必修二立体几何知识点+例题+练习+答案.doc

学习资料收集于网络，仅供参考立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。 4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正正视图侧视图俯视图1112宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）；俯视图（从上向下正投影）例题1.某四棱锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为 例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱垂直于底面，它的三视图正确的是（ ） 来源:学|科|网Z|X|X|K来源:学_科_网（3）.空间几何体的直观图斜二测画法特点：斜二测坐标系的轴与轴正方向成角；原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：1例如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A2BCD9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）： S=10.柱体、锥体、台体和球的体积公式： V=例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S (2)7分 (3)12分例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A B C D例5半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_.练习： 已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积( )ABCD 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ ）侧（左）视图正（主）视图俯视图. .侧（左）视图421俯视图2正（主）视图（第3题图） 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是（）ABCD 一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,如图所示,则此几何体的体积为( )ABC D1一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( ) ABCD若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 （ ）AB6 CD如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=( )A B C D某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为 ( )ABCD12 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A BC D正视图俯视图22侧视图2112第5题图已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位:),可得这个几何体的体积是 （ ）ABCD二、 立体几何点 线 面的位置关系平行关系平面几何知识线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.2.3.4.5.平行与垂直关系可互相转化例1 如图，在正四棱柱 中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是( ) A B. C. D. 例2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）ABC D例3.已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC练习：1.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与平面垂直2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )A若与所成的角相等，则 B若，则C若，则 D若，则3.给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设为平面，为直线，则的一个充分条件是( )(A) (B) (C) (D) 5设、是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题: 若 则 若,则 若,则 若,则其中真命题的序号是（ ）ABCD6 对于平面和直线,下列命题中假命题的个数是（ ）若,则;若,则;若, ,则; 若,则A1个B2个C3个D4个7若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A若，l，n，则ln B若，l，则lC若ln，mn，则lm D若l，l，则8.知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则若，则若，a，b，则ab若，a，b，则ab其中正确命题的序号有_ 1、线线平行的判断： 平行于同一直线的两直线平行。 （2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）垂直于同一平面的两直线平行。2、线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。A1ED1C1B1DCBA例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。证明：连接交于，连接，为的中点，为的中点为三角形的中位线 又在平面内，在平面外平面。 例2、（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证： C1O面； 证明：（1）连结，设，连结 是正方体 是平行四边形A1C1AC且 又分别是的中点，O1C1AO且是平行四边形 面，面 C1O面 3、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。例4、如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面.证明：、分别是、的中点，又平面，平面平面四边形为平行四边形，又平面，平面平面，平面平面4、线线垂直的判断： 若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。例5、已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点(1) 求证：EF平面PAD； (2) 求证：EFCD；5、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。例6、(线线线面相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 例7、(构造直角三角形)四面体中，分别为的中点，且，求证：平面 证明：取的中点，连结，分别为的中点，又，在中，又，即，平面 例8、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD例9、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影6、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。例10、如图，已知空间四边形中，是的中点。AEDBC求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1）同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面练习1. 如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.ABABCCDMODO（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积.PABCDQM3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA/平面BMQ4. 已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；（II）求证：平面. ABCDFE6.正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.7. 如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.8.如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值9. 如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（1）证明：平面平面；（2）设BD=1，求三棱锥D的表面积。10、如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.三、线线、线面和面面的成角问题1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O作直线,我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。常见角的取值范围： 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的取值范围依次 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（01），则点G到平面D1EF的距离为（ D ）A.B. C.D.例2、已知是矩形，平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角证明：在中，平面，平面，又，平面（2）为与平面所成的角在，在中，AHGFEDCB在中，练习：1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点（1） 求证：EFGH是平行四边形（2） 若BD=，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：在中，分别是的中点同理，四边形是平行四边形。(2) 90 30 2、如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积（）证明：在中，由于，所以 故又平面平面，平面平面，ABCMPDO平面，所以平面， 又平面，故平面平面（）解：过作交于，由于平面平面， 所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故3、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面（1）若为的中点，求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的大小证明：（1）为等边三角形且为的中点，又平面平面，平面（2）是等边三角形且为的中点，且，平面，平面，（3）由，又，为二面角的平面角在中，4.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接， 所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为高考训练：1，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；2， (2013潮州模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE，ACBDG.(1)求证：AE平面BCE；(2)求证：AE平面BFD；(3)求三棱锥CBGF的体积3、 (2013广州质检)如图4，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上若DE平面ACF，求的值234、(2013佛山质检)在直角梯形ABCD中，ADBC，AB1，AD，ABBC，CDBD，如图6(1)把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图(2) (1)求证：CDAB；(2)求三棱锥ABDC的体积；(3)在线段BC上是否存在点N，使得ANBD？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由5、（2013深圳一模）如图甲，的直径，圆上两点在直径的两侧，使，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥的体积；（2）求证：；ABCOD(图甲)（3）在上是否存在一点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由ABFOD(图乙)EG 立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。 