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飞行器结构有限元练习题答案飞行器结构有限元练习题答案 1 证明 3 结点三角形单元的插值函数满足 Ni xj yj ij 及 Ni Nj Nm 1 证明 3 结点三角形单元的插值函数 Ni Nj Nm形式如下 1 2 iii Nab xc iy i j m 其中 1 21 1 ii jj mm xy xy xy j i mm j xy a xy 1 1 j i m y y b 1 1 j i m x c x i j m 根据行列式的性质 行列式的任一行 或列 的元素与其相应的代数余子 式乘积之和等于行列式的值 而任一行 或列 的元素与其他行 或列 的元 素的代数余子式乘积之和等于零 所以 11 11 21 1122 jjjj iiiii mmmm xyyx N x yxy xyyx 11 11 00 1122 jjjj ijjjj mmmm xyyx N xyxy xyyx 11 11 0 1122 jjjj immmm mmmm xyyx N xyxy xyyx 0 j 即 ijji N xy 另外 1 2 1 2 1 200 1 2 ijmiiijjjmmm ijmijmijm NNNab xc yab xc yab xc y aaabbbxcccy xy 1 a 1 2 3 a 题 2 图 2 图示3结点三角形单元 厚度为t 弹性模量为E 泊松 比 0 试求 插值函数矩阵 N 应变矩阵 B 应力矩阵 S 单元刚度矩阵 Ke 解 3结点三角形单元的插值函数Ni Nj Nm形式如下 1 2 Na m iiii b xc y i j 其中 1 1 ii jj mm 21 xy xy xy j i mm j xy a xy 1 1 j i m y y b 1 1 j i m x c x i j m 三角形三点坐标为 1 0 a2 0 a3 0 0 1 1 N a x 2 1 N a y 3 11 1Nx aa y ee ijm u NNN v IIIN 000 1 000 xyaxy xyaa xy N 000 1 000 2 xijm ee yijm xyiijjmm bbb ccc cbcbcb B 100010 1 000101 011011 a B ee DD BS 又 1010 10010 1 00 1 2001 2 E DE 0 100010 000101 01 21 201 21 2 E D a SB 200020 011011 011011 0002024 211031 011213 T Et Dt e KBB 2 3 以平面问题常应变三角形单元为例 证明单元刚度矩阵的任何一行 或列 元素的总和为零 证明 平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如下 1111215161 1212225261 3515255563 3 616265663 x y x y fkkkku fkkkkv fkkkku fkkkkv 令 1 1u 23 0uu 123 0vvv 则有 11x1 fk 2x31 fk 35x1 fk 1y21 fk 24y1 fk 36y1 fk 单元所受合外力平衡 故 x方向 123 0 xxx fff y方向 123 0 yyy fff 所以 112131415161 0kkkkkk 同理 其它各列刚度阵元素之和也为0 由于刚度阵的对称性 K K T 所以 刚度矩阵每一行元素之和为0 3 4 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系 iijjmm xx Lx Lx L iijjmm yy Ly Ly L 证明 三角形的面积坐标如下 1 2 i iii Lab x i c y 1 2 j jjj Lab x j c y 1 2 m mmm Lab x m c y 其中ai bi ci aj bj cj am bm cm 分别是行列式2 的代数余子式 1 21 1 ii jj mm xy xy xy 根据行列式的性质 行列式的任一行 或列 的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值 而任一行 或列 的元素与其他行 或列 的元素的 代数余子式乘积之和等于零 所以 1 2 1 2 1 020 2 iijjmm iiiijjjjmmmm iijjmmiijjmmiiiiii x Lx Lx L ab xc y xab xc y xab