高考数学 321精品系列 专题02 函数.doc

20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0202 函数 教师版 函数 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 2 指数函数 了解指数函数模型的实际背景 理解有理指数幂的含义 了解 实数指数幂的意义 掌握幂的运算 理解指数函数的概念 并理解指数函数的单调性掌 握指数函数图像通过的特殊点 知道指数函数是一类重要的函数模型 3 对数函数 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数 了解对数在简化运算中的作用 理解对数函数的概念 理解对 数函数的单调性 掌握函数图像通过的特殊点 知道对数函数是一类重要的函数模型 了解指数函数与对数函数互为反函数 a 0 且 a 1 4 幂函数 了解幂函数的概念 结合函数的图像 了解它们的变化情况 5 函数与方程 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判 断一元二次方程根的存在性及根的个数 根据具体函数的图像 能够用二分法求相应 方程的近似解 6 函数模型及其应用 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道 直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 了解函数模型 如指数 函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 考纲解读 重点掌握常见函数的性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 图像等 特别是单调性与奇偶性的综合 函数性质与导数 不等式的综合 注意分段函数 要注意函数思想 分类讨论 数形结合思想的灵活应用 熟练掌握三种函数的图像与性质 考题主要围绕运算 性质 图像来考查 要注意逆向问题 3 解答题中常与导数结合考查单调性 极值 最值及某些参数的范 围问题 近几年考点分布近几年考点分布 本部分内容的主要考点是 函数的表示方法 分段函数 函数的定义域和值域 函数 的单调性 函数的奇偶性 本部分在高考试卷中一般以选择题或填空题的形式出现 考查 的重点是函数的性质和图象的应用 重在检测考生对该部分的基础知识和基本方法的掌握 程度 复习该部分以基础知识为主 注意培养用函数性质和函数图象分析问题和解决问题的 能力 二次函数 指数函数 对数函数是中学数学的重要函数模型 也是函数内容的主体部 分 因此是高考重点考查的对象 在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考 查 既有可能在选择题 填空题中出现 也有可能在解答题中出现 从难度上看 容易题 中档题 难题均有可能出现 以考查这些函数的图象与性质为主 同时还经常将对这些内 容的考查与其他知识融合在一起 体现知识点的交汇 要点 2 函数的图象 1 解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质 善于利用函数的性质来作图 要合理利用图象的三种变换 2 在研究函数性质特别是单调性 最值 零点时 要注意用 好其与图象的关系 结合图象研究 要点 3 函数的性质 1 函数的奇偶性 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称 函 数图象的对称性等对问题进行分析转化 特别注意 奇函数若在 x 0 处有定义 则一定有 f 0 0 偶函数一定有 f x f x 在解题中的应用 2 函数的单调性 一是紧扣定义 二是充分利用函数的奇偶性 函数的周期性和函数 图象的直观性进行分析转化 函数的单调性往往与不等式的解 方程的解等问题交汇 要 注意这些知识的综合运用 要点 4 二次函数 1 求二次函数在某段区间上的最值时 要利用好数形结合 特别是含参数的两种类型 定轴动区间 定区间动轴 的问题 抓住 三点一轴 三点指的是区间两个端点和区间 中点 一轴指的是对称轴 1 底数相同 指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较 底数相同 真数不同的对数 值用对数函数的单调性进行比较 2 底数不同 指数也不同 或底数不同 真数也不同的 两个数 可以引入中间量或结合图象进行比较 2 对于含参数的指数 对数问题 在应用单调性时 要注意对底数进行讨论 解决对 数问题时 首先要考虑定义域 其次再利用性质求解 要点 6 函数模型的实际应用 解决函数模型的实际应用题 首先应考虑该题考查的是何种函数 并要注意定义域 然后结合所给模型 列出函数关系式 最后结合其实际意义作出解答 明确下面的基本解 题步骤是解题的必要基础 读题 文字语言 建模 数学语言 求解 数学应用 反馈 检验作答 要点 7 函数零点 1 函数零点 方程的根 的确定问题 常见的类型有 1 零点或零点存在区间的确定 2 零点个数的确定 3 两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定 解决这类问 题的常用方法有 解方 程法 利用零点存在的判定或数形结合法 尤其是那些方程两端对 应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 2 函数零点 方程的根 的应用问题 即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值 范围问题 