自动控制原理 第七章课件.ppt

控制原理 II 王晶jwang 信息学院 学时 48 包含上机4学时 自动控制原理厉玉鸣等主编 化学工业出版社 2005年 自动控制原理 第四版 胡寿松主编 国防工业出版社 2002年自动控制原理孙亮等主编 北京工业大学出版社1999年 控制原理例题习题集 周春晖 厉玉鸣主编 化工出版社 归纳总结 例题分析 自动控制原理实验指导书 本校自动化系编 学习方式 教材 参考书 习题集 实验指导书 授课 习题 实验 考试 第7章状态空间分析设计方法 线性系统理论的两大分支 本章主要内容 现代控制论的重要分支 状态空间设计方法 系统模型状态空间模型的建立 与传递函数描述之间的相互转化 系统分析状态空间运动分析 能控性和能观性的基本概念与判据 能控 能观标准形及结构分解 系统综合基于状态空间模型的控制系统设计方法 极点配置和观测器设计 第一节线性系统的状态空间数学模型 7 1 1系统状态空间表达的基本概念7 1 2线性系统的状态空间描述7 1 3由机理分析建立状态空间表达式7 1 4由微分方程建立状态空间表达式7 1 5由传递函数建立状态空间表达式7 1 6状态空间表达式与传递函数矩阵 7 1 1系统状态空间表达的基本概念 表示系统在过去 现在和未来时刻的状况 状态 能够完全描述系统行为的最小一组变量 只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作用在系统上的输入 那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定 状态变量 选取的不唯一性 以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量 状态向量 以n个状态变量为基底所构成的n维空间就称为状态空间 状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的状态 状态空间 7 1 2线性系统的状态空间描述 外部描述 传递函数 不表征系统的内部结构和内部变量 只反映外部变量组输入与输出间的因果关系 内部描述 状态空间 能够完全表征系统的一切动力学特征 不完全描述 完全描述 1 状态方程 输入作用引起系统状态发生变化 通常为动态过程 可以采用微分方程来表示 2 输出方程 状态和输入的改变决定了输出的变化 通常属于变量之间的相互转换 可用一般的代数方程表示 系统状态空间描述的结构示意图 问题 1什么是状态 2状态是否唯一 1 两种描述方式的比较 例1 考虑传递函数 系统不稳定 欲使其稳定 可在H s 前面串联一个补偿器得 系统结构图 理论上 零极点对消 系统稳定 实际中 系统往往会出现失效或达到饱和 从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程 系统状态方程为 求解可得 7 1 3由机理分析建立状态空间表达式 建立状态空间表达式的方法 一是机理分析 选择适当的状态变量 建立其状态空间表达式 二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式 例 试列写下面两种简单系统 电路系统和力学系统的机理方程 选择适当的变量作为状态变量 并建立相应的状态空间表达式 解 1 弹簧 质量 阻尼器系统 外加拉力Fi为输入 质量单元的位移y为输出 根据牛顿第二定律可得 其中合力 整理得 选定变量 得到状态方程 2 RLC电路 设ei为输入 电压ec为输出 根据基本电路定律有 选择状态变量为 可推导出2个一阶微分方程组 写成状态方程 再根据输出 可得相应的输出方程为 值得注意的是 状态变量选择的不同 得到的状态空间表达式也是不同的 这点与传递函数所代表的外部描述不同 对于一个系统 如果输入和输出确定 那么传递函数就是唯一确定的 而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而不同 同一个系统可以具有不同的状态空间表达式 问题 例如上面例题中提到的RLC电路 如果以作为一组状态变量 则状态空间表达为 代数等价 给定一线性定常系统 如果引入一非奇异变换 其中P是非奇异矩阵 经过状态变换后 系统可以写成 系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征 由于坐标系的选择带有人为的性质 而系统的特性却带有客观性 因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征 那么就称这两个状态空间描述是代数等价的 2 7 1 4由微分方程建立状态空间表达式 仅限于单输入单输出线性定常系统 引入微分算子 则系统可以写成 分情况讨论 Case1 当m n时 则系统方程可以改写为 引入中间变量 选取状态 可以得到系统的状态空间描述 Case2 当m n时 首先将系统方程有理分式严格真化 按照上面的算法可以转换成状态空间形式 经过中间变量的作用 上式可以写成下面的形式 选择与m n情况下相同的状态变量 上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式 状态是一样的 