全国各地中考数学试卷分类汇编 矩形菱形与正方形.doc

矩形菱形与正方形一、选择题1（2013江苏扬州，7，3分）如图，在菱形abcd中，bad=80，ab的垂直平分线交对角线ac于点f，垂足为e，连接df，则cdf等于（ ）a50 b60 c70 d80【答案】b【解析】如图，连接bf在菱形abcd中，bad=80，所以baf=daf=40，bafdaf，adc=100因为ef的垂直平分ab，所以af=bf=df所以adf=daf=40cdf=adcadf=10040=60所以应选b【方法指导】特殊四边形的性质一直是中考命题的热点，本题主要考查菱形的性质菱形是：对角线互相垂直且平分；四边相等；对角线平分对角，每一条对角线平分一组对角【易错警示】菱形的性质与其它特殊四边形的性质混淆模糊，记忆不清、混淆是本题易出错的主要原因2. （2013四川泸州，11，2分）如图，点e是矩形abcd的边cd上一点，把沿ae对折，点d的对称点f恰好落在bc上，已知折痕，且，那么该矩形的周长为（） a72 b36 c20 d16【答案】a【解析】在矩形abcd中，推理得到bafefc由tanefc，可设bf3x、ab4x，在rtabf中，运用勾股定理得af5x，adbc5x，cfbcbf5x3x2x，cecftanefc2x，decdce4x，在rtade中，运用勾股定理求得x4，ab4416cm，ad5420（cm），矩形的周长2（16+20）72（cm）【方法指导】本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是关键，也是难点所在3. （2013四川雅安，12，3分）如图，正方形abcd中，点e、f分别在bc、cd上，aef是等边三角形，连接ac交ef于g，下列结论：bedf，daf15，ac垂直平分ef，be+dfef，scef2sabe其中正确的结论有( )个 a2 b3 c4 d5【答案】c【解析】通过条件可以得出abeadf而得出baedaf，bedf，由正方形的性质就可以得出ecfc，就可以得出ac垂直平分ef，设ecx，bey，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出be与ef，利用三角形的面积公式分别表示出scef和2sabe再通过比较大小而得出结论【方法指导】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键4（2013山东德州，7，3分）下列命题中，真命题是a、 对角线相等的四边形是等腰梯形b、 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形c、 对角线互相垂直的四边形是菱形d、 四个角相等的边形是矩形【答案】d【解析】a、对角线相等的四边形是等腰梯形，是假命题，如：对角线相等的四边形可以是矩形等；b、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，如：满足条件的四边形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；d、四个角相等的边形是矩形是假命题，如：满足条件的四边形可以是正方形，但要注意矩形与正方形是一般与特殊关系.【方法指导】本题考查了命题真、假的判断.实际可以记住我们已经学过的相关定义、定理、数学基本事实等，它们都是真命题.52013山东菏泽，2，3分2.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）a15或30b30或45c45或60d30或60(第2题)【答案】d【解析】根据两次折叠得到新的折痕，要使得到一个钝角为120的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数可以为30或60【方法指导】本题考查了轴对称性质、菱形的性质.解答过程可以进行动手操作得出结果.这里同时注意菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角性质的运用.62013山东菏泽，7，3分如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1、s2，则s1+s2的值为（）s2s1a16 b17c18 d19【答案】b【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为s1的边唱是大正方形对角线的，s2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半.满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为.面积为s1小正方边长为，面积s1=8；小正方s2= ，s1+s2=8+9=17.故选b.【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.7.（是真题吗？）4（2013四川凉山州，9，4分）如图，菱形中，则以为边长的正方形的周长为a14b15c16d17bacdfe（第9题图）【答案】c. 【解析】菱形，ab=bc。，abc是等边三角形。ac=ab=4。以为边长的正e*方形的周长为44=16。【方法指导】本题考查菱形的性质四条边都相等，等边三角形的判定，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。正方形的性质四边都相等。