xc y x a xa xa xb xb xb xxc xc xc x y xyx 同理可得 iijjmm y Ly Ly Ly 4 j 6 3 i 2 2 m 5 6 q1 q2 x y 题 5 图 5 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni Nj Nm以及应变矩阵B 解 平面三结点三角形单元的插值函数为 1 2 ii Na ii b xc y i j m 其中 1 21 1 ii j mm j xy xy xy jj i mm xy a xy 1 1 j i m y b y 1 1 j i m x c x i j m 三角形三点坐标为 2 2 i 6 3 j 5 6 m 122 21631 156 33 4 2131 24 61 iii jjj mmm abc abc abc 1 21 3 13 i Nx y 1 243 13 j Nx y 1 64 13 m Nx y 00030401 11 000010304 213 133441 ijm ijm iijjmm bbb ccc cbcbcb 0 B 5 7 证明常应变三角形单元发生刚体位移时 单元中将不产生应力 证明 iijjmm uN uN uN u iijjmm vN vN vN v 发生刚体位移时 0ijm uuuu 常数 0ijm vvvv 常数 常数 00 1 iijjmmijm uN uN uN uNNNuuu 0 000 1 iijjmmijm vN vN vN vNNNvvv 常数 0 0 0 u x v y ux yx 0 0 0 D 单元中不产生应力 6 x3 y3 6 5 4 3 2 1 x2 y2 x1 y1 q x y 题 8 图 8 求图示二次三角形单元在142边作用有均布侧压q 时的等效结点载荷 假设结点坐标已知 单元厚度为t 解 设三角形面积坐标为L1 L2 L3 则形函数 1112333 21 NLL 22 21 NLL 21NLL 41 4NL 2 L 3 L 1 L 52 4NL 63 4NL 在三角形的边上L3 0以 142 所 356 0NNN 3 3 0 0 x y f f 5 5 0 0 x y f f 6 6 0 0 x y f f 在三角形142边上建立局部坐标系 如图 1 42 0 1 1 局部坐标系下1 4 2结点的局部坐标分别为 1 0 1 1 4 2点在局部坐标系下的形函数为 1 2 4 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11 1 1 26 l fqtdqlt 1 44 1 2 23 l fqtdqlt 1 22 1 1 26 l fqtdqlt 其中 l为三角形142边的边长 1 12 cos 11 sinsin66 y yyl qtqt ffxxl 1 1cos x ff 21 1 4 42 4 42 coscos 22 sinsin33 x y f 1 1 fyyl qtqt ffxxl 2 22 2 22 coscos 11 sinsin66 x y f 1 1 fyyl qtqt ffxxl 其中 为q与水平方向夹角 7 验证用面积坐标给出的二次 三角形 单元的插值函数N1 N6满足 Ni 1 形面积坐标为L1 L2 L3 则各结点的形函数为 9 i 1 6 证明 设三角 111222333 21 NLL 21 NLL 21 NLL 41 4NL 52 4NL 63 4NL 221 4LLL 2 L 3 L 1 L 11223312233 211 44 i NLLLLL LLLL 1 3 222 12312233112 222444 LLLL LLLLLLLL 2 123321123 2 22 LLL LLLLLL 123 1LLL 2 2 1 2NLLL 33312 i LL 3 L 2 1 11 得证 8 0 二维单元在xy坐标平面内平移到不同位置 单元刚度矩阵相同吗 在平面 例 其形函数为 1 内旋转时怎样 单元旋转180 后单元刚度矩阵与原来的相同吗 单元作上述变 化时 应力矩阵S如何变化 解 以平面三结点三角形单元为 2 iii i 其中 j m 1 Nab xc y i 1 21 1 ii jj mm xy xy xy jj ijm mm xy ax y xy mj x y 1 1 j ij m y by y m y 1 1 j im m x cx x j x 进而可得 i j m 00 1 000 2 ijm ij iijjmm bbb ccc cbcbcb 0 m B