线性代数总结难记公式汇总考试必备.pdf

1 线性代数 1 上 下 三角形行列式的值为对角线元素的乘积 2 行列式与它的转置行列式相等 3 互换行列式的两行 列 行列式变号 4 行列式某一行 列 中所有的元素都乘以同一数 k 等于用数 k 乘以此行列式 5 行列式中某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式的外面 6 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式等于零 7 在 n 阶行列式中 把元素 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后 留下来的 n 1 阶行列式叫做元 素 aij的余子式余子式 记作 Mij ij ji ij MA 1 叫做元素 aij的代数余子式代数余子式 8 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 9 行列式某一行 列 的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 10 数 与矩阵 A 的乘积等于 乘以 A 中的所有元素 11 矩阵 nmnssm CBA TT AA TTT ABAB 12 对称矩阵对称矩阵 AAT 元素以主对角线为对称轴对应相等 13 方阵 AA n BAAB BAAB 14 矩阵 A 的伴随矩阵伴随矩阵 行列式A的各个元素的代数余子式 ij A所构成的矩阵 A 横求竖写 EAAAAA 15 n 阶矩阵 AB BA E B 称为 A 的逆矩阵逆矩阵 记作 1 AB 16 若矩阵 A 可逆 A 0 17 逆矩阵的性质 A A A 1 111 ABAB A A 1 1 1 1 1 AA 18 A 0 时的矩阵称为奇异矩阵奇异矩阵 否则称非奇异矩阵非奇异矩阵 可逆矩阵是非奇异矩阵 19 分块对角矩阵 s AAAA 21 1 1 2 1 1 1 0 0 s A A A A 20 A 的转置矩阵 AT的秩 ARAR T 21 可逆矩阵的秩等于阶数 又称满满秩矩阵秩矩阵 非奇异矩阵 而奇异矩阵又称降秩矩阵降秩矩阵 2 22 对角矩阵 m 左乘 A 等于 A 的每一行乘以 中与该行对应的对角元 T mm T T T m T T m nmm A 22 11 2 1 2 1 23 对角矩阵 m 右乘 A 等于 A 的每一列乘以 中与该列对应的对角元 2211 2 1 21nn n n aaaaaaA 24 克拉默法则克拉默法则 如果非齐次线性方程组的系数行列式 D 0 则方程组有唯一解 25 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组只有零解 26 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解 则它的系数行列式 D 0 27 如果齐次线性方程组有非零解 则它的系数行列式 D 0 28 n 元齐次线性方程组0 xA nm 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩nAR 29 n 元非齐次线性方程组bxA nm 有解的充分必要条件是 BRbARAR 当 BRAR 时 方程组无解 当nBRAR 时 方程组没有自由未知量 只有唯一解 当nrBRAR 时 方程组有 n r 个自由未知量 有无限多解 30 方程的个数小于未知量的个数 有非零解 31 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵 32 对 nm A 实施一次初等行变换 相当于左乘 m 阶初等矩阵 对 nm A 实施一次初等列变换 相当于右乘 n 阶初等矩阵 33 可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积 34 求BAX BAX 1 XEBA 求BXA TTT BXA TTT XEBA TT XX 35 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是 bARAR 36 若 nssmnm BAC 则矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 B 为系数矩 3 阵 同时 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示 A 为系数矩阵 37 设矩阵 A 经初等变换变成矩阵 B 则 B 的每个行向量都是 A 的行向量组的线性组合 即 B 的行向量组能由 A 的行向量组线性表示 38 给 定 向 量 组 m aaaA 21 如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 m kkk 21 使 0 2211 mma kakak 则称向量组 A 是线性相关线性相关的 否则称线性无关 39 向量组线性相关向量组线性相关 就是在向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示 40 向量组 m aaaA 21 线性相关的充分必要条件是 mAR m 为向量个数 向量组 线性无关的充分必要条件是 mAR 41 若向量组 m aaaA 21 线性相关 则向量组 121 mm aaaaB 也线性相关 反之 若向量组 B 线性无关 则向量组 A 也线性无关 42 若向量 aj添上一个行分量后得向量 bj 若向量组 m aaaA 21 线性无关 则向量组 m bbbB 21 也线性无关 反言之 若向量组 B 线性相关 则向量组 A 也线性相关 43 m 个 n 维向量组成的向量组 当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关 44 设向量组 m aaaA 21 线性无关 而向量组baaaB m 21 线性相关 则向量 b 必 能由向量组 A 唯一线性表示 45 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 46 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示 则 ARBR 47 设向量组 B 是向量组 A 的部分组 若向量组 B 线性无关 且向量组 A 能由向量组 B 线 性表示 则向量组 B 是向量组 A 的一个最大无关组最大无关组 48 设 