8（2013湖北宜昌，7，3分）如图，在矩形abcd中，abbc，ac，bd相交于点o，则图中等腰三角形的个数是（）a8b6c4d2考点：等腰三角形的判定；矩形的性质分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得ao=bo=co=do，进而得到等腰三角形解答：解：四边形abcd是矩形，ao=bo=co=do，abo，bco，dco，ado都是等腰三角形，故选：c点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分9. （2013湖南娄底，6，3分）下列命题中，正确的是（）a平行四边形的对角线相等b矩形的对角线互相垂直c菱形的对角线互相垂直且平分d梯形的对角线相等考点：命题与定理分析：根据菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质分别判断得出即可解答：解：a、根据平行四边形的对角线互相平分不相等，故此选项错误；b、矩形的对角线相等，不互相垂直，故此选项错误；c、根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确；d、根据等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；故选：c点评：此题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质，熟练掌握相关定理是解题关键10. （2013湖南张家界，6，3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）a矩形b正方形c菱形d直角梯形考点：中点四边形分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形解答：解：如图，已知：等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd，e、f、g、h分别是各边的中点，求证：四边形efgh是菱形证明：连接ac、bde、f分别是ab、bc的中点，ef=ac同理fg=bd，gh=ac，eh=bd，又四边形abcd是等腰梯形，ac=bd，ef=fg=gh=he，四边形efgh是菱形故选c点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形11（2013聊城，5，3分）下列命题中的真命题是（）a三个角相等的四边形是矩形b对角线互相垂直且相等的四边形是正方形c顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形d正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形考点：命题与定理分析：根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可解答：解：a根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；b根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；c顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；d正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误点评：此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键12（2013东营，12，3分）如图，e、f分别是正方形abcd的边cd、ad上的点，且ce=df，ae、bf相交于点o，下列结论：（1）ae=bf；（2）aebf；（3）ao=oe；（4）中正确的有（ ）f（第12题图）abcdoea4个b3个c2个d1个答案：b解析：在正方形abcd中，因为ce=df，所以af=de，又因为ab=ad，所以，所以ae=bf，因为，所以，即，所以aebf，因为s四边形deof，所以 s四边形deof，故（1），（2），（4）正确13（2013济宁，9，3分）如图，矩形abcd的面积为20cm2，对角线交于点o；以ab、ao为邻边做平行四边形aoc1b，对角线交于点o1；以ab、ao1为邻边做平行四边形ao1c2b；依此类推，则平行四边形ao4c5b的面积为（）acm2 bcm2 ccm2 dcm2考点：矩形的性质；平行四边形的性质专题：规律型分析：根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可解答：解：设矩形abcd的面积为s=20cm2，o为矩形abcd的对角线的交点，平行四边形aoc1b底边ab上的高等于bc的，平行四边形aoc1b的面积=s，平行四边形aoc1b的对角线交于点o1，平行四边形ao1c2b的边ab上的高等于平行四边形aoc1b底边ab上的高的，平行四边形ao1c2b的面积=s=，依此类推，平行四边形ao4c5b的面积=cm2故选b点评：本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键14.（2013陕西，9，3分）如图，在矩形abcd中，ad=2ab，点m、n分别在边ad、bc是，连接bm、dn，若四边形mbnd是菱形，则等于 （ ）a b c d考点：矩形的性质及菱形的性质应用。解析：矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题，菱形的性质应用较常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值，所以在解决过程中取特殊值法较为简单。