第三章导数微分边际与弹性.doc

微积分教案章节次数第10讲：第三章 3.1 导数概念教学目的要求1. 理解导数概念，意义。2. 知道导数的几何意义与经济意义。3. 了解函数的可导性与连续性之间的关系。主要内容引例：变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率导数的定义与几何意义可导与连续的关系。 重点难点对导数概念的理解，及其可导与连续的关系。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 97页 习题3-1： 4、5，6，7、8，10，12，13，15备注第三章 导数、微分、边际与弹性第一节 导数概念教学目的与要求：理解导数概念，意义 教学重点（难点）：对导数概念理解，及其与连续的关系一、引例二、导数的定义 左导数右导数 三、导数的几何意义曲线在点处切线：例1 讨论在x = 0处可导性.解： ，在x = 0连续 不存在,在x = 0不可导例2 已知存在，则=例3 设函数可微， 则例4 设 为使在x = x0 处可导，应如何选取常数a、b。解：首先必须在x0连续 ； 存在。 从而（由得）例5 = x (x-1)(x-2)(x-9) , 则 例6 设在x = 0 领域内连续， 则 （分母0） 例7 设函数 f (1+x ) = a f ( x ) ，且 (a , b 0)， 问存在否?解： 四、可导与连续的关系可以证明：可导连续。即可导是连续的充分条件；连续是可导的必要条件。微积分教案章节次数第11讲：第三章 3.2求导法则与基本初等函数求导公式（一）教学目的要求1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。2. 熟练利用法则求导。主要内容基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则重点难点求导法则的应用。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 107页 习题3-2： 2、3(2)(4)(6)(8)(10)，4、备注第二节 求导法则与基本初等函数求导公式（一） 教学目的与要求：理解求导法则，利用法则求导教学重点（难点）： 求导法则的应用一、基本初等函数导数二、导数四则运算法则例1 设 分析：先用法则展开，再用基本公式求导，解略例2 设分析：先用法则展开，然后根据基本公式求导，解略例3 证明（1） （2）分析：用三角公式化简，然后用公式与法则证明。例4 设分析：用法则公式师生共同讨论给出。 微积分教案章节次数第12讲：第三章 3.2求导法则与基本初等函数求导公式（二）教学目的要求1. 掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求）。2. 熟练掌握复合函数的链式求导法。主要内容基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则重点难点求导法则的应用。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 107页 习题3-2： 5(1)(3)(5)(7)(9) ,6、(1)(3)(5)(7)(9),7、(1)(3)(5)(7)(9), 10、(1)(3)(5)(7)(9),备注第二节 求导法则与基本初等函数求导公式（二）教学目的与要求：掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求），熟练掌握复合函数的链式求导法。教学重点（难点）： 求导法则的应用定理：在x有导数，在对应点u有导数，则复合函数在x处也有导数，。例1 例2 求解： 例3 例4 例5 例6 例7 求解： 例8 例9 求解： 微积分教案章节次数第13讲：第三章 3.3高阶导数3.4隐函数的导数 教学目的要求1. 了解高阶导数的概念。2. 掌握隐函数求导法与对数求导法。3. 掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。主要内容高阶导数隐函数求导法、对数求导法重点难点求导法则的应用。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 113页 习题3-3：1、奇数题号，2、4、7、奇数题号120页 习题3-4：1、2、4，备注第三节 高阶导数教学目的与要求：了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。教学重点（难点）： 求导法则的应用高阶导数、二阶： 高阶导数（n阶）略。 例1 例2 设在()上二阶连续可导，且，对函数(1) 确定的值，使在（）上连续；(2) 对（1）中确定的，证明：在（）上一阶导数连续。解： （1） 即当 在连续，也就是在（）连续 （2） 而 所以，在连续，即在连续。第四节 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的与要求：掌握隐函数求导法与对数求导法。教学重点（难点）： 求导法则的应用一、隐含数的导数方法：（1）对恒等式的两边关于求导数， （2）若遇到的函数，视是中间变量。