+4N xn+x*nDFTXk+X*-kN=2Xcsk(3)Consider a length-N sequence xn whith an N-point DFT Xk,N is an even number.1.yn=(-1)nxn,determine the N-point DFT Yk (0kN-1)yn=-1nxn=ejxn=ej2NnN2xnYk=XN , 0kN-12.wn=xn,n is even（偶）0,n is odd(奇)，determine the N-point DFT Wk (0nN-1)wn=12xn+(-1)nxnWk=12Xk+XN , XN3.zn=xn+xn+N2, determine the N2-point DFT Zk (0nN2-1)Zn=X2k , 0nN2-1 2.3.3 FFT算法：蝶形图、指标计算N=2M个点复加次数复乘次数FFTNlog2NN2log2NDFTN(N-1)N2P4443 两套系统3.1 差分方程Y（n）时域描述3.1.1 建立/解差分方程对LTI系统1.将差分方程转化为H(z),注意ROC。2.求解H(z),逆z变换得到h(n)Eg:解差分方程 (1)A causal LTI system is described by the following difference equationyn+0.2yn-1-0.15yn-2 = 2xn1)Determine the impulse response hn of this system2)If the imput is xn= n-.05n-1,determine the output sequence yn解：Hz=21+0.2z-1-0.15z-2=2（1-0.3z-1）（1+0.5z-1),|z|0.5Hz=341-0.3z-1+341+0.5z-1，hn=145-0.5n+30.3nnyn=145-0.5n+30.3nn-185-0.5n-1+30.3n-1n-1（2）yn-yn-1-yn-2=xn-11.H(z) and ROCHz=z-11-z-1-z-2=z(z-1-52)(z-1+52)ROC:|z|1+522.inpulse responseHz=z-11-z-1-z-2=z-1(1-1-52z-1)(1-1+52z-1)=55(11-1+52z-1-11-1-52z-1)nnZ变换11-z-1 |Z|hn=551+52n-1-52nn3.stable?ROC包含单位圆n-n-1z变换11-z-1hn=551+52n-n-1-1-52nn(3)yn=xn-0.81yn-21.Determine the system function H(z)2.Sketch Hej and ()解：复数z=a+bi,模为a2+b2，幅角W=arctanba,然后用（a,b）的象限确定W的值1.Hz=11+0.81z-2=1(1-0.9z-1)(1+0.9z-1) ,(z0.9) (注意题目中式子的形式)2. Hz=11+0.81z-2带几个关键点，z=ej=0，2，32,算出z=a+bj，带入H(z)计算 Hej () 3.2 系统函数H（z）频域描述3.2.1 IIR滤波器信号流图结构、低通IIR设计、脉冲响应/双线性不变法IIR : Hz=p0+p1z-1+p2z-2+p3z-31+d1z-1+d2z-2+d3z-3所有零点都在单位圆内叫最小相位，反之叫最大相位信号流图结构：直接型、直接、级联型、并联型Eg:由H(z)画结构流图 Hz=1+2z-1+2z-2+z-31-2z-1+z-3=1+-61-z-1+6+4z-11-z-1-z-2(并联)=1+z-11-z-11+z-1+z-21-z-1-z-2(级联)直接 直接级联 并联 低通IIR滤波器设计P348通带截止频率p 阻带截止频率s 3dB通带截止频率c 通带最大衰减p=-20lg1-pdB 阻带最小衰减s=-20lg(s) 通带波纹峰值p=11+2(?) 阻带波纹峰值s=1A(?) 1)求阶数：模拟频带边界频率p=tan(p2) s=tan(s2) 过度比 k=ps 分辨率k1=A2-1滤波器阶数N=lg(1k1)lg(1k)2)N阶低通巴特沃兹Haj2=11+(c)2NHajp2=11+2Hajs2=1A2脉冲响应不变法1), 将Ha(s)进行逆拉氏变换，得到： 式中，是单位阶跃函数。2)对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：3)对上式进行变换，得到数字滤波器的系统函数，即优点：时域逼近良好，=T；（为模拟频率）缺点：容易产生混叠失真，只适用于带限滤波器；双线性不变法双线性变换法：优点：设计运算简单；避免了频谱的混叠效应，适合各种类型滤波器；缺点：=2Ttan2，会产生非线性频率失真。Eg:脉冲响应/双线性不变法 (1)图示是由RC组成的模拟滤波器1.写出传输函数 ；2.选用一种合适的转换方法将 转换成数字滤波器 ，设采样间隔为T；解：1.由图可知该滤波器为模拟高通滤波器，电阻s,电容1sc，电感sl2.采用双线性变换法，因为选用脉冲响应不变法，会在高频处发生频率混叠现象。(2)已知模拟滤波器传输函数为 ，设 ，用脉冲响应不变法和双线性变换法将 转换为数字滤波器系统函数 。解：用脉冲响应不变法（令）将转换为数字滤波器系统函数。用双线性变换法将转换为数字滤波器系统函数。 (3)Has=1s2+s+1 ,Design a corresponding digital filter by bilinear transform respectively(assume T=2)1.Hz=Ha(s)s=2T1-z-11+z-1=1+z-123+z-2 2. 复数z=a+bi,模为a2+b2，幅角W=arctanba,然后用（a,b）的象限确定W的值带几个关键点，z=ej=0，2，32,算出z=a+bj，带入H(z)计算 Hej () 3.2.2 FIR滤波器信号流图结构、线性相位系统、窗函数法、四种类型FIR : Hz=k=0Nhkz-k 信号流图结构：直接型、级联型、线性相位型：直接型 级联型yn=h0xn+ h1xn-1+ h2xn-2+ h3xn-3+ h4xn-4 Hz=h0k=1K(1+1kz-1+2kz-2)线性相位型(奇数7) 线性相位型(偶数8)H(z)=h0(1+z-6)+ h1x(z-1+z-5)+ h2(z-2+z-4)+ h3z-3 H(z)=h0(1+z-7)+ h1x(z-1+z-6)+ h2(z-2+z-5)+ h3(z-3+z-4)信线性相位Eg:线性相位FIR系统与其流图 (1)h1n=1,2,3,2,1and h2n=-2,1,0,1,21.Determine the impulse response of overall system h1nh2n=-2,-5,-8,-6,0,6,8,5,22.Show that oberall system is a generalized linear phase system,and plot the liner-phase structure flow graph.Hej=H1ejH2ej =(1+2e-j+3e-j2+2e-j3+e-j4)(-2-e-j+e-j3+e-j4) =2e-j2cos2+2cos+3-2je-j2(2sin2+sin) =-4je-j4cos2+2cos+3(2sin2+sin)so it is a generalized linear system3.why cannot realize lowpass and highpass filter?when =0 or , Hej=0(2)Hz=2+z-11+2z-11