设ab=1，则ad=2，因为四边形mbnd是菱形，所以mb=md，又因为矩形abcd，所以a=90，设am=x,则mb=2-x，由勾股定理得：ab2+am2=mb2，所以xbcda第9题图mn2+12=(2-x)2解得：，所以md=，故选c15.（2013四川绵阳，6，3分）下列说法正确的是（ d ）a对角线相等且互相垂直的四边形是菱形b对角线互相垂直的梯形是等腰梯形c对角线互相垂直的四边形是平行四边形d对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析由矩形的性质可知，只有d正确。平行四边形的对角线是互相平行，菱形的对角线互相平分且垂直，故a、c错，等腰梯形的对角线相等b也错。16.（2013四川绵阳，10，3分）如图，四边形abcd是菱形，对角线ac=8cm，bd=6cm，dhab于点h，且dh与ac交于g，则gh=（ b ）a b c d解析oa=4，ob=3，ab=5，bdhboa，bd/ab=bh/ob=dh/oa，6/5=bh/3，bh=18/5，ah=ab-bh=5-18/5=7/5，aghabo，gh/bo=ah/ao，gh/3=7/5 / 4，gh=21/20。17（2013贵州省六盘水，7，3分）在平面中，下列命题为真命题的是（）a四个角相等的四边形是矩形b对角线垂直的四边形是菱形c对角线相等的四边形是矩形d四边相等的四边形是正方形考点：命题与定理分析：分别根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出即可解答：解：a、根据四边形的内角和得出，四个角相等的四边形即四个内角是直角，故此四边形是矩形，故此选项正确；b、只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项错误；c、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项错误；d、四边相等的四边形是菱形，故此选项错误故选：a点评：此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定与性质，正确把握相关定理是解题关键18（2013河北省，11，3分）如图4，菱形abcd中，点m，n在ac上，mead， nfab. 若nf = nm = 2，me = 3，则an =a3b4c5 d6答案：b解析：由afnaem，得：，即，解得：an4，选b。19（2013河北省，12，3分）如已知：线段ab，bc，abc = 90. 求作：矩形abcd. 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是a两人都对b两人都不对c甲对，乙不对 d甲不对，乙对答案：a解析：对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角b为90度，知abcd是矩形，正确；对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及角b为90度，可判断abcd是矩形，故都正确，选a。二、填空题1（2013广东广州，15，3分）如图6，rtabc的斜边ab=16, rtabc绕点o顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为_ .【答案】 8.【解析】旋转是全等变换，所以所以rtabc与全等，且=cd，rtabc的斜边ab=16，cd=8，=8，答案填8.【方法指导】在几何图形变换中，平移、轴对称、对折、旋转、中心对称等都是全等变换，所以，对应边、对应角、对应边的中线、高和对应角平分线等都相等2（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形abcd中，边长为2的等边三角形aef的顶点e、f分别在bc和cd上，下列结论：cecfaeb750be+dfefs正方形abcd2+，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）【答案】.【解析】在正方形abcd与等边三角形aef中，ab=bc=cd=da，ae=ef=af，abeadf，df=be，有dc-df=bc-be，即 cecf，正确；ce=cf，c=90，fec=45，而aef=60，aeb180-60-45=75，正确；根据分析be+dfef，不正确；在等腰直角三角形cef中，ce=cf=efsin45=.在rtadf中，设ad=x，则df=x-，根据勾股定理可得，解得，x1=，（舍去）. 所以正方形abcd面积为=2+，正确.【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.3（2013江苏泰州，13，3分）对角线互相_的平行四边形是菱形.【答案】垂直【解析】根据菱形的判定条件，其中有“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.