解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程 或不等式求解 3 用二分法求函数零点近似值 用二分法求函数零点近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点 1 x 3 计算 f 1 x 当 f 1 x 0 则 1 x就是函数的零点 若 f a f 1 x 0 则令 b 1 x 此时零点 01 xa x 若 f 1 x f b 0 1 l与函数 2 logyx 的图像从左至右相交于点 a b 2 l与函数 2 logyx 的图像从左至右相交于 c d 记线段 ac 和 bd 在 x 轴上的投影长度分别为 a b 当 m 变化时 b a 的最小值为 a 16 2b 8 2c 8 4d 4 4 15 2012 年高考 北京文 函数 1 2 1 2 x f xx 的零点个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 函数 1 2 1 2 x f xx 的零点 即令 0f x 根据此题可得 1 2 1 2 x x 在平面直 角坐标系中分别画出这两个函数的图像 可得交点只有一个 所以零点只有一个 故选答 案 b 16 2012 年高考 天津理 函数 3 2 2 x f xx 在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 解法 1 因为 0 1 02 1f 3 1 2 22 8f 即 0 1 0 得到 x 2 1 28 2012 年高考 上海文 已知 xfy 是奇函数 若2 xfxg且1 1 g 则 1 g 29 2012 年高考 山东文 若函数 0 1 x f xaaa 在 1 2 上的最大值为 4 最 小值为m 且函数 14 g xmx 在 0 上是增函数 则a 解析 当1a 时 有 21 4 aam 此时 1 2 2 am 此时 g xx 为减函数 不合题 意 若01a 则 12 4 aam 故 11 416 am 检验知符合题意 另解 由函数 14 g xmx 在 0 上是增函数可知 4 1 041 mm 当1 a时 x f xa 在 1 2 上的最大值为 2 a4 解得2 a 最小值为 2 1 1 am不符 合题意 舍去 当10 a时 x f xa 在 1 2 上的最大值为4 1 a 解得 4 1 a 此时最小值为 4 1 16 1 2 am 符合题意 故a 4 1 30 2012 年高考 福建文 已知关于x的不等式 2 20 xaxa 在r上恒成立 则实数 a的取值范围是 解析 因为 不等式恒成立 所以0 即 2 4 20aa 所以08a 31 2012 年高考 上海文 方程0324 1 xx 的解是 解析 0322 2 2 xx 0 32 12 xx 32 x 3log2 x 32 2012 年高考 陕西文 设函数发 0 1 0 2 x x x f x x a 不考虑另一根 当a不超过 6 千米时 炮 弹可以击中目标 38 2012 年高考 湖南理 某企业接到生产 3000 台某产品的 a b c 三种部件的订单 每 台产品需要这三种部件的数量分别为 2 2 1 单位 件 已知每个工人每天可生产 a 部件 6 件 或 b 部件 3 件 或 c 部件 2 件 该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件 生 产 b 部件的人数与生产 a 部件的人数成正比 比例系数为 k k 为正整数 1 设生产 a 部件 的人数为 x 分别写出完成 a b c 三种部件生产需要的时间 2 假设这三种部件的生产同时 开工 试确定正整数 k 的值 使完成订单任务的时间最短 并给出时间最短时具体的人数分组 方案 解析 设完成 a b c 三种部件的生产任务需要的时间 单位 天 分别为 123 t x t x t x由题设有 123 2 3000100020001500 6200 1 t xt xt x xxkxk x 期中 200 1 x kxk x 均为 1 到 200 之间的正整数 完成订单任务的时间为 123 max f xt x t x t x 其定义域为 200 0 1 xxxn k 易知 12 t x t x为减函数 3 t x为增函数 注意到 21 2 t xt x k 于是 当2k 时 12 t xt x 此时 13 10001500 max max 2003 f xt x t x xx 由函数 13 t x t x的单调性知 当 10001500 2003xx 时 f x取得最小值 解得 400 9 x 由于 13 400250300 4445 44 44 45 45 44 45 91113 ftftff 而 故当44x 时完成订单任务的时间最短 且最短时间为 250 44 11 f 当2k 时 12 t xt x 由于k为正整数 故3k 此时 1 375 max 50 t xxt x t x x 易知 t x为增函数 则 13 max f xt x t x 1 max t x t x 1000375 max 50 x xx 由函数 1 t x t x的单调性知 当 1000375 50 xx 时 x 取得最小值 解得 400 11 x 由于 1 400250250375250 3637 36 36 37 37 119111311 tt 而 此时完成 订单任务的最短时间大于 250 11 当2k 时 12 t xt x 由于k为正整数 故1k 此时 23 2000750 max max 100 f xt x t x xx 由函数 23 t x t x的单调性知 当 2000750 100 xx 时 f x取得最小值 解得 800 11 x 类似 1 的讨论 此时完成订单任务 的最短时间为 250 