高一数学解题过程中会遇见的函数图形.doc

一、学习误区：函数图象是函数关系的直观表达形式，若不能正确作函数图象，就会给”函数性质“的研究增加困难，甚至造成失误。例1作函数y的图象 错解：由y得y即yx1由作原函数的图象如右：辨析：原函数y的定义域是x0的实数， 值域是y0，而函数y的定义域是x0，值域是y0的实数；函数yx1的定义域是x0的实数，值域是y0的实数。因此，由得到的图象显然不是的图象。 正解：由y得yx-1作出其图象如上图，弃掉其中y0的部分，再作第一象限图象关于y轴的对称图形，即得所要求的图象如右:注：作函数图象时，必须注意函数变形前后的等价性。例2设画出函数yH(x1)的图象 错解(1)：y，所以其图象如右所示。辨析：这里显然是对复合函数的概念理解错误而造成的失误.错解(2)：显然正确地求得yH(x1)，但在画图象时， 间断点x1处的图象画错，如右图：错解(3)：先画出H(x)的图象，然后坐标轴平移得 H(x1)的图象，但把移动的方向搞反而 导致错误。错解(4)：不理解符号H(x1)的意义，把H(x1)看作HxH或Hx1并把H作为常数，从 而将H(x1)理解为一次函数HxH或Hx1而画出的 直线为一条斜线.正解：y其图象为：二、知识点拔自从引入了坐标概念，使得有序实数对的集合与直角坐标平面上的点的集合之间建立起一一映射关系，从而对于给定的函数yf(x)总可以画出它的图象，函数图象的画法一般有两种：(1)描点法：首先根据函数坟出函数的定义域和值域、特殊点，单调性，从而确定图象的存在范围 及发展趋势，列表描点画出图象这是最基本的方法。(2)根据基本函数图象经过变换画出其他函数的图象常用的基本图象变换如下表： 求作图象的函数表达式与f(x)的关系由f(x)的图象需要经过的变换yf(x)b(b0)沿y轴向平移6个单位yf(xa)(a0)沿x轴向平移a个单位yf(x)绕x轴“翻转”yf(x)绕y轴“翻转”yf(|x|)右不动，左右关于y轴对称y|f(x)|上不动，下翻上yf(ax)(a0)横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变yaf(x)(a0)纵坐标伸长到原来的a倍，横坐标不变三、典题解析例1画出下列函数的图象，并指出其单调区间。(1)f(x)x23|x|(2)y(x) 解：(1)函数的定义域为Rf(x)(x)23|x|x23|x|f(x)函数yf(x)为偶函数。只需作出x0时函数的图象，根据偶函数的图象关于y轴对称，则可得x0时函数的图象。当x0时，f(x)x23x(x)22其图象如图(1)所示 图(1)根据函数图象可知，函数单调递增区间是，0)和，)递减区间是(，和(0，) (2)函数定义域为x|xR，且x0先作出yX的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，即y(x)的图象，最后作出C2关于x轴对称的图象，即是y(x)的图象。根据函数图象，函数的单调递减区间为(，0)例2作出下列函数的图象，并指出其值域。(1)y(2)y 解：(1)函数定义域x|xR且x1,y11可先作出y的图象，然后将图象沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴向下平移一个单位，即得到所求函数图象，其值域由图可知应为(，1)(1，)(2)y|x1|函数的定义域为x|xR且x0此分段函数的图象如右图所示由图可知，函数的值域为(0，)例3若不等式x2logax0在(0，)内恒成立，求a的取值范围 解：设y1x2，y2logax在同一坐标系中，作出函数 y1，y2的图象，如右图若a1则原不等式无解 0a1 又x时，y1点(，)是y1与y2的交点。由loga得a，结合图象分析，可知：当a(，1)时，不等式x2logax0在(0，)内恒成立。注：利用函数图象的直观性去探求解题途径是一种很有效的方法。例4已知函数的图象由两条射线及开口向下的抛物线(包括端点)组成，如图所示，试求函数的 表达式。 分析：由函数图象确定函数表达式，常用待定系数法；根据图象特征设出相应的函数解析式，再根据题设条件确定函数，要特别注意函数的定义域。解：设左射线所在直线的表达式为ykxb(1，1)，(0，2)在直线上，故左射线的表达式为yx2，x1同理可得右射线的表达式为yx2，x3再设抛物线的表达式为ya(x2)22点(1，1)在此抛物线上，a21a1中间抛物线的表达工为y(x2)22x24x2 1x3综上所述，所求