【方法指导】掌握菱形的判定与性质，我们可以从边、角、对角线、对称性这几个方面概括与总结，形成系统知识，便于复习巩固.4（2013江苏苏州，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc是边长为2的正方形，顶点a，c分别在x，y轴的正半轴上点q在对角线ob上，且oqoc，连接cq并延长cq交边ab于点p，则点p的坐标为( ， )【答案】(2，42)【解析】分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出ob，再求出bq，然后求出bpq和ocq相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出bp的长，再求出ap，即可得到点p的坐标解：四边形oabc是边长为2的正方形，oa=oc=2，ob=2qo=oc，bq=oboq=22正方形oabc的边aboc，bpqocq=，即=解得bp=22ap=abbp=2（22）=42点p的坐标为（2，42）所以应填2，42【方法指导】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出bp的长是解题的关键【易错警示】本题是综合题，掌握所用知识不全面而出错5（2013江苏苏州，18，3分）如图，在矩形abcd中，点e是边cd的中点，将ade沿ae折叠后得到afe，且点f在矩形abcd内部将af延长交边bc于点g若，则 （用含k的代数式表示）【答案】【解析】分析：根据中点定义可得de=ce，再根据翻折的性质可得de=ef，af=ad，afe=d=90，从而得到ce=ef，连接eg，利用“hl”证明rtecg和rtefg全等，根据全等三角形对应边相等可得cg=fg，设cg=a，表示出gb，然后求出bc，再根据矩形的对边相等可得ad=bc，从而求出af，再求出ag，然后利用勾股定理列式求出ab，再求比值即可解：点e是边cd的中点，de=ce将ade沿ae折叠后得到afe，de=ef，af=ad，afe=d=90ce=ef如图，连接eg在rtecg和rtefg中，eg=eg，ce=ef，rtecgrtefg（hl），cg=fg设cg=a，gb=ka，bc=cg+bg=a+ka=a（k+1）在矩形abcd中，ad=bc=a（k+1）af=a（k+1）ag=af+fg=a（k+1）+a=a（k+2）在rtabg中，ab=2a=所以应填【方法指导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键【易错警示】本题综合性很强，不能综合运用所学知识很容易出错6. （2013江苏扬州，17，3分）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 【答案】6【解析】分析：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x2，然后根据勾股定理列出方程式求出x的值，继而可求出矩形的面积解：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x2由勾股定理得，x2(x2)2=42整理得，x22x6=0解得：x=1或x=1（不合题意，舍去）另一边为：1则矩形的面积为：（1）（1）=6所以应填6【方法指导】本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法【易错警示】解题时，用勾股定理可能出错，解一元二次方程可能出错7（2013山东临沂，17，3分）如图，菱形abcd中，ab4，b60，aebc，afcd，垂足分别为e，f，连接ef，则aef的面积是_abcdef【答案】【解析】aef是等边三角形，边长为，所以该三角形的面积为。【方法指导】利用全等三角形的性质可知ae=af，利用直角三角形的性质得到bae=30，所以eaf=60。8.(2013山东烟台，18,3分)如图，正方形abcd的边长为4，点e在bc上，四边形efcb也是正方形，以b为圆心，ba长为半径画弧ac，连结af,cf则图中阴影部分面积为_.9. （2013福建福州，12，4分）矩形的外角和等于_度【答案】360【解析】根据任意多边形的外角和都为360即可得出答案【方法指导】本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360计算时，要熟记吆！【答案】【解析】利用两次三角形全等把不规则图形的面积转化成扇形的面积，注意化归思想方法的运用.在ab上截取ah=ef，连接eh交af于点g，则efahhag=gfe，又agh=fgeahgfegah=ef=be,又ab=bc，bh=ce又hbg=cefhbgcefab=4，s阴=s扇形abc=4. 【方法指导】本题考查了正方形的性质、扇形的面积公式、不规则图形的面积、全等三角形.本题要求的阴影部分面积是不规则图形，在解题过程中要善于运用化归思想通过三角形全等把不规则图形转化成规则的图形然后利用面积公式即可求解.10. (2013湖南邵阳,18,3分)如图(六)所示，将abc绕ac的中点o顺时针旋转180得到cda，添加一个条件_，使四边形abcd为矩形.图（六）【答案】:b=90(答案不唯一)【解析】：abc绕ac的中点o顺时针旋转180得到cda，ab=cd，bac=dca，abcd，四边形abcd为平行四边形，当b=90时，平行四边形abcd为矩形，添加的条件为b=90故答案为b=90【方法指导】：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了矩形的判定11（2013江西，10，3分）如图，矩形abcd中，点e、f分别是ab、cd的中点，连接de和bf，分别取de、bf的中点m、n，连接am，cn，mn，若ab=2，bc=2，则图中阴影部分的面积为 【答案】 2.【解析】 bcn与adm全等，面积也相等，口dfmn与口bemn的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半 ，即阴影部分的面积为.