9 大于 250 11 综上所述 当2k 时完成订单任务的时间最短 此时生产 a b c 三种部件的人数 分别为 44 88 68 20112011 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 安徽文安徽文 13 函数 2 1 6 y xx 的定义域是 解析 由 2 60 xx 可得 2 60 xx 即 320 xx 所以32x 2 江西文江西文 3 若 1 2 1 log 21 f x x 则 f x的定义域为 a 1 0 2 b 1 2 c 1 0 0 2 d 1 2 2 解析 1 2 log210 210 211xxx 1 00 2 x 故选 c 3 江西理江西理 3 若 log f x x 则 f x的定义域为 a b c d 解析 要使原函数有意义 只须 1 log 21 0 2 x 即0 21 1x 解得 x 故 选 a 4 广东文广东文 4 4 函数 函数 1 lg 1 1 f xx x 的定义域是的定义域是 a a 1 b b 1 c c 1 1 1 d d 解析解析 由题得由题得 函数的定义域为 且 11 1 11 01 01 xx x x 所以选所以选 c c 5 广东理广东理 4 设函数设函数 f x和和 g xg x 分别是分别是 r r 上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 a a f x g x g x 是偶函数是偶函数 b b f x g x g x 是奇函数是奇函数 c c f x g x g x 是偶函数是偶函数 d d f x g x g x 是奇函数是奇函数 6 安徽文安徽文 11 设 f x是定义在 r 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2 2xx 则 1 f 解析 2 1 1 2 1 1 3ff 7 安徽理安徽理 3 设 f x是定义在r上的奇函数 当x 时 f xxx 则 f a b 解析 2 1 1 2 1 1 3ff 故选 a 8 陕西文陕西文 11 设 lg 0 10 0 x x x f x x 则 2 f f 9 9 陕西理 陕西理 11 设 2 0 lg0 30 a xx f x xt dtx 若 1 1f f 则a 分析 分段函数问题通常需要分布进行计算或判断 从1x 算起是解答本题的突破口 解 因为10 x 所以 1 lg10f 又因为 23 0 3 a f xxt dtxa 所以 3 0 fa 所以 3 1a 1a 1010 浙江文 浙江文 11 设函数 4 1 f x x 若 2f a 则实数a 解析 4 2121 1 aa a 1111 浙江理 浙江理 1 1 设函数 2 0 4 0 x x f xf xx 若 则实数 a 4 或 2 b 4 或 2 c 2 或 4 d 2 或 2 解析 当 2 042 aaa 时 044aaa 当时 故选 b 1212 浙江理 浙江理 11 若函数 2 f xxxa 为偶函数 则实数a 13 江苏11 已知实数0 a 函数 1 2 1 2 xax xax xf 若 1 1 afaf 则 a的值为 解析 3 0 2212 2 aaaaa a 3 0 1222 4 aaaaa a 1414 湖南文 湖南文 8 已知函数 2 1 43 x f xeg xxx 若有 f ag b 则b的取 值范围为 a 22 22 b 22 22 c 1 3 d 1 3 解析 由题可知 11 x f xe 22 43 2 1 1g xxxx 若有 f ag b 则 1 1 g b 即 2 431bb 解得2222b 故选 b 1515 湖北文 湖北文 3 若定义在 r 上的偶函数 f x和奇函数 g x满足 x f xg xe 则 g x a x x ee b 1 2 x x ee c 1 2 x x ee d 1 2 x x ee 1616 湖北文 湖北文 15 15 里氏震级 m 的计算公式为 0 lglgmaa 其中 a 是测震仪记录 的地震曲线的最大振幅 0 a是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪记录的 最大振幅是 1000 此时标准地震的振幅为 0 001 则此次地震的震级为 级 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 倍 解析 由 0 111 10001 0 0016 mgagagg 当为 9 级地震时 则有 900 1191gamgaga 当为 5 级地震时 则有 500 1151gamgaga 故 0 9 1 9 10 ga a 0 5 1 5 10 ga a 则 9 4 5 1010000 a a 1717 湖北理 湖北理 6 已知定义在 r r 上的奇函数 xf和偶函数 xg满足 f xg x 2 xx aa 1 0 aa且 若 ag 2 则 2f a 2 b 4 15 c 4 17 d 2 a 解析 法一 解析 法一 由条件 222 22 aagf 222 22 aagf 即 222 22 aagf 由此解得 22 g 22 2 aaf 所以2 a 4 15 222 22 f 所以选 b 法二 因为 2 xx f xg xaa 则 2 xx fxgxaa 联立可得 2g x 又因为 2 ga 故 a 2 因为 22 2 2 2 fgaa 2 ga 则 2222 15 2 22222 4 faaa 所以选 b 1818 安徽理 安徽理 5 若点 a b 在lgyx 图像上 a 则下列点也在此图像上的是 a a b b 10a 1 b c a b 1 d a2 2b 1919 全国文 文 1010 理理 9 设 f