得到的状态方程表达形式也是一样的 唯一不同的就是输出方程中比m n情况多了一项 状态方程为 优点 利用控制系统的微分方程系数直接列写出系统的状态空间表达式 举例 写出下列系统的状态空间表达 解 上述两个系统分属于m n和m n两种情况 按照上面的算法可以直接转换成状态空间形式如下 7 1 5由传递函数建立状态空间表达式 传递函数是描述线性定常系统动力学特性的一种重要频域模型 如何将其化为系统的状态空间描述 称为 实现 应该特别重视 方法 首先将系统的传递函数进行反拉氏变换 得到输入 输出微分方程表达式 然后利用上节介绍方法将微分方程表达式转化为状态空间表达式对于单输入 单输出系统的传递函数 可能存在这样的情况 传递函数分子和分母多项式有可约去的因子 即零点 极点可以对消 那么此传递函数的实现可以选取不同维数的状态变量 把系统状态变量数目最少的实现称为 最小实现 例 求状态空间实现 传递函数 微分方程 状态方程 能控标准型实现能控 不能观 消去传递函数中的可约因子 s 3 得 最小实现 传递函数 微分方程 状态方程 最小实现能控 能观 3 7 1 6状态空间表达式与传递函数矩阵 传递函数只能用来描述单输入 单输出线性定常系统的动态特性 而实际的控制系统可能是多输入 多输出的线性定常系统 若不考虑内部状态信息 其动态特性通常采用传递矩阵来进行描述 Y1 Yp 在初始条件为零的情况下 系统状态矩阵 A B C D 与传递函数矩阵之间的关系为 原因 多输入 多输出线性定常系统 在初始条件为零时 对系统方程进行拉氏变换为 对状态方程进行整理得 带入输出方程得 例考虑多输入多输出系统 entersystemmatricesA B C DA 01 25 4 B 11 01 C 10 01 D 00 00 obtaintransferfunctionfromu1toy1andy2 num1 den1 ss2tf A B C D 1 obtaintransferfunctionfromu2toy1andy2 num2 den2 ss2tf A B C D 2 num1 014num2 01 00005 000000 2501 0000 25 0000den1 1425den2 1425 以下就是4个传递函数的MATLAB表达式 7 2系统的状态空间运动分析 分析系统运动的目的就在于从数学模型出发 定量地或是精确地给出系统运动的变化规律 以便为系统的实际运动过程作出估计 对于线性定常系统 其运动分析就是要在初始状态x0和外加输入u的作用下 对状态方程求解 为保证状态方程解的存在和唯一性 系统矩阵A和B中的所有元必须是有界的 一般来说 在实际工程中 这个条件都是满足的 线性系统满足叠加原理系统在初始状态及输入向量作用下的运动分解成两个独立的分运动 一个是无输入作用 单纯由初始状态引起的系统状态的自由运动 称为零输入响应 另外一个是初始状态为零的条件下 单纯由输入作用引起的状态强迫运动 称为零状态响应 系统由初始状态和输入共同作用而引起的整个响应是二者的叠加 即系统状态运动 零输入响应 零状态响应 7 2 1线性定常系统状态运动分析 自由运动 无输入即u 0 就是系统在初始条件x0下的解 称为零输入响应 强迫运动是系统在初始条件为零的情况下 单纯由输入u作用产生的 即强迫方程的解 称为零状态响应 两种状态运动都是状态的转移 其形态可以通过状态转移矩阵来表征 利用状态转移矩阵可以对线性系统的运动规律 包括定常的 时变的 离散的都建立起一个统一的表达形式 状态转移矩阵定义 给定线性时变系统 它的状态转移矩阵就是满足下述矩阵微分方程及初始条件的n维方阵 状态转移矩阵物理意义 状态转移矩阵就是将t0时刻的初始状态x t0 映射到t时刻状态x t 的一个线性变换 它在规定的时间区间内决定了状态向量的自由运动 状态转移矩阵的重要性质 4 当A t 给定后 是唯一的 5 当A t 给定后 的表达式为 4 求导可得 假设状态x t 由两部分组成 一部分是初始状态的转移 代表自由运动 另一部分是待定向量的转移 代表受迫运动 为了找到运动规律的表达式 就是要确定上式中的待定向量 与状态方程比较得 利用状态转移矩阵写出系统状态运动规律 将积分 就可以求出待定向量 则状态运动规律为 根据初始条件x0 就可以定出待定向量的初始位置为 则系统运动规律表达式为 状态x t 分解成两个分运动 一个是单纯由初始条件x0作用引起的零输入响应 另外一个就是在初始条件为零时 单纯由输入作用引起的零状态响应 利用状态转移矩阵写出系统状态运动规律 续 在定常系统中 状态转移矩阵完全可以由系统矩阵 A B C D 来确定 即 注意 时变系统中状态转移矩阵 其物理意义就是依赖于初始时刻t0 而在定常系统中通常采用的方法来表示状态转移矩阵 这说明了在定常系统中 状态转移矩阵是依赖于时间的差值t t0 而与初始时刻t0没有直接关系 线性定常系统的运动规律 如果将时间t取成某个固定的值 那么零输入响应 就是状态空间中由初始状态x0经过线性变换导出的一个变换点 而整个系统的自由运动就应该是由初始状态x0出发 并由各个时刻的变换点所组成的一条轨迹 这条自由运动轨迹的形态可以说是由状态转移矩阵唯一确定的 它包括了自由运动性质的全部信息 换句话说就是系统矩阵A决定了系统的自由运动形态 