【方法指导】 仔细观察图形特点，搞清部分与整体的关系，把不规则的图形转化为规则的来计算.12（2013广西钦州，18，3分）如图，在正方形abcd中，e是ab上一点，be=2，ae=3be，p是ac上一动点，则pb+pe的最小值是10考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质分析：由正方形性质的得出b、d关于ac对称，根据两点之间线段最短可知，连接de，交ac于p，连接bp，则此时pb+pe的值最小，进而利用勾股定理求出即可解答：解：如图，连接de，交ac于p，连接bp，则此时pb+pe的值最小四边形abcd是正方形，b、d关于ac对称，pb=pd，pb+pe=pd+pe=debe=2，ae=3be，ae=6，ab=8，de=10，故pb+pe的最小值是10故答案为：10点评：本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出13 2013湖南邵阳，18，3分如图(六)所示，将abc绕ac的中点o顺时针旋转180得到cda，添加一个条件_，使四边形abcd为矩形.图（六）知识考点：矩形的判定. 审题要津：由题意可知四边形abcd是平行四边形，只要满足“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得到答案.满分解答：解：四边形abcd是平行四边形，若b=90，则平行四边形abcd为矩形.故答案为b=90. 名师点评：熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.abcdb1cd14. （2013江苏南京，11，2分） 如图，将矩形abcd绕点a顺时针旋转到矩形abcd的位置， 旋转角为a (0a90)。若1=110，则a= 。答案：20解析：错误！不能通过编辑域代码创建对象。，延长错误！不能通过编辑域代码创建对象。交cd于e，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。=20，错误！不能通过编辑域代码创建对象。ed=160，由四边形的内角和为360，可得a=2015 . （2013江苏南京，12，2分） 如图，将菱形纸片abcd折迭，使点a恰好落在菱形的对称中心o处，折痕为ef。若菱形abcd的边长为2 cm， a=120，则ef= cm。答案：解析：点a恰好落在菱形的对称中心o处，如图，p为ao中点，所以e为a职点，ae1，eao=60，ep错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以，ef16（2013潍坊，14，3分）如图，abcd是对角线互相垂直的四边形，且obod，请你添加一个适当的条件 _，使abcd成为菱形（只需添加一个即可）答案：oaoc或adbc或ad/bc或abbc等考点：菱形的判别方法点评：此题属于开放题型，答案不唯一主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理17. （2013嘉兴5分）如图，正方形abcd的边长为3，点e，f分别在边ab，bc上，ae=bf=1，小球p从点e出发沿直线向点f运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球p第一次碰到点e时，小球p与正方形的边碰撞的次数为6，小球p所经过的路程为【思路分析】根据已知中的点e，f的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度【解析】根据已知中的点e，f的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为f，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为g，在da上，且dg=da，第三次碰撞点为h，在dc上，且dh=dc，第四次碰撞点为m，在cb上，且cm=bc，第五次碰撞点为n，在da上，且an=ad，第六次回到e点，ae=ab由勾股定理可以得出ef=，fg=，gh=，hm=，mn=，ne=，故小球经过的路程为：+=6，故答案为：6，6【方法指导】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，属于难题18. 2013浙江丽水4分如图，四边形abcd与四边形aefg都是菱形，其中点c在af上，点e，g分别在bc，cd上，若bad=135，eag=75，则=_19.（2013四川绵阳，16，4分）对正方形abcd进行分割，如图1，其中e、f分别是bc、cd的中点，m、n、g分别是ob、od、ef的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若gom的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。解析连接ac，四边形abcd是正方形，acbd，e、f分别bc、cd的中点，ef/bd，acef，cf=ce，efc是等腰直角三角形，直线ac是efc底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，ac必过ef的中点g，点a、o、g和c在同一条直线上，oc=ob=od，ocob，fg是dco的中位线，og=cg= oc, m、n分别是ob、od的中点，om=bm= ob，on=dn= od，og=om=bm=on=dn= bd，等腰直角三角形gom的面积为1，omog=om2=1，om=,bd=4 om=4,2ad2= bd2=32,ad=4,图2中飞机面积图1中多边形abefd的面积，飞机面积=正方形abcd面积-三角形cef面积=16-2=14。