x是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x 2 1 xx 则 5 2 f a 1 2 b 1 4 c 1 4 d 1 2 解析 考查利用函数周期性和奇偶性基本知识求函数值的能力 5111 2222 fff 故选 d 2020 福建文 福建文 8 已知函数 f x 若 f a 1 f 0 则实数a的值 2x x 0 x 1 x 0 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 当 0a 时 f a 1 f 220 a 不成立 当 0a 时 f a 1 f 120a 解得3a 故选 a 21 辽宁辽宁文文 6 若函数 12 axx x xf 为奇函数 则a a 2 1 b 3 2 c 4 3 d 1 22 辽宁辽宁理理 9 设函数 f x 1xxlog 1 1x 2 2 x 1 则满足 f x 2 的 x 的取值范围是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 不等式等价于 1 1 22 x x 或 2 1 1 log2 x x 解不等式组 可得01x 或1x 即 0 x 故选 d 23 江苏2 函数 12 log 5 xxf的单调增区间是 答案 1 2 24 全国新课标文 理 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 单调递增的函数是 a 3 yx b 1yx c 2 1yx d 2 x y 解析 由偶函数可排除 a 再由增函数排除 c d 故选 b 25 重庆理重庆理 5 下列区间中 函数 lg 2 f xx 在其上为增函数的是 a 1 b 4 1 3 c 3 0 2 d 1 2 26 全国新课标文 10 在下列区间中 函数34 xexf x 的零点所在的区间为 a 0 4 1 b 4 1 0 c 2 1 4 1 d 4 3 2 1 解析 由二分法判断零点知 0 2 1 4 1 ff 所以零点在 2 1 4 1 故选 c 2727 福建文 福建文 6 若关于x的方程x2 mx 1 0 有两个不相等的实数根 则实数m的取值 范围是 a 1 1 b 2 2 c 2 2 d 1 1 解析 2 402mm a或2m 故选 c 2828 四川理理 13 计算 1 2 1 lglg25 100 4 解析 1 2 111 lglg25 100lg20 410010 29 重庆文 6 设 113 33 124 log log log 233 abca b c 则的大小关系是 a abc b cba c bac d bca 解析 30 北京文北京文 3 如果 0loglog 2 1 2 1 yx那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 解析 11 22 loglogxyxy 1 2 log01yy 即1yx 故选 d 31 天津文天津文 5 5 已知已知 2 log 3 6 a 4 log 3 2 b 4 log 3 6 c 则则 a a abc b b acb c c bac d d cab 32 天津理天津理 7 7 已知 已知 3 24 log 0 3 log 3 4log 3 6 1 5 5 5 abc 则 则 a a abc b b bac c c acb d d cab 解析 因为 3 3 242 log 0 3 10 log log 3 4log 3 6log3 6 3 1 5 55 5 5 abc 所以acb 故选 c 33 陕西文陕西文 4 函数 1 3 yx 的图像是 解 取 1 8 x 1 8 则 1 2 y 1 2 选项 b d 符合 取1x 则1y 选项 b 符 合题意 3434 陕西理 陕西理 3 设函数 f x x r r 满足 fxf x 2 f xf x 则函数 yf x 的图像是 3535 四川文文 4 函数 1 1 2 x y 的图象关于直线y x对称的图象像大致是 解析 1 1 2 x y 图象过点 0 2 且单调递减 故它关于直线y x对称的图象过点 2 0 且 单调递减 选 a 3636 四川理理 7 已知 f x是 r 上的奇函数 且当0 x 时 1 1 2 x f x 则 f x的 反函数的图像大致是 解析 由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域 原函数的定义域为反函数的值域 当 1 0 0 1 12 2 x xy 故选 a 37 全国新课标文 12 已知函数 xf的周期为 2 当 1 1 x时 2 xxf 那么 函数 xf的图像与函数xylg 的图像的交点共有 a 10 个 b 9 个 c 8 个 d 1 个 解析 由函数的周期性和对称性知在区间 1 0 上有一个交点 在区间 10 1 上有 9 个交 点 故共有 10 个交点 故选 a 38 天津文 理天津文 理 8 8 对实数对实数a和和b 定义运算定义运算 ab 1 1 a ab b ab 设函数设函数 2 2 1 f xxx xr 若函数若函数 yf xc 的图象与的图象与 x x 轴恰有两个公共点轴恰有两个公共点 则实数则实数 c c 的取值范围是的取值范围是 a a 1 1 2 b b 2 1 1 2 c c 2 1 2 d d 2 1 3939 全国文 理文 理 2 函数2 0 yx x 的反函数为 a 2 4 x yxr b 2 0 4 x yx c 2 4 yxxr d 2 4 0 yxx 解析 考查反函数的求法 2 00 2 0 4 x xyyxyx 由由选 b 4040 陕西理 陕西理 6 函数 cosf xxx 在 0 内 a 没有零点 b 有且仅有一个零点 c 