线方程组学习指导.doc

41线性代数辅导线性方程组【基本要求】1. 理解线性方程组有解的判定定理2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解、一般解等概念及解的结构。3理解非齐次线性方程组解的结构4. 熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。【主要内容】齐次线性方程组： 齐次方程组恒有零解；当时有无穷多解，其基础解系中解向量的个数是，即自由未知量的个数。 设是阶矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是即的列向量线性相关；充分条件是（即方程个数未知数个数） 若是阶方阵，则有非零解的充要条件是非齐次线性方程组： 设是阶矩阵，方程组有解系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩可由的列向量线性表出与是等价向量组。 设是阶矩阵,则方程组无解；有唯一解;有无穷多解解的联系： 若是的解，则是的解。 若是的解，是的解，则仍是的解。 若有唯一解，则只有零解；反之，当只有零解时，没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）。【典型例题】例 求解齐次线性方程组 解: 将系数矩阵化为上阶梯形 所以 即方程组(1)有无穷多解 ,其基础解系中有三个线性无关的解向量。(注意：的计算必须正确,下面的计算都建立在的基础之上，故此步计算必须认真检查。) 根据上阶梯形矩阵写出原方程组的一个同解方程组为 选取为自由未知量，分别令，相应地得到得到方程组的一个基础解系为 所以原方程组的通解为 。例2 求非齐次线性方程组的解 解: 将增广矩阵化为上阶梯形原方程组有无穷组解，由上阶梯形矩阵写出原方程组的一个同解方程组为 选取为自由未知量，令，得原方程组的一个特解 将方程组（3）中的常数项都改为0，则得到导出组的同解方程组为 【方法一】分别令 得导出组的一个基础解系 ，所以原方程组的通解为+=其中，为任意常数。【方法二】令为任意常数，可求得原方程组的一般解为：所以原方程组的通解为 + =其中，为任意常数。【注意】1.此题答案并不唯一，因为我们也可以取作为自由未知量等等，这类题目的都是这样，所以后面习题的答案仅做参考，并不是唯一答案。2.由这个例题我们可以总结出解线性方程组的一般步骤是： 对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，把其化成阶梯型矩阵，并据此判断线性方程组解的情况（无解、唯一解还是无穷多解） 如果有解，根据变化后的矩阵写出原方程组的一个同解方程组（*） 解方程组（*），若其有无穷多解，其方法有二：一是根据齐次线性方程组或者非齐次线性方程组的解的结构求出通解，二是通过自由未知量求出一般解，根据一般解写出通解。相比较而言，在大多数情况下，方法二更为简便一些。例3 讨论取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解。 解: 将增广矩阵化为上阶梯形讨论:1)当，而 ，即 时，故方程组（1）无解；2)当，即时，方程组有唯一解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为: 回代求解得 3)当，方程组有无穷多组解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为 :将上述方程组中常数项都改为0，得原方程组导出组的一个同解方程组为： 所以原方程组的通解为例4 已知线性方程组的三个解为 ，且，求线性方程组的通解。解：由所给方程组的解可知方程组有三个未知数，即，而，导出组的基础解系中应有个解向量，令 ，则是的两个线性无关的解向量。是的一个基础解系，的通解为(为任意常数）。例4 设及。 (1) 为何值时，不能表示成的线性组合？ (2) 为何值时，有的唯一的线性表示式？并写出该表示式。解：考虑向量方程 ,即 对其增广矩阵进行初等变换，把其化成阶梯形矩阵得： 所以：当 时,不能表示成 的线性组合；当时，表示式唯一，且 .注：此类问题通常都是转化为判断一个线性方程组的解的情况的问题。【自我练习及解答】一、选择题1非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）（A）r=m时，方程组AX= b有解; （B）r=n时，方程组AX=b有唯一解;（C）m=n时，方程组AX=b有唯一解;（D）rn时，方程组AX= b有无穷多解.2.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件( )时，此方程组有非零解。（A）n=m; （B）系数矩阵之秩m; （C）nm; （D）系数矩阵秩minm,n.3. 齐次线性方程组 的基础解系可取向量组( ) (A)(2,1,1,0), ; (B)(1,-3,1,2),(-1,-3,0,2); (C),(-l,-3,0,2) ; (D)(2,0,1,0),(0,0,0,0).二、判断下列方程组是否有非零解三、判断下列齐次线性方程组是否有非零解 四、求下列线性方程组的基础解系，并写出其通解五、设四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。六、线性方程组的系数矩阵为，三阶非零方阵满足O ，求的值。七、设线性方程组，其中，证明：线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为3。八、讨论a，b取何值时，方程组有唯一解、无穷解、无解，并求（2）的解 (1) (2) 九、设有线性方程组 (I) (II) 其中为(I)系数行列式中元素的代数余子式. 证明：方程组(I)有唯一解的充要条件是(II)有唯一解.十、 设向量组1, 2, t是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量不是方程组AX=0的解，即A0，试证明：向量组,+1, +2,+t线性无关。十一、是阶方阵，若有正整数使线性方程组有解向量，且，证明：向量组线性无关。十二、方程组有解的充分必须条件是十三、设线性方程组，证明：若两两不相等，则方程组无解。十四、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的导出组的一个基础解系，证明：，线性无关；，线性无关习题参考答案一、(1)(A); (2)D; (3) B.二、解：增广矩阵B =，得到，则此线性方程组无解。 三、 所以必有非零解 原方程组没有非零解四、原方程组的一个基础解系为=(3,3,2,0)，=(3,7,0,4)，通解为，其中为任意实数五、由解的性质，均是的解，则是的解。 ，即的基础解系中只含由一个解向量，而 则即可看作的一个基础解系， 的通解为（k是任意数）。六、三阶非零方阵的各个列向量可以看作是向量方程的解 存在非零解，即，解得七、证明：，原方程组有无穷多解八、(1) 当1,b0时, ，则方程组有唯一解;当=1, 时,， 则方程组有无穷多解;当时， 则方程组无解；当时，则方程组无解。(2) 当a=0，b=2时 R(B)=R(A)=2n，则方程组有无穷多解，其解为。当或时，方程组无解。九、证明:必要性:若(I)有唯一解，则D0，用Q表示（II）的系数行列式，则 即得(II)有唯一解。充分性:若（II）有唯一解，则Q0，于是齐次线性方程组 () 只有零解，从而必定D0。事实上，若D=0，则D的每个列向量都是（）的解，而（）只有零解，故D的每个元素aij=0，推得每个Aij=0，Q=0，与Q0矛盾，所以D0，方程组（I）有唯一解。十、证明：考虑向量方程，即， (*)把（*）式两边左乘以A，有。因为A0，故数 （*）因而，由（*）式，得 即。又因1,2,t是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，有k1=k2=kt=0；再由（*）可知：k=0。因此，向量组,+1, +2,+t线性无关。十一、证明：考虑向量方程，分别左乘以，依次可得（因为rk时,），十二、