初始时刻t0取为零 则 零输入响应 自由运动轨迹 零状态响应 受迫运动轨迹 7 2 2矩阵指数函数 线性定常系统中 状态转移矩阵又称作是矩阵指数函数 几种典型矩阵A的 1 A为对角线矩阵 即 2 A为对角线分块矩阵 注 矩阵A的转置矩阵AT也是幂零矩阵 它的左下角次对角线元为1 其余元均为零 它的矩阵指数函数具有如下性质 3 A是具有如下形式的幂零矩阵 矩阵A仅右上方次对角线上元为1 其余元均为零 则矩阵指数函数为 4 约当矩阵其矩阵指数函数为 的计算方法 1 利用矩阵指数函数的表达式 举例 说明 通常这种方法只能求出的数值结果 难以写出具体的数学表达式 当采用计算机进行计算时 这种方法具有编程方便 计算简单等特点 2 利用典型约当形矩阵的矩阵指数函数例如 A阵特征值是n个两两相异的 那么必存在一个非奇异变换矩阵P 使得 的计算方法 续 3 把表示成Ak k 0 1 n 1 的多项式形式 即 其中系数a可由以下方法来确定 Case1 A的特征根两两相异 的计算方法 续 5 Case2 A的特征根存在重根 例如特征值为 4 利用Laplace反变换求 对定义式进行Laplace变换得 然后在对上式两边求Laplace反变换 可得 举例 的计算方法 续 举例 给定线性定常系统的自治方程为试采用上述4种方法来求状态转移矩阵 解 1 利用矩阵指数函数的表达式 返回 2 先求出A的特征值为 1 2 再求出使A实现对角线化的非奇异变换阵P及其逆P 1 使得 则矩阵指数函数为 3 因为矩阵A的特征值是两两相异的 则有 从而可以定出 4 先求出预解矩阵 对上式进行Laplace反变换 即可定出 能控性和能观性是系统的两个基本结构特性 对于系统的控制和估计问题具有重要的意义 能控性反应的是输入对状态的控制能力能观性反应的是输出对状态的估计能力 7 3线性定常系统的能控性与能观测性 所谓能控性就是研究系统的全部状态是否都会受到输入的影响 从而实现对系统状态的控制 对应地 如果系统状态变量的任何运动完全可以由输出来反映 那么就称系统是能观测的 简称为能观性 不完全能控电路不完全能观测电路 例一 给定系统如下 状态变量x1和x2可以通过选择输入u而使得他从初始点转移到原点 因而系统是完全能控的 但输出只反应出状态x2 状态x1与输出既无直接关系也无间接关系 所以是不完全能观测的 能控性 能观性分析举例 例二 实际电路 两个电容的端电压x1和x2是状态变量 输入u可以使状态转移到任意目标值 但是不能将状态分别转移到不同的目标值 也就是说无论输入取为何种形式 对所有的t 0都有x1 x2 这就表明该电路系统是不完全能控的 例三由的联系判断能观性 输出y t x1 t 且x1与x2完全解耦 x2到y的通道被切断 所以x1能观测 x2不能观测 输出y t x1 t 注意x1受x2影响 所以不能简单判定x1能观测 x2不能观测 例四两联系通道的作用可能抵消 左图中 输入为电压 两个电感流过的电流是状态变量 输出是电流i 如果外加电压u 0 对任意两个相等的非零初始状态 都会有电流i 0 也就是说从输出根本无法判断系统的初始状态是什么 说明该电路是不完全能观的 6 能控性定义 对于线性时变系统如果对于非零初始状态x0 都存在某一时刻和一个无约束的容许控制 使得状态由初始点转移到t1时刻的原点 则称此初始状态x0是能控的 如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的 那么就称系统是完全能控的 无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制 可以任意大到所要求的值 容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯一的条件 具体的说就是要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的 7 3 1基本概念 1 上述定义中 只要求能够找到这样的控制输入u 使得t0时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状态空间中的坐标系原点 而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制 这就是说能控性是表征系统状态运动的一个定性的特性2 上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态 如果改成由零状态转移到非零状态 就称之为系统状态是能达的 对于线性连续定常系统 其能控性和能达性是等价的 而对于离散系统和时变系统 二者严格来讲是不等价的 说明 能观测性定义 对给定的零输入方程 在初始时刻t0存在非零的初始状态x t0 x0 未知 如果存在这样一个有限时刻t1 0 通过 t0 t1 段有限时间区间内所测得的输出y t 可以确定出系统的初始状态x t0 那么就把x0称作是可观测状态 如果状态空间中所有的非零状态都是可观测的 那么就称系统是完全能观测的 线性定常系统的能控性判定 1 格拉姆矩阵判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻t1 0 