有且仅有两个零点 d 有无穷多个零 点 解 方法一 数形结合法 令 cosf xxx 0 则 cosxx 设函数yx 和cosyx 它们在 0 的图像如图 所示 显然两函数的图像的交点有且只有一个 所以函数 cosf xxx 在 0 内有且仅有一个零点 选 b 方法二 在 2 x 上 1x cos1x 所以 cosf xxx 0 在 0 2 x 1 sin0 2 fxx x 所以函数 cosf xxx 是增函数 又因为 0 1f 0 22 f 所以 cosf xxx 在 0 2 x 上有且只有一个零 点 选 b 4141 山东山东理理 10 已知已知 f x是是r上最小正周期为上最小正周期为 2 2 的周期函数 且当的周期函数 且当02x 时时 3 f xxx 则函数则函数 yf x 的图象在区间的图象在区间 0 6 0 6 上与上与x轴的交点的个数为轴的交点的个数为 a a 6 6 b b 7 7 c c 8 8 d d 9 9 4242 山东文 理 山东文 理 16 已知函数 f x log 0a1 a xxb a 且当 2 a 3 b 4 时 函数 f x的零点 0 1 n xn nnn 则 解析 方程log 0a1 a xxb a 且 0 的根为 0 x 即函数log 23 a yxa 的 图象与函数 34 yxbb 的交点横坐标为 0 x 且 0 1 xn nnn 结合图象 因 为当 23 xaa 时 1y 此时对应直线上1y 的点的横坐标1 4 5 xb 当 2y 时 对数函数log 23 a yxa 的图象上点的横坐标 4 9 x 直线 34 yxbb 的图象上点的横坐标 5 6 x 故所求的5n 4343 湖南理 湖南理 8 设直线tx 与函数 xxgxxfln 2 的图像分别交于点nm 则当 mn达到最小时的t值为 a 1 b 2 1 c 2 5 d 2 2 44 北京文 理北京文 理 13 已知函数 3 2 2 1 2 x f xx xx 若关于x的方程 f xk 有两个 不同的实根 则实数k的取值范围是 解析 2 2 f xx x 单调递减且值域为 0 1 3 1 2 f xxx 单调递增且值 域为 1 f xk 有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 0 1 45 重庆理重庆理 10 设 m k 为整数 方程 2 20mxkx 在区间 0 1 内有两个不同的根 则 m k 的最小值为 a 8 b 8 c 12 d 13 解析 设 2 2f xmxkx 则方程 2 20mxkx 在区间 0 1 内有两个不同的根 等价于 2 010 01 2 80 ff k m km 因为 02f 所以 120fmk 故抛物线开口向上 于是0m 02km 令1m 则由 2 80km 得3k 则 3 22 k m 所以 m 至少为 2 但 2 80km 故 k 至少为 5 又 5 22 k m 所以 m 至少为 3 又由 252mk 所以 m 至少为 4 依次类推 发现当6 7mk 时 m k首次满 足所有条件 故mk 的最小值为 13 4646 四川文文 16 函数 f x的定义域为a 若 12 x xa 且 12 f xf x 时总有 12 xx 则 称 f x为单函数 例如 函数 f x 2x 1 x r 是单函数 下列命题 函数 2 f xx x r r 是单函数 指数函数 2xf x x r r 是单函数 若 f x为单函数 12 x xa 且 12 xx 则 12 f xf x 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 写出所 有真命题的编号 47 上海理 20 文 21 12 分 已知函数 23 xx f xab 其中常数 a b满足 0ab 若0ab 判断函数 f x的单调性 若0ab 求 1 f xf x 时x的取值范 围 解 当0 0ab 时 任意 1212 x xr xx 则 1212 12 22 33 xxxx f xf xab 1212 22 0 22 0 xxxx aa 1212 33 0 33 0 xxxx bb 12 0f xf x 函数 f x在r上是增函数 当0 0ab 时 同理 函数 f x在r上是减函数 1 2230 xx f xf xab 当0 0ab 时 3 22 x a b 则 1 5 log 2 a x b 当0 0ab 时 3 22 x a b 则 1 5 log 2 a x b 4848 湖南理 湖南理 20 如图 6 长方形物体 e 在雨中沿面 p 面积为 s 的垂直方向作匀速移动 速度为 0 v v 雨速沿 e 移动方向的分速度为 c cr e 移动时单位 时间内的淋雨量包括两部分 1 p 或 p 的平行面 只有一个面淋雨 的 淋雨量 假设其值与vc s 成正比 比例系数为 1 10 2 其它面的淋 雨量之和 其值为 1 2 记y为 e 移动过程中的总淋雨量 当移动距离 d 100 面积 s 3 2 时 写出y的表达式 设 0 v 10 0 c 5 试根据 c 的不同取值范围 确定移动速度v 使总淋雨量y最少 解析 i 由题意知 e 移动时单位时间内的淋雨量为 31 202 vc 故 100315 3 10 202 yvcvc vv 当 10 0 3 c 时 y是关于v的减函数 故当10v 时 min 3 20 2 c y 当 10 5 3 c 时 在 0 c上 y是关于v的减函数 在 10 c上 y是关于v的增函数 故当vc 时 min 50 y c 4949 湖北文 湖北文 1919 理 理 17 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一 般情况下 