20.（2013四川内江，16，5分）已知菱形abcd的两条对角线分别为6和8，m、n分别是边bc、cd的中点，p是对角线bd上一点，则pm+pn的最小值=5考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质分析：作m关于bd的对称点q，连接nq，交bd于p，连接mp，此时mp+np的值最小，连接ac，求出oc、ob，根据勾股定理求出bc长，证出mp+np=qn=bc，即可得出答案解答：解：作m关于bd的对称点q，连接nq，交bd于p，连接mp，此时mp+np的值最小，连接ac，四边形abcd是菱形，acbd，qbp=mbp，即q在ab上，mqbd，acmq，m为bc中点，q为ab中点，n为cd中点，四边形abcd是菱形，bqcd，bq=cn，四边形bqnc是平行四边形，nq=bc，四边形abcd是菱形，co=ac=3，bo=bd=4，在rtboc中，由勾股定理得：bc=5，即nq=5，mp+np=qp+np=qn=5，故答案为：5点评：本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出p的位置21（2013贵州省黔西南州，17，3分）如图所示，菱形abcd的边长为4，且aebc于e，afcd于f，b=60，则菱形的面积为考点：菱形的性质分析：根据已知条件解直角三角形abe可求出ae的长，再由菱形的面积等于底高计算即可解答：解：菱形abcd的边长为4，ab=bc=4，aebc于e，b=60，sinb=，ae=2，菱形的面积=42=8，故答案为8点评：本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用22（2013河南省，15，3分）如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 【解析】当时，由题可知：,即：在同一直线上，落在对角线上，此时，设，则，在中，解得当时，即落在上，此时在中，斜边大于直角边，因此这种情况不成立。当时，即落在上，此时四边形是正方形，所以【答案】23（2013黑龙江省哈尔滨市，20）如图。矩形abcd的对角线ac、bd相交于点0，过点o作oeac交ab于e,若bc=4，aoe的面积为5，则sinboe的值为 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。解直角三角形分析：本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理及解直角三角形注意数形结合思想的应用，此题综合性较强，难度较大，解答：由aoe的面积为5，找此三角形的高，作ohae于e,得ohbc,ah=bh,由三角形的中位线bc=4 oh=2，从而ae=5，连接ce,由ao=oc, oeac得eo是ac的垂直平分线，ae=ce，在直角三角形ebc中，bc=4,ae=5, 勾股定理得eb=3，ab=8，在直角三角形abc中，勾股定理得ac=,bo=ac=,作embo于m,在直角三角形ebm中,em=besinabd=3=，bm= becosabd=3=,从而om=,在直角三角形e0m中，勾股定理得oe=,sinboe=三、解答题1. （2013重庆市(a)，24，10分）如图，在矩形abcd中，e、f分别是边ab、cd上的点，aecf，连接ef、bf，ef与对角线ac交于点o，且bebf，bef2bac（1）求证：oeof；（2）若bc，求ab的长【答案】（1）证明：四边形abcd是矩形，abcdoaeocf，oeaofcaecf，aeocfo（asa）oeof（2）连接booeof，bebf，boef，且ebofbobof90四边形abcd是矩形，bcf90又bef2bac，befbaceoa， baceoaaeoeaecf，oeof， ofcf又bfbf，bofbcf（hl）obfcbfcbffboobeabc90，obe30beo60bac30tanbac，tan30，即，ab6【解析】（1）证明aeocfo解决（2）连接bo，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得fboebo，然后证明bofbcf，得fbofbc，直至证得bac30后，运用解直角三角形知识求解【方法指导】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形以往考题中，与本题图形相关的问题多是告诉点o是对角线ac的中点，得以产生aeocfo，可得aecf，而本题一改这种命题形式，将aecf当作条件呈现，让学生证明oeof，显得精巧细致，同时也为后面等腰三角形“三线合一”性质的应用创造了条件，进而通过bef2bac 这一条件，贯通已知与未知的联系，是一道不可多得的好的直线型几何综合题2.