使得格拉姆矩阵是非奇异的 7 3 2能控性与能观测性判据 注意 格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析 这是因为在实际应用中 首先要计算出矩阵指数函数e At 而当A的维数较大时并非易事 利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据 即秩判据 由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入 根据运动分析 系统的状态响应为对于能控系统总可以找到t1时刻及作用在 t0 t1 上的容许控制u t 使得系统在t1时刻转移到零点 即 根据格拉姆矩阵判据 格拉姆矩阵的逆必定存在 于是就可以这样选取控制输入 解释 无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处 都可以按照上述公式中控制作用的选取方法 使得在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点 这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵方式选取 一般来说 如果系统是能控的 能够把系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种 这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求 但相比较而言 在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中 按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好 它的耗能是最小的 2 秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵为系统的能控性判别阵 3 PBH秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值 均有下式成立 即是左互质的 7 4 PBH特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量 即对A的任一特征值使同时满足的特征向量 5 约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1 当A矩阵的特征根两两相异时 在导出的对角线规范型中 矩阵不包含元素全为零的行 Case2 A的特征值为时 导出的约当规范型那么矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的 换句话说 矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行 且对应同一特征根的这些行分别是线性无关的 举例 给出了约当标准型 标准型中一共有三个约当块 系统是完全能控的 必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零 即是b3 b5 b6是非零的行向量 对应同一特征根的这些行b3 b5分别是线性无关的 例1 若 则系统是能控的若 则x1 x2 x4不能控 x3能控 例2 给出线性定常系统 判断其能控性 解 1 秩判据 因此系统是完全能控的 2 PBH判据 首先计算出特征值 分别计算是否都等于n 线性定常系统的能观测性判定 1 格拉姆矩阵判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻t1 0 使得格拉姆矩阵是非奇异的 和时变系统一样 定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析 这是因为在实际应用中 首先要计算出矩阵指数函数eAt 而当A的维数较大时并不容易 2 秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是我们称矩阵Qo为系统的能观测性判别阵 这个结论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来 与格拉姆矩阵判据是完全等价的 3 PBH秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值 均有下式成立 即sI A和C是右互质的 4 PBH特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量 即对A的任一特征值使同时满足的特征向量 5 约当规范型判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是Case1当A矩阵的特征根两两相异时 在导出的对角线规范型中 矩阵不包含元素全为零的列 Case2 A的特征值为时 导出的约当规范型那么由矩阵中对应每个约当块的第一列列向量是线性无关的 换句话说 矩阵中对应每个约当块的第一列列向量中无零列 且对应同一特征根的这些列分别是线性无关的 举例 