nssmnm BAC 则 ARCR BRCR 49 设 V 为 n 维向量的集合 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法和数乘两种运算封闭 就 称集合 V 为向量空间向量空间 n 维向量的全体 Rn是一个向量空间 50 由向量组 m aaa 21 所生成的向量空间生成的向量空间为 212211 RaaaxV mmm 51 设有向量空间 21 VV 及 若 21 VV 就称 21 VV 是的子空间子空间 52 设 V 为向量空间 如果 r 个向量 r aaa 21 且满足 4 r aaa 21 线性无关 V 中的任一向量都可由 r aaa 21 线性表示 那么 向量组 r aaa 21 就称为向量空间 V 的一个基基 r 称为向量空间 V 的维数 并称 V 为 r 维向量空间维向量空间 53 向量组 r aaa 21 的最大无关组就是V的一个基 向量组 r aaa 21 的秩就是V的维数 54 解空间的基称为基础解系基础解系 个数 n r 即自由未知量的个数 55 设 21 xx及都是非齐次方程组的解 则 21 x为对应的齐次线性方程组的解 56 设 x是非齐次方程组的解 x是齐次方程组的解 则 x仍是非齐次线性方程 组的解 57 nny xyxyxyx 2211 称为向量 x 与 y 的内积内积 58 x 与 y 都是列向量时yxyx T 内积性质 yxyx 59 n 维向量向量 x 的长度的长度 或范数 22 2 2 1 n xxxxxx 当1 x时 称 x 为单单 位向量位向量 60 施瓦茨不等式施瓦茨不等式 向量的内积满足 2 yyxxyx 61 设 n 维向量 r eee 21 是向量空间 n RVV 的一个基 如果 r eee 21 两两正交 且都 是单位向量 则称 r eee 21 是 V 的一个规范正交基规范正交基 62 施密特规范正交化过程 正交化 11 ab 1 11 21 22 b bb ab ab 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab 1 11 1 2 22 2 1 11 1 r rr rrrr rr b bb ab b bb ab b bb ab ab 单位化 1 1 1 1 b b e 2 2 2 1 b b e r r r b b e 1 63 若 n 维向量 r aaa 21 是一组两两正交的非零向量 则 r aaa 2 1 线性无关 64 如果 n 阶矩阵 A 满足 1TT AAEAA 即 则称 A 为正交矩阵正交矩阵 65 方阵 A 为正交矩阵地充分必要条件是 A 的列 行 向量都是单位向量 两两正交 5 66 设 A 是 n 阶矩阵 如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式xAx 即0 xEA 成 立 那么 这样的数 称为方阵 A 的特征值特征值 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值对应于特征值 的特的特 征向量征向量 67 方阵 A 的特征方程有非零解的充分必要条件是 系数行列式0 EA 68 特征值性质 nnn aaa 221121 A n 21 若 是 A 的特征值 则 kk A是 的特征值 69 设 m 21 是方阵 A 的 m 个特征值 m ppp 21 是与之对应地特征向量 如果 m 21 各不相等 则 m ppp 21 线性无关 70 设 A B 都是 n 阶矩阵 若有可逆矩阵 P 使BAPP 1 则称 B 是 A 的相似矩阵相似矩阵 71 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似 则 A 与 B 的特征多项式相同 从而 A 与 B 的特征值亦相同 72 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 n 2 1 相似 则 n 21 是 A 的 n 个特征值 73 把方阵 A 对角化对角化 对 n 阶矩阵 A 求相似变换矩阵 P 使 APP 1 为对角矩阵 74 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似 即 A 能对角化 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特 征向量 75 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等 则 A 与对角矩阵相似 76 设 21 是对称矩阵 A 的两个特征值 21 p p是对应的特征向量 若 21 则 21 pp 与正 交 77 设 A 是 n 阶对称矩阵 是 A 的特征方程的 r 重根 则矩阵EA 的秩rnEAR 从而对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量 78 设 A 是 n 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 P 使 APP 1 其中 是以 A 的 n 个特征值 为对角元素的对角矩阵 79 含有 n 个变量 n xxx 21 的二次齐次函数 称为二次型二次型 可记作Axxf T nnnnnnnn xxaxxaxxaxaxaxaxxxf 1 131132112 22 222 2 11121 222 6 80 只含平方项的二次型 称为二次型的标准型二次型的标准型 或法式 22 22 2 11nny kykykf 81 任给一个二次型 就唯一确定一个对称矩阵 82 任给可逆矩阵 C 令ACCB T 如果 A 为对称矩阵 则 B 亦为对称矩阵 且 ARBR 83 任 给 二 次 型 1 jiij n ji jiij aaxxaf 总 有 正 交 变 换Pyx 使 f 化 为 标 准 型 22 22 2 11nny yyf 其中 n 21 是 f 的矩阵 ij aA 的特征值 84 设有实二次型Axxf T 它的秩为 r 有两个实的可逆变换Cyx 及Pzx 使 0 22 22 2 11 irr kykykykf 及 0 22 22 2 11 irrz zzf 则 r kkk 21 中 正数的个数与 r 21 中正数的个数相等 惯性定理惯性定理 85 设有实二次型Axxf T 如果对于任何0 x 都有 0 0 0 fxf显然 则称 f 为正 二次型 并称对称矩阵 A 是正定的正定的 如果对于任何0 x 都有0 xf 则称