大桥上的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的 函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车速度为 0 当车流密度不 超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20200 x 时 车流速度 v 是车流密度x的一次函数 当0200 x 时 求函数 v x的表达式 当车流密度 x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f xx v x a可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 依题意并由 可得 60 020 1 200 20200 3 x f x xx 当020 x 时 f x为增函数 5050 福建文 福建文 2121 设函数 f 3sincos 其中 角 的顶点与坐标原点重合 始 边与 x 轴非负半轴重合 终边经过点 p x y 且0 1 若点 p 的坐标为 13 22 求 f 的值 ii 若点 p x y 为平面区域 x y1 x1 y1 上的一个动点 试确定角 的取值范围 并求函数 f 的最小值和最大值 解析 1 由点 p 的坐标和三角函数的定义可得 3 sin 2 1 cos 2 于是 31 3sincos32 22 f 2 作出平面区域 即三角形区域 abc 如图 其中 a 1 0 b 1 1 c 0 1 则 0 2 又 3sincos2sin 6 f 且 2 663 故当 62 即 3 时 f 取得最大值 2 当 66 即0 时 f 取 得最小值 1 命题立意 本题主要考查三角函数 不等式等基础知识 考查运算求解能力 推理论证 能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 20102010 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 一 选择题 1 20102010 山东理山东理 4 4 设 f x 为定义在 r 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x 2x b b 为常数 则 f 1 a 3 b 1 c 1 d 3 命题意图 本题考查函数的基本性质 熟练函数的基础知识是解答好本题的关键 2 20102010 山东理山东理 1111 函数 y 2x 2 x的图像大致是 选 a 命题意图 本题考查函数的图象 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 的思维能力 3 20102010 全国全国 i i 理理 8 8 设 a 3 log2 b in2 c 1 2 5 则 a a b c bb c a c c a b d c b a 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大 小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 a 3 log2 2 1 log 3 b in2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 答案 c 4 20102010 全国全国 i i 理理 1010 已知函数 f x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 3 d 3 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做本 小题时极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a 2b 2 2 2a a 从而错选 a 这 也是命题者的用苦良心之处 解析 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 1 b a 所以 a 2b 2 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 2 1 3 即 a 2b 的取值范围是 3 答案 a 5 20102010 福建理福建理 4 4 函数 2 x 2x 3 x0 x 2 lnx x 0 f 的零点个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 6 20102010 安徽理安徽理 6 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图象可能是 解析 当0a 时 b c同号 c d 两图中0c 故0 0 2 b b a 选项 d 符合 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0a 或0a 两种情况分类考虑 另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等 7 2010 2010 天津理天津理 2 2 函数 23 x f xx 的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 因为 1 1 230f 0 0 2010f 所以选 b 命题意图 本小题考查函数根的存在性定理 属基础题 8 2010 2010 天津理天津理 8 8 设函数 f x 2 1 2 log log x x 0 0 x x 若 f a f a 则实数 a 的取值范围 是 a 1 0 0 1 b 1 1 c 1 0 1 d 1 0 1 解析 当0a 时 由 