T Dt e KBB D SB 坐标平移时 bi m ci bj cj b cm均不发生改变 坐标平移时 Ke S 矩阵不会变 坐标平移时 B 矩阵不会发生变化 在平面内转动时 bi ci bj cj 在平面内转动时 Ke S 矩阵会改变 bm cm一般均要发生改变 单元旋转180度后 bi ci bj cj bm 单元旋转180度后 Ke 不会变 而 S 要变号 cm均正负号发生改变 中心对称 9 1 图中两个三角形单元组成平行四边形 已知单元 按局部编码i j m的单元 1 刚度阵K 和应力矩阵 S 为 80662 1 6 1601204 13 54 57 54 5 13 51 51 5 9 51 5 5 5 K 1 003030 000301 201 51 50 51 5 S 按图中单元的局部编码写出K S 解 首先将单元 旋转 180 度 得到单元 m j m i i m j 单元旋转180度 刚度矩阵不变 应力矩阵变号 于是得到单元 的刚度矩阵与应力矩阵 1 806626 1601204 13 51 51 5 5 5 K 003030 0301 201 51 50 51 5 13 54 57 54 5 1 00S 9 51 5 然后 将单元 的结点进行调换 得到单元 j i m m j i i j j m m i得 2 9 51 5267 54 5 5 5041 51 5 8066 16012 4 5 13 5 K 2 300030 010003 0 51 5201 51 5 S 13 5 m j j i i 10 12 图示为二次四边形单元 试计算 N1 x和 N2 y在自然坐标为 1 2 1 2 的点Q的数值 因 为单元的边是直线 可用4个结点定义单元的几 何形状 解 对于八结点矩形单元 1 1 1 1 4N 8 2 1 1 1 4N 1 1 1 4N 3 4 1 1 1 4N 22 6 1 1 N 3 125 5 1 1 2N 2 2 2 7 1 1 2N 2 1 1 N 8 1 ii i xN x y 代入点Q坐标 1 2 1 2 8 1 ii i yN 1 8 1 15 625 ii i xNx 8 1 5 ii i yNy 3 8 1 ii i xNx 8 1 15 ii i yNy 15 6255 3 1255 xy J xy 1 1 1 1 1 1 15 62550 56250 0257 125150 56250 0321 x y NN J NN 1 2 2 1 2 2 15 62550 18750 0114 3 125150 06250 0018 x y NN J NN 10 10 0 5 6 7 8 题 12 图 x y Q 1 2 3 4 30 20 5 40 40 50 11 13 图示为二次三角形单元 试计算 N4 x和 N4 y 在点P 1 5 2 0 的数值 设三角形单元面积坐标L1 L2 L3 则二次三角形单元各结点形函数为 解解 111 21 L 222 21 NLL 333 21 NLL NL 41 4NL 2 L 3 L 1 L 52 4NL 63 4NL 14 4414212 21 44 NNLNLbb LL 1 2 11 2 2 4 22 2 bb 12 22xLxLx 44142 2 4 NNLNL L 12 12 1 2 12 4 4 22 22 2 cc Lc yLyLy 1 2 c 100 21421 14 1 1 1 52 0 2142 11 2 100 21 1 52 04 114 4 5 1 12 2 14 b 2 10 4 14 b 1 14 3 11 c 2 10 11 c 4 2 11 2 22 44 22 4 2 5 4 0 245 2 14 N bb x 4 2 11 2 22 44 22 4 3 5 1 0 347 2 14 N cc y 6 5 4 2 4 2 1 0 0 x y 3 1 4 P 1 5 2 0 i j m 题 13 图 12 15 垂直悬挂的等载面直杆受自重作用 载面积为A 长度为l 质量 度为 如用一维杆单元求解杆内的应力分布 问应采用多少结点 单元 在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度 并给出它们 数值 建立系统总势能泛函 密 的 的 解解 2 00 1 2 ll EAu dxAudx 对总势能泛函变分运算 00 ll 0 域内 EAuu dxAudx 解得 x 0 0 l l EAu uEAuAudx 0EAuA 欧拉方程 0 边界 xlEAu 00 00 xuu u 22 1 2