2019版高考数学复习不等式推理与证明第33讲一元二次不等式及其解法学案.docx

第33讲一元二次不等式及其解法考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.2017江苏卷，72016江苏卷，52015山东卷，1对一元二次不等式的考查主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.分值：5分三个二次之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集_x|xx1或xx2_R_ax2bxc0(a0)的解集_x|x1xx2_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()解析 (1)正确由不等式解集为(x1，x2)可知a0，故正确(2)正确由不等式的解集可知命题正确(3)错误当a0时，不等式的解集为，故错误(4)错误不等式恒成立的条件为或故错误(5)正确图象开口向下，则一定有小于0的部分，故正确2已知全集UR，集合A，B，则AB(D)A(1,2)B(2,3)C2,3)D(1,2解析 0，(x1)(x3)0，1x3.又42x0，42x，x2，ABx|1x2，故选D3不等式x(2x)0的解集为_(0,2)_.解析 x(2x)0，x(x2)0，0x2，故解集为(0,2)4关于x的不等式ax2bx20的解集是，则ab_14_.解析 由题意可知a0且和是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_(44，)_.解析 由题意可知a2160解得a4或a4.一含参数的一元二次不等式的解法(1)二次项中若含有参数应讨论是小于零，等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与零的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【例1】 解关于x的不等式：ax222xax(aR)解析 原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为.二一元二次不等式恒成立问题不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值【例2】 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求x的取值范围解析 (1)当xR时，有x2ax3a0恒成立，须a24(3a)0，即a24a120，所以6a2，故a的范围为6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件，有a24(3a)0，即6a2.如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x 2，)时，g(x)0，即即无解如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x(，2时，g(x)0，即即得7a6.综合，得7a2，即a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23，当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解之得x3或x3，故x的取值范围是(，33，)三一元二次不等式的实际应用求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果【例3】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得利润是100元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解析 (1)根据题意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y10091049104，故x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元1已知不等式ax2bxc0的解集为，则不等式cx2bxa0的解集为(D)ABCD解析 由已知得a0，且2,4为一元二次方程ax2bxc0的两根，得24，24.除以，得，由得.a0，c0，不等式cx2bxa0x2x0x2x00，x或x，故选D2不等式2的解集是(D)A(1,1)B(2,2)C(1,0)(0,1)D(2,0)(0,2)解析 2，2x222，0x24.2x0或0x2，故选D3已知函数f(x)若对任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，则实数m的取值范围为_1，)_.解析 由题意知，m2mf(x)max.当x1时，f(x)x是减函数，且f(x)0；当x1时，f(x)x2x，其图象的对称轴方程是x，且开口向下，f(x)max，m2m，即4m23m10，m或m1.4解下列关于x的不等式(1)0a2(aR)解析 (1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示原不等式的解集为x|2x1或2a2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.当a0时，解集为x；当a0时，x20，解集为x|x0；当a，解集为x.综上所述，当a0时，不等式的解集为x；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为x.易错点分不清主元、次元错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，兼顾其他【例1】 (1)对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围(2)对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围解析 (1)当x1,1时，x2(a4)x42a0恒成立(x2)ax24x40恒成立(x2)a(x2)2恒成立1x1时，3x21，a(x2)恒成立1(x2)3，a的取值范围是(，1)(2)f(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，令g(a)(x2)ax24x4，依题意，在a1,1时，g(a)的值恒大于零，解得x1或x3.x的取值范围是(，1)(3，)【跟踪训练1】 若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(D)A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0解析 当k0时，显然成立；当k0时，一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，k的取值范围是(3,0，故选D课时达标第33讲解密考纲考查不等式的解法，常以选择题或填空题的形式出现在解答题中也涉及一元二次不等式的解法一、选择题1不等式0的解集是(C)Ax|x1Bx|x2Cx|1x2Dx|2x1解析 不等式x23x20，即x23x20，(x1)(x2)0，解得1x2.故原不等式的解集为x|1x23若ax2bxc0的解集为x|x4，则对于函数f(x)ax2bxc应有(B)Af(5)f(2)f(1)Bf(5)f(1)f(2)Cf(1)f(2)f(5)Df(2)f(1)f(5)解析 ax2bxc0的解集为x|x2或x4，a0，而且函数f(x)ax2bxc的图象的对称轴方程为x1，f(1)f(3)又函数f(x)在1，)上是减函数，f(5)f(3)f(2)，即f(5)f(1)f(2)，故选B4函数yln的定义域为(C)Ax|1x2Bx|0x1Cx|0x1Dx|10的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是(A)ABCD解析 由f(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0，且解得a1或(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x或x，故选A6若不等式(aa2)(x21)x0对一切x(0,2恒成立，则a的取值范围是(C)ABCD解析 x(0,2，a2a.要使a2a在x(0,2时恒成立，则a2amax，由基本不等式得x2，当且仅当x1时，等号成立，即max.由a2a，解得a或a.二、填空题7已知不等式组的解集是不等式2x29xa0成立，则实数x的取值范围为_(3，1)_.解析 不等式可变形为(x2x)p3x30，令f(p)(x2x)p3x3，p1,1原不等式成立等价于f(p)0，p1,1，则即解得3x1.9已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)0的解集为(1,2)，若方程f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是_(4,0)_.解析 由题意知a0，可设f(x)a(x1)(x2)ax23ax2a，f(x)maxf1，a4，故4a0.三、解答题10已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解析 (1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.所以不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得即a的值为3，b的值为3.11解关于x的不等式ax2(2a1)x20(aR)解析 原不等式可化为(ax1)(x2)0时，原不等式可以化为a(x2)0，等价于(x2)0.当0a，即2时，原不等式的解集是2x，即2时，原不等式的解集是x2.当a0时，原不等式为(x2)2，即原不等式的解集是x|x2当a0时，原不等式可以化为a(x2)0，由于2，故原不等式的解集是x2.综上：当a0时，不等式的解集为x2；当a0时，不等式的解集为x|x2；当0a时，不等式解集为2x时，不等式的解集为x2xm成立，求实数m的取值范围解析 (1)由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2(a0)，由f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2(ax2bx2)4ax4a2b，又f(x2)f(x)16x，得4ax4a2b16x，故a4，b8，所以f(x)4x28x2.(2)因为存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，即存在x1,2，使不等式m4x210x2成立，令g(x)4x210x2，