f a f a 得 21 2 loglog aa 即 22 1 loglog a a 即 1 a a 解得1a 当0a 时 由 f a f a 得 1 2 log a 2 loga 即 2 1 log a 2 loga 即 1 a a 解得10a 故选 c 命题意图 本小题考查函数求值 不等式求解 对数函数的单调性等基础知识 考查同 学们分类讨论的数学思想 9 20102010 广东理广东理 3 3 若函数 f x 3x 3 x与 g x 3x 3 x的定义域均为 r 则 a f x 与 g x 均为偶函数 b f x 为偶函数 g x 为奇函数 c f x 与 g x 均为奇函数 d f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 33 33 xxxx fxf x gxg x 答案 d 10 2010 2010 安徽理安徽理 4 4 若 f x是r上周期为 5 的奇函数 且满足 11 22ff 则 34ff a 1b 1c 2d 2 答案 a 11 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 3 3 2log510 log50 25 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 答案 c 12 20102010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 4 4 函数 f x x2 mx 1 的图像关于直线 x 1 对称的充要 条件是 a 2m b 2m c 1m d 1m 解析 函数 f x x2 mx 1 的对称轴为 x 2 m 是 2 m 1 m 2 答案 a 13 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 8 8 设偶函数 f x满足 3 8 0 f xxx 则 2 0 x f x a 24 x xx 或 b 04 x xx 或 c 06 x xx 或 d 22 x xx 或 解析解析 当0 x 时 3 802f xxx 又由于函数是偶函数 所以xr 时 0f x 的解集为 2x x 或2 x 故 2 0f x 的解集为 0 x x 或4 x 另解另解 根据已知条件和幂函数 3 yx 的图像易知 3 80f xx 的解集为 2x x 或 2 x 故 2 0f x 的解集为 0 x x 或4 x 答案 b 14 2010 2010 宁夏宁夏 1111 已知函数 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx 若 a b c互不相等 且 f af bf c 则abc的取值范围是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 解析解析 不妨设abc 取特例 如取 1 2 f af bf c 则易得 11 22 10 10 11abc 从而11abc 选 c 另解另解 不妨设abc 则由 1f af bab 再根据图像易得1012c 故选 c 15 20102010 陕西理陕西理 5 5 已知函数 f x 2 21 1 1 x x xax x 若 0 f f 4a 则实数 a a 1 2 b 4 5 c 2 d 9 解析 2120 0 f aafff242220 2 于是 由 aff40 得2424 aaa 故选c 16 20102010 陕西理陕西理 1010 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数 y 与该班人 数 x 之间的函数关系用取整函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 b a y 10 x 3 10 x b y 3 10 x c y 4 10 x d y 5 10 x 解析 方法一 当x除以10的余数为6 5 4 3 2 1 0时 由题设知 10 x y 且易验证 知此时 10 3 10 xx 当x除以10的余数为9 8 7时 由题设知1 10 x y 且易验证 知此时 10 3 1 10 xx 故综上知 必有 10 3x y 故选b 方法二 依题意知 若16 x 则1 y 由此检验知选项dc 错误 若17 x 则 2 y 由此检验知选项a错误 故由排除法知 本题应选b 17 20102010 江西理江西理 9 9 给出下列三个命题 函数 11 cos ln 21 cos x y x 与lntan 2 x y 是同一 函数 若函数 yf x 与 yg x 的图像关于直线yx 对称 则函数 2 yfx 与 1 2 yg x 的图像也关于直线yx 对称 若奇函数 f x对定义域内任意x都有 2 f xfx 则 f x为周期函数 其中真命题是 a b c d 答案 c 18 20102010 浙江卷浙江卷 9 9 设函数 12sin 4 xxxf 则在下列区间中函数 xf不存在 零点的是 a 2 4 b 0 2 c 2 0 d 4 2 答案 a 19 20102010 浙江浙江 1010 设函数的集合 1 0 1 1 2 1 0 2 1 log babaxxfp 平面上点的集合 1 0 1 1 2 1 0 2 1 yxyxq则在同一直角坐标系中 p中函 数 xf的图像恰好经过 q 中两个点的函数的个数是 a 4 b 6 c 8 d 10 答案 b 20 2010 全国全国 2 理理 2 函数 1ln 1 1 2 x yx 的反函数是 a 21 1 0 x yex b 21 1 0 x yex c 21 1 r x yex d 21 1 r x yex 21 20102010 上海理上海理 