按复合求导法先对求导再乘上， （3）整理等式，解出。例1 求由所确定的隐含数的导数分析：由题设是的函数，是的复合函数（是中间变量）解：两边求导，。例2 分析：是的函数，而是的函数，所以是的复合函数。解：两边求导（把看成）整理得：所以：二、对数求导法1、幂指函数 求导法：方法1、可化为指数函数求导，其化法： （由对数性质：（1）（2）方法2：（1）对已知等式两边取对数， （2）再按隐含数求导法求导例3 求的导数用两种方法给予讲解例4 求的导数分析：分两步：设分别求。2、对较繁的乘除式子（或是幂的连乘积）方法：（1）两边取对数（应用对数性质；积、除、幂的对数法则） （2）两边求导按隐含数求导法去解例5 求例6 求例7 是由方程所确定的隐函数,试求,。解: 方程两边对x求导： 方程两边再对x求导： 由原方程知，当时，代入得再将，代入式，得3、分段函数的导数例8 设求：解：当 不存在，故微积分教案章节次数第14讲：第三章 3.5 函数的微分 习题课教学目的要求1. 了解微分的概念。2. 掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性。3. 熟练掌握求可微函数微分的方法。主要内容微分的概念微分公式与微分运算法则可导与可微的关系微分形式的不变性重点难点微分公式与微分运算法则。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业： 129页 习题3-5：1、3、4、5备注微分近似运算考试时不作要求。第五节 函数的微分教学目的与要求：理解微分的意义与可导的关系；熟悉微分的应用教学重点（难点）：微分公式与微分运算法则 定理 函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，且. 可导 可微基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则 一阶微分形式不变性 （自变量） 如，(中间变量)例： ， ， 微积分教案章节次数第15讲： 第六节 边际与弹性 教学目的要求1. 知道边际与弹性的概念及其经济意义。2. 会求某些简单的经济应用问题。主要内容边际与弹性重点难点边际与弹性的概念及其经济含义弹性的概念及计算教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习作业：143页 习题3-6：2、3、4、5、7、8备注3.7 边际与弹性教学目的与要求：知道边际与弹性的概念及其经济意义；会求解简单的经济应用题。教学重点（难点）：边际与弹性的概念及其经济含义一、 边际概念如果函数在处可导，则在内的平均变化为；在处的瞬时变化率为， 经济学中称它为在处的边际函数值.利用导数研究经济变量变化率的方法，称为边际分析方法。二、经济学中常见的边际函数1. 边际成本(反映总成本对产量的变化率)C(Q)C(Q+1) - C(Q)=C(Q)经济意义：C(Q)近似等于当产量为Q时，再多生产一个单位所增加的成本。边际平均成本： 2. 边际收益(反映总收益对销售量的变化率)R(Q)R(Q+1) R(Q)=R(Q)经济意义：R(Q)近似等于当销售量为Q时，再多销售一个单位的产品总收益的改变量。3. 边际利润(反映总利润对产量或销售量的变化率) L(Q) = R(Q) C(Q) L(Q+1) L(Q)=L(Q)经济意义：L(Q)近似等于当销售量为Q时，再多销售一个单位的产品总利润的改变量。4. 边际需求 显然 经济应用：最低平均成本最大收益最大利润例1 某工厂在一段时期内，生产某种产品Q吨的成本函数 ，求最低平均成本。例2 某产品的需求函数是Q = 20000-100p，需求量为多少单位时，总收益最大，并求最大总收益。 例3 玩具厂生产某种玩具，每个定价10元，每天的总成本函数：C(Q)=10+2Q+0.01Q2假定产品全部卖完，问每天生产多少个，才能使其利润最大？并求最大利润。例4 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？三、弹性概念经济函数的相对变化率弹性弹性可以定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。1. 弹性的定义定义设函数y = f (x)在点x0处可导，称为函数y = f (x)在点x0处的弹性。称为弹性函数。 2.经济学中常见的弹性函数（1）需求量的价格弹性商品的需求量Q对价格p变化的反应程度称为需求弹性.定义 设某种商品的需求量Q是价格p的函数Q = f (p), 则称为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性。一般地, 价格上涨时, 需求量将减少, 所以常常假设需求函数是价格的减函数, 从而需求的价格弹性一般为负值。为方便起见,常用|Ed|表示需求弹性的大小。需求弹性的经济意义当某商品的价格上涨(或下跌) 1%时，需求弹性表示该商品需求量将减少(或增加)约| Ed|%。|Ed|1：富有弹性，价格变动对需求量影响较大，降价|Ed|1，1+ Ed 0)使总收益减少(R 0)，降价(p 0)；(2) |Ed|0，故提价(p 0)使总收益增加(R 0)