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泛函分析复习题 2013 1 在实数轴上 令 当为何值时 是度量 空间 为何值时 是赋范空间 解 若是 度 量 空 间 所 以 必 须 有 成立 即 取 有 所以 若是赋范空间 所以 必须有 成立 即 当时 若是度量空间 时 若是赋范空间 2 若是度量空间 则 也是使成 为度量空间 解 由于是度量空间 所以有 1 因此 和 且当时 于是和 以及若 或 均有成立 于是成立 2 因此 和 3 因此 以及设 所以单增 所以 综上所述和均满足度量空间的三条件 故和均使成为度量空间 3 设是内积空间 则当 时 即内积关于两变元连续 解 是内积空间 设是由其内积导出的范数 由于 所 以 使 得 当时 均 有和 同时由于 故知有界 所以有限 因此可 取 因此 故 即 4 设是线性赋范空间 是线性算子 则不是连续 的 当且仅当 使得 但 解 设不是连续的 则在上的每一点都不是连续的 因 此在点也不是连续的 则在包含上 0 点的任何有界邻域内 均无界 取 则在上无界 因此 使得成立 取 则在上无界 因此 使得成立 类似地过程一直进行 直到 取 则在上无界 因此 使得成立 因此 使得 但 另外 如果有 当 有 由于在上不能找到一点 使得 因此对所有的 点 均无法使得成立 因此 在条件下 对 于所有的点 均不成立 所以在上的 0 点不 是连续的 故不是连续的 5 对 于 每 个 有 界 序 列 定 义 线 性 算 子 求 解 由于有界 所以有 使得 对于 从而 从而 另外 有有界序列 设 则对 有 使得 可取 所以 因此 由于的任意性 于是有成立 综上所述有 6 我们知道有命题 对于算子序列 若 则 此命题的逆命题不成立 试考虑算子序列 解 所以 取 我们有 另外 对每个固定的 我们都可以找到一个元素 有 但 因此 故不成立 7 设是线性赋范空间 是线性算子 则闭 当 且仅当 使得 时 有 解 闭 即有 则 使得 另外 当 使得 因此对于 取 有 于是有 即 所以闭 8 证明 其中时有序列使得 解 是所有极限为 0 的序列全体的集合 范数 在中取基元集 则对 有 设 记 所以有 取 其中 则 且 所以 令 即得 且 再证反向不等式 对 对每个 定义 则是上的线性泛函 且有 所以 且 综合两个不等式得 映射 使得 有成立 则线性保距同构映射 因此 9 设是 Hilbert 空间 是中正交集 则以下三条等价 1 收敛 2 收敛 3 收敛 解 已知收敛 取 则收敛 收敛于有限数 则 所以收敛 已知 收敛 即 标量列收敛 取 此时 由标量列收敛 从而收敛 若收敛 则标量列收敛 设 则 由标量列收敛 得收敛 即收敛 10 设 考虑上的积分方程 其中 证明此方程存在唯一连续解 解 由 于是 完 备 的 映 射 所以 因为 所以映射是压缩映射 由不动点原理 存在唯一的一个 使得 11 考虑上的非线性积分方程 其中 是的连续函数 满足 证明当足够小时 此方程存在唯一解 解 由于是完备的 映射 所以 所以 当时 映射是压缩映射 由不动点原理 存在唯一的一个 使得 12 验证 1 开球是开集 2 闭球是闭集 解 1 则 所以 即是开集 故 开球是开集 2 则 所以 即是开集 故 闭球是闭集 13 证明 有界数列集合组成的空间是完备的 解 取是空间中的基本点列 空 间的度量取 由于取是空间中的基本点列 所以 当 时 有 对每个固定的 当时 有 1 所以 数列是 C 中的收敛列 即当 时 由此得 由 1 中 令 则当时 有 又因为 故存在实数 对所有的 满足 从而对每个 有 即是有界数列 又 有 故当当时 所以是完备的度量空间 14 证明 是可分空间 解 考虑集合 即是由至多 有限个坐标不为0 且坐标都是有理数的元素构成 因此 是可数集 对于 有 所以 当 时 有有理数的稠密性 可取得 使得 令 且 即在中稠密 依定义知是可分的 15 举例说明 在完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点的结 论中 若将压缩映射改为满足的映射时 其结论不 成立 解 例如 于是由微分中值定理得 在和之间存在使得 因此成立 但其不存在不 动点 否则若有不动点 那么必有成立 即成立 这个显然是不正确的 故若将压缩映射改为满足的映射时 其结论不 成立 16 证明 其中时有序列和使得 解 是所有收敛序列全体的集合 范数 在中 取基元集 对 有且收敛于 即 取 则 设 记 对所以有 取 其中 则 且 所以 令 即得 且 再证反向不等式 对 对每个 定义 则是上的线性泛函 且有 所以 且 综合两个不等式得 映射 使得 有成 立 则线性保距同构映射 因此 17 求空间上的线性泛函的范数 解 空 间上 的 范 数 为 所 以 有 可知是有界线性泛函 且 另一方面 取 知 且 于是 从而 18 设是可分的 Hilbert 空间 证明是中任一规范正交基至多是 可列的 证明 有题设知是可分的 故必有的开列子集 且在 中稠密 设是中的一组规范正交基 考察以一切为球心 为半径的球簇 则若不是可列的 球簇也不是可列的 于是 至少某两个球簇含有同一个 即有使得 于是 另一方面由勾股定理得 这样导出矛盾 故是可列的 19 设是内积空间中的一组规范正交基 证明 关于的Fouri