高三数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法课件 文.ppt

文数课标版 第一节数列的概念及简单表示法 1 数列的定义按照 一定顺序排列的一列数叫做数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 项 教材研读 2 数列的分类 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 所有的数列都有通项公式 且通项公式在形式上一定是唯一的 2 数列是一种特殊的函数 3 根据数列的前几项归纳出来的数列的通项公式可能不止一个 4 如果数列 an 的前n项和为sn 则 n n 都有an 1 sn 1 sn 5 若已知数列 an 的递推公式为an 1 且a2 1 则可以写出数列 an 的任何一项 1 已知n n 给出4个表达式 an an an an 其中能表示数列 0 1 0 1 0 1 0 1 的通项公式的是 a b c d 答案a检验知 都可以是所给数列的通项公式 2 已知数列 an 的通项公式为an n2 8n 15 则3 a 不是数列 an 中的项b 只是数列 an 中的第2项c 只是数列 an 中的第6项d 是数列 an 中的第2项或第6项 答案d令an 3 即n2 8n 15 3 解得n 2或6 故3是数列 an 中的第2项或第6项 3 数列 an 中 若an 1 a1 1 则a6等于 a 13b c 11d 答案d an 1 a1 1 a2 a3 a4 a5 a6 故选d 4 已知数列 an 的前n项和为sn n2 2n 2 则数列 an 的通项公式为 a an 2n 3b an 2n 3c an d an 答案c当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 3 由于n 1时 a1 1不适合上式 故an 选c 5 数列 an 满足 a1 2 an 1 n 2 3 4 则a12 答案 1解析由a1 2 a2 1 a3 1 1 a4 1 2 可知 an 是周期为3的周期数列 则a12 a3 4 a3 1 考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式典例1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 4 1 解析 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1来调整 原数列各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6 故原数列的一个通项公式为an 1 n 6n 5 考点突破 2 将数列变形为 1 0 1 1 0 01 1 0 001 故原数列的一个通项公式为an 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4 项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为 则原数列可化为 原数列的一个通项公式为an 1 n 4 将数列变为 对于分子3 5 7 9 是相应项数的2倍加1 可得分子的一个通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的一个通项公式为cn n2 1 原数列的一个通项公式为an 方法指导 1 根据所给数列的前几项求其一个通项公式时 需仔细观察分析 抓住以下几方面的特征 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项符号特征 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由不完全归纳得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 1 1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 2 2 5 10 17 3 4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 5 1 2 2 4 3 8 4 16 5 解析 1 数列的前4项1 3 5 7都是项数的2倍减1 所以原数列的一个通项公式为an 2n 1 2 如果数列的前4项分别减去1 则变为1 4 9 16 所以原数列的一个通项公式为an n2 1 3 分子为1 2 2 2 3 2 分母为1 3 3 5 5 7 故原数列的一个 通项公式为an 4 该数列可变形为1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 则原数列的一个通项公式为an n 5 奇数项为1 2 3 4 5 偶数项为2 4 8 16 从而原数列的一个通项公式为an 考点二由an与sn的关系求通项公式an典例2已知下面数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n b 解析 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 又a1 1也适合上式 因此an 4n 5 n n 2 当n 1时 a1 s1 3 b 当n 2时 an sn sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合上式 当b 1时 a1不适合上式 当b 1时 an 2 3n 1 n n 当b 1时 an 方法指导已知sn求an的三个步骤 1 先利用a1 s1求出a1 2 用n 1替换sn中的n得出sn 1 利用an sn sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 看a1是否符合n 2时an的表达式 若符合 则可以把数列的通项公式合写 若不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 2 1已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 2an 1 则an 答案解析 sn 2an 1 当n 2时 sn 1 2an an sn sn 1 2an 1 2an n 2 3an 2an 1 n 2 又易知a2 an 0 n 2 n 2 an n 2 当n 1时 a1 1 an 考点三由递推关系求数列的通项公式典例3在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则an 答案解析由条件知an 1 an n 1 则an a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 a1 2 3 4 n 2 方法指导由数列的递推关系求通项公式的常用方法已知数列的递推关系 求数列的通项公式时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m n 2 时 构造等差数列 当出现an xan 1 y n 2 时 构造等比数列 当出现an an 1 f n n 2 时 用累加法求解 当出现 f n n 2 时 用累乘法求解 变式3 1若将本例中的条件 an 1 an n 1 改为 an 1 an 如何求解 解析 an 1 an an a1 2 变式3 2若将本例中的条件 an 1 an n 1 改为 an 1 2an 3 如何求解 解析设递推公式an 1 2an 3可以转化为an 1 t 2 an t 即an 1 2an t 解得t 3 故an 1 3 2 an 3 令bn an 3 则b1 a1 3 5 且 2 所以 bn 是以5为首项 2为公比的等比数列 所以bn 5 2n 1 故an 5 2n 1 3 变式3 3若将本例中的条件 an 1 an n 1 改为 an 1 如何求解 解析 an 1 a1 2 an 0 即 又a1 2 则 是以为首项 为公差的等差数列 n 1 an 变式3 4若将本例中的条件换为 a1 1 an 1 an 2n 如何求解 解析 an 1 an 2n an 2 an 1 2n 2 故an 2 an 2 即数列 an 的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列 当n为偶数时 易求得a2 1 故an a2 2 n 1 当n为奇数时 an 1 an 2n an 1 n n 1为偶数 故an n 综上所述 an n n 考点四数列的性质典例4已知数列 an 的前n项和为sn 常数 0 且 a1an s1 sn对一切正整数n都成立 1 求数列 an 的通项公式 2 设a1 0 100 当n为何值时 数列的前n项和最大 解析 1 当n 1时 2s1 2a1 a1 a1 2 0 若a1 0 则sn 0 当n 2时 an sn sn 1 0 0 0 所以an 0 若a1 0 则a1 当n 2时 2an sn 2an 1 sn 1 两式相减得2an 2an 1 an 所以an 2an 1 n 2 从而数列 an 是等比数列 所以an a1 2n 1 2n 1 综上 当a1 0时 an 0 当a1 0时 an 2 当a1 0且 100时 令bn lg 由 1 有 bn lg 2 nlg2 所以数列 bn 是单调递减的等差数列 公差为 lg2 b1 b2 b6 lg lg lg1 0 当n 7时 bn b7 lg lg lg1 0 故数列的前6项的和最大 方法指导判断数列单调性的方法 1 作差比较法 an 1 an 0 数列 an 是单调递增数列 an 1 an0时 1 数列 an 是单调递增数列 1 数列 an 是单调递减数列 1 数列 an 是单调递增数列 1 数列 an 是常数列 求数列最大项或最小项的方法 1 利用不等式组 n 2 找到数列的