1717 若 0 x是方程 1 3 1 2 x x 的解 则 0 x属于区间 答 c a 2 3 1 b 1 2 2 3 c 1 3 1 2 d 0 1 3 答案 c 22 2010 2010 重庆理重庆理 5 5 函数 41 2 x x f x 的图象 a 关于原点对称 b 关于直线 y x 对称 c 关于 x 轴对称 d 关于 y 轴对 称 解析 2 41 2 14 xfxf x x x x xf 是偶函数 图像关于 y 轴对称 答案 d 23 20102010 山东文山东文 3 3 函数 2 log31 x f x 的值域为 a 0 b 0 c 1 d 1 答案 a 解析 因为311 x 所以 22 log31log 10 x f x 故选 a 命题意图 本题考查对数函数的单调性 函数值域的求法等基础知识 24 20102010 山东文山东文 5 5 设 f x为定义在r上的奇函数 当0 x 时 22 x f xxb b为常数 则 1 f a 3 b 1 c 1 d 3 解析 因为f x 为定义在 r 上的奇函数 所以有 0 f 0 2 2 0 b 0 解得b 1 所以当 x0 时 x f x 2 2x 1 即f 1 f 1 1 2 2 1 1 3 故选 a 命题意图 本题考查函数的基本性质 熟练函数的基础知识是解答好本题的关键 25 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1111 函数 2 2xyx 的图像大致是 解析 因为当 x 2 或 4 时 2x 2 x 0 所以排除 b c 当 x 2 时 2x 2 x 1 4 0 4 故排除 d 所以选 a 命题意图 本题考查函数的图象 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合 的思维能力 26 20102010 天津文天津文 4 4 函数 f x 2 x ex 的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 27 20102010 天津文天津文 6 6 设 5 54 alog 4blogclog 2 5 3 则 a a c b b b c a c a b c d b a0 f 的零点个数为 a 3 b 2 c 1 d 0 解析 当0 x 时 令 2 230 xx 解得3x 当0 x 时 令2ln0 x 解得100 x 所以已知函数有两个零点 选 b 命题意图 本题考查分段函数零点的求法 考查了分类讨论的数学思想 30 2010 2010 北京文北京文 4 4 若 a b 是非零向量 且ab ab 则函数 f xxabxba 是 a 一次函数且是奇函数 b 一次函数但不是奇函数 c 二次函数且是偶函数 d 二次函数但不是偶函数 31 2010 2010 北京文北京文 6 6 给定函数 1 2 yx 1 2 log 1 yx 1 yx 1 2xy 期中在区间 0 1 上单调 递减的函数序号是 a b c d 32 2010 2010 年江西文年江西文 8 8 若函数 1 ax y x 的图像关于直线yx 对称 则a为 a 1 b 1 c 1 d 任意实数 33 2010 2010 浙江文浙江文 2 2 已知函数 1 log 1 f xx 若 1 f a 0 b 1 c 2 d 3 解析 1 2 故 1 选 b 本题主要考察了对数函数概念及其运算性质 属容易题 34 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 9 9 已知 x 是函数 f x 2x 1 1x 的一个零点 若 1 x 1 0 x 2 x 0 x 则 a f 1 x 0 f 2 x 0 b f 1 x 0 f 2 x 0 c f 1 x 0 f 2 x 0 d f 1 x 0 f 2 x 0 解析 选 b 考察了数形结合的思想 以及函数零点的概念和零点的判断 属中档题 35 2010 2010 安徽文安徽文 6 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图像可能是 答案 d 解析 当0a 时 b c同号 c d 两图中0c 故0 0 2 b b a 选项 d 符合 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0a 或0a 两种情况分类考虑 另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等 36 2010 2010 安徽文安徽文 7 7 设 232 555 322 555 abc 则 a b c 的大小关系是 a a c b b a b c c c a b d b c a 37 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 1717 若 0 x是方程式 lg2xx 的解 则 0 x属于区间 答 a 0 1 b 1 1 25 c 1 25 1 75 d 1 75 2 解析 0 4 1 4 7 lg 4 7 75 1 2lg ffxxxf由构造函数 02lg 2 f知 0 x属于区间 1 75 2 38 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1010 设25 ab m 且 11 2 ab 则m a 10 b 10 c 20 d 100 解析 选 a 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又0 10 mm 39 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 9