（2013湖北黄冈，17，6分）如图，四边形abcd是菱形，对角线ac、bd相交于点o，dhab于h，连接oh，求证：dhodco【答案】证明：四边形abcd是菱形， odob，cod90 dhab于h， dhb90 ohbdob ohbobh 又abcd， obhodc ohbodc 在rtcod中，odcocd90， 在rtdhb中，dhoohb90， dhodco【解析】根据菱形的对边平行，对角线互相垂直，易知obhodc，odcdco90再根据菱形的对角线互相平分及dhab，易证ohbobh，ohbdho90最后根据等角的余角相等证得dhodco【方法指导】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质及等角的余角相等熟练掌握相关几何知识是求解关键解答本题也可通过证明dhoodhdco解决，这可由odhdbh90，odcdco90，dbhodc及ohbdod证得3（2013江苏苏州，28，8分）如图，点p是菱形abcd对角线ac上的一点，连接dp并延长dp交边ab于点e，连接bp并延长bp交边ad于点f，交cd的延长线于点g（1）求证：apbapd；（2）已知dffa12，设线段dp的长为x，线段pf的长为y求y与x的函数关系式；当x6时，求线段fg的长【思路分析】（1）要证明apbapd，只要根据菱形的邻边相等、一条对角线平分一组对角，用“边角边”证明即可；（2）根据菱形的性质证明afpcbp，将dffa12变形，得afad23，即afbc23，进一步可以得出y与x的函数关系式；先求出当x6时y的值，再证明dfgafb，从而可以求出线段fg的长【解】【方法指导】本题考查了相似三角形的判定和菱形的性质特殊四边形的性质和判定一直是中考命题的热点，常用的菱形的性质有：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直平分；菱形的一条对角线平分一组对角【易错警示】不会运用菱形的一条对角线平分一组对角就不会证明三角形全等，不会运用菱形的性质证明三角形相似就解决不了问题4. （2013江苏扬州，23，10分）如图，在abc中，acb=90，ac=bc，点d在边ab上，连接cd，将线段cd绕点c顺时针旋转90至ce位置，连接ae（1）求证：abae；（2）若bc2=adab，求证：四边形adce为正方形【思路分析】（1）根据旋转的性质得到dce=90，cd=ce，利用等角的余角相等得bcd=ace，然后根据“sas”可判断bcdace，则b=cae=45，所以dae=90，即可得到结论；（2）由于bc=ac，则ac2=adab，根据相似三角形的判定方法得到daccab，则cda=bca=90，可判断四边形adce为矩形，利用cd=ce可判断四边形adce为正方形【解】证明：（1）在abc中，acb=90，ac=bc，bac=b=45由旋转得dc=ec，且dce=acb=90，即bcd+acd =ace+acd，bcd =ace.在bcd和ace中，bcdace.cae=b=cae=45.又bac=45，bae=bac +cae =90，abae.（2）ac=bc,若bc=adab,则ac=adab,即,又cad=bac.acdabc，adc=acb =90.四边形adce是矩形(三个角都是直角的四边形是矩形).再由dc=ce，可得四边形adce是正方形.【方法指导】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等、相似的判定与性质以及正方形的判定【易错警示】证明四边形adce是矩形、菱形的条件不够，从而感觉无从入手5.（2013贵州安顺，23，12分）如图，在abc中，d、e分别是ab、ac的中点。be=2de，延长de到点f，使得ef=be，连接cf.（1）求证：四边形bcfe是菱形；（2）若ce=4，bcf=120，求菱形bcfe的面积.【思路分析】从所给的条件可知，de是abc中位线，所以debc且2de=bc，所以bc和ef平行且相等，所以四边形bcfe是平行四边形，又因为be=fe，所以是菱形；bcf是120，所以ebc为60，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求【解】（1）证明：d、e分别是ab、ac的中点，debc，bc=2de，又be=2de，ef=be，bc=be=ef，efbc，四边形bcfe是菱形；(6分)（2）解：连接bf交ce于点o.在菱形bcfe中，bcf=120，ce=4，bfce，bco=bcf=60，oc=ce=2。在rtboc中，tan60=,ob=2tan60,bf=4tan60。菱形bcfe的面积=cebf=44tan60=8.（12分）【方法指导】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点6（2013山东临沂，22，7分）如图，在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad的中点，过点a作bc的平行线交be的延长线于点f，连接cf（1）求证：afdc；（2）若abac，试判断四边形adcf的形状，并证明你的结论abcdef【解析】证明：（1）e是ad的中点，aeedafbc，afedbe，faebde，afedbe，afdbad是bc边上的中线，dbdc，afdc（2）四边形adcf是菱形理由：由（1）知，afdc，afcd，四边形adcf是平行四边形又abac，abc是直角三角形ad是bc边上的中线，adbcdc平行四边形adcf是菱形【方法指导】利用全等三角形的性质得出相等的线段，根据题目中的条件和三角形中线的性质，可以判定四边形为菱形。7（2013广东广州，18，9分）如图8，四边形abcd是菱形，对角线ac与bd相交于o,ab=5,ao=4,求bd的长.【思路分析】因为菱形的对角线互相垂直，在rtaob中，已知两条边，由勾股定理可求出第三边，进而求得答案.【解】四边形abcd是菱形，acbd，且bo=do在rta