4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正正视图侧视图俯视图1112宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）；俯视图（从上向下正投影）例题1.某四棱锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为 例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱垂直于底面，它的三视图正确的是（ B ） 来源:学|科|网Z|X|X|K来源:学_科_网（3）.空间几何体的直观图斜二测画法特点：斜二测坐标系的轴与轴正方向成角；原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：1例如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( A )A2BCD9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）： S=10.柱体、锥体、台体和球的体积公式： V=例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S (2)7分 (3)12分例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A B C D例5半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_.练习：1已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积( B )ABCD 2右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ C ）侧（左）视图正（主）视图俯视图. .侧（左）视图421俯视图2正（主）视图（第3题图）3 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是（C）ABCD4 一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,如图所示,则此几何体的体积为( C )ABC D15一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( A ) ABCD6若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 （D）AB6CD7如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=( C )A B C D8某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为（B）ABCD12 9一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）A BC D正视图俯视图22侧视图2112第5题图10已知某几何体的三视图如右,根据图中标出的尺寸 (单位:),可得这个几何体的体积是 （B）ABCD二、 立体几何点 线 面的位置关系平行关系平面几何知识线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.2.3.4.5.平行与垂直关系可互相转化例2 如图，在正四棱柱 中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是( D ) A B. C. D. 例2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）ABC D例3.已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC练习：1.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ B ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与平面垂直2.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( D )A若与所成的角相等，则 B若，则C若，则 D若，则3.给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（D ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设为平面，为直线，则的一个充分条件是(D )(A) (B) (C) (D) 5设、是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题: 若 则 若,则 若,则 若,则其中真命题的序号是（D）ABCD6 对于平面和直线,下列命题中假命题的个数是（D）若,则;若,则;若, ,则; 若,则A1个B2个C3个D4个7若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( D)A若，l，n，则ln B若，l，则lC若ln，mn，则lm D若l，l，则8.知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a，a，则若，则若，a，b，则ab若，a，b，则ab其中正确命题的序号有_答案1、线线平行的判断： 平行于同一直线的两直线平行。 （2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）垂直于同一平面的两直线平行。2、线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。A1ED1C1B1DCBA证明：连接交于，连接，为的中点，为的中点为三角形的中位线 又在平面内，在平面外平面。 例2、（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证： C1O面； 证明：（1）连结，设，连结 是正方体 是平行四边形A1C1AC且 又分别是的中点，O1C1AO且是平行四边形 面，面 C1O面 3、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。例4、如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面平面.证明：、分别是、的中点，又平面，平面平面四边形为平行四边形，又平面，平面平面，平面平面4、线线垂直的判断： 若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。例5、已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点(1) 求证：EF平面PAD； (2) 求证：EFCD；5、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。例6、(线线线面相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 例7、(构造直角三角形)四面体中，分别为的中点，且，求证：平面 证明：取的中点，连结，分别为的中点，又，在中，又，即，平面 例8、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD例9、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上的射影6、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。AEDBC例10、如图，已知空间四边形中，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1）同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面练习1. 如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 2.如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.ABABCCDMODO（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积.PABCDQM3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA/平面BMQ4. 已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面5. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；（II）求证：平面. ABCDFE6.正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.7. 如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.8.如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：PQ平面DCQ；（II）求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值9. 如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90。（1）证明：平面平面；（2）设BD=1，求三棱锥D的表面积。例10、如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.练习参考答案1. 证明: (I) 因为为中点，所以 1分又，所以有 2分所以为平行四边形,所以 3分又平面平面所以平面 . 5分(II)连接.因为所以为平行四边形， 6分又,所以为菱形，所以 ， 7分因为正三角形,为中点，所以 ， 8 分 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面. 12分又平面，所以 . 13分2. （）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 2分因为平面,平面，所以平面. 4分（）证明：由题意，,ABCMOD因为,所以，. 6分又因为菱形，所以. 7分因为,所以平面， 8分因为平面，所以平面平面. 9分（）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 10分由（）知，平面，所以为三棱锥的高. 11分的面积为， 12分所求体积等于. 13分3. 证明：（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形， CD / BQ PABCDQMN ADC=90 AQB=90 即QBAD PA=PD，Q为AD的中点， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ 6分（）当时，PA/平面BMQ连接AC，交BQ于N，连接MNBCDQ，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，点M是线段PC的中点， MN / PA MN平面BMQ，PA平面BMQ，PA / 平面BMQ13分4. （）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为平面 平面 所以平面6分（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面 因为平面 所以平面平面13分5. （）由已知可得， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面； 又 分别是的中点， ， 平面，平面，平面； 4分平面，平面， 5分 平面平面 . 6分() 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 7分 又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点， 是正三角形， 8分 而， 面 ，面 ，面 ， 9分故 . 10分四边形是菱形， 11分而，故 , 12分 由面，面，得 面 . 13分6. ()证明：因为平面平面，所以平面， 2分所以. 3分因为是正方形，所以，所以平面. 4分()证明：设，取中点，连结，所以，. 5分因为，所以， 6分从而四边形是平行四边形，. 7分因为平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因为平面平面，,所以平面. 11分因为,，所以的面积为， 12分所以四面体的体积. 13分7. 答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，又直线EF/平面PCD（2）连接BD为正三角形 F是AD的中点，又平面PAD平面ABCD，所以，平面BEF平