给出了约当标准型 标准型中共有三个约当块 要保证系统是完全能观测的 则C矩阵中对应每个约当块的第一列非零 即c1 c4 c6是非零的列向量 对应同一特征根的这些列分别是线性无关的 即对应特征根的列c1 c4是线性无关的 例 给出线性定常系统 试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性 解 秩判据 系统是完全能观测的 PBH判据 首先计算出特征值 分别计算是否都等于n 8 给定线性定常系统 则它的对偶系统为 对偶原理 能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式上都是对偶的 这种对偶关系反映了系统的能控问题与估计问题之间的对偶性 对偶系统定义 给定系统和对偶系统的方块图是对偶的 对偶系统又称为伴随系统 可以看出给定系统和对偶系统之间的状态维数一致 而给定系统的输入 输出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数 给定系统的运动是状态点在状态空间中由t0到t的正时向转移 而对偶系统的运动是协状态点在状态空间中由t到t0的反时向转移 设和是给定系统和对偶系统的状态转移矩阵 则必成立 对偶原理 给定系统和对偶系统在能控性和能观测性上具有以下对应关系 给定系统的完全能控性等价于对偶系统的完全能观测性 给定系统的完全能观测性等价于对偶系统的完全能控性 可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进行证明 验证 给定系统的能控性判别矩阵对偶系统的能观测性判别矩阵 二者秩完全相同 给定系统的能观测性判别矩阵对偶系统的能控性判别矩阵 二者秩完全相同 7 3 3单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系统 如果单从能控性或是能观测性这两个基本特性出发构造出一个非奇异变换 那么就可以把系统的状态空间描述在这一线性变换下 转化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式 通常把这种标准形式的状态空间描述称为能控规范型 能观测规范型 能控性规范型 给定系统 且系统是完全能控的 有特征多项式为 定义常数 构造变换矩阵 在变换下 可以导出系统的能控标准型 其中 举例 给定系统 特征多项式为 非奇异变换矩阵 以及构造常数 得到系统的能控性标准型 能观测规范型 对上述给定系统 矩阵A的特征多项式及常数定义不变 利用能观测性与能控性的对偶关系 可以定义非奇异变换矩阵 则利用变换关系 导出系统的能观测规范型 其中 讨论 1 能控性规范型和能观测规范型是通过一种简单的 明显的方式把系统的状态空间描述与反应系统结构特性的特征多项式联系起来 这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问题给予了很大的方便 如讨论极点配置问题上 利用规范型中系统矩阵与特征多项式之间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控规范型 与原始系统加以比较就可以很容易的找到相应的控制输入u 其他一些控制问题 如镇定 跟踪等都可以转化为适当的极点配置问题 另外观测器的设计也是基于能观规范型提出的 2 代数等价系统的能控性与能观测性保持不变 此外 对于完全能控 观测 的两个等价系统来讲 虽然自身的状态空间表达不一样 但是他们的能控 观测 规范型完全一样 9 7 3 4结构分解 本节从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完全能观测系统的结构特性 即把状态方程按照能控性或能观测性或同时按照二者进行结构分解 把系统的结构以明显的方式区分成能控的 不能控的 或是能观测 不能观测 或者分解成能控且能观测部分 能控但不能观测部分 不能控但能观测部分以及不能控又不能观测四部分 研究系统的结构分解 一方面是为了了解系统的结构特性 另一方面可以看出状态空间描述与输入输出描述之间的本质差别 对线性系统加以结构分解是基于结论 两个代数等价系统或是说对系统进行线性非奇异变换 并不会改变系统的能控性与能观测性 也不改变系统的不完全能控及不完全能观测程度 按能控性分解 不完全能控系统 在n个状态中只有k个是能控的 其余n k个状态是不能控的 按能控性进行结构分解就是找到这k个能控的状态 并写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程 采用的方法就是线性非奇异变换 非奇异变换矩阵的构造 从中任意选取k个线性无关列 记作 此外在从n维实数空间中任意选取n k个线性无关列向量 并保证这n k个列向量与原来的k个列向量都是线性无关的 这样就组成了非奇异变换矩阵 通过非奇异变换 就可以把原系统按能控性进行结构分解 注意 非奇异变换矩阵P任意的 所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样 但矩阵中具体的元素值是不同的 唯一确定不变的是 能控部分系统矩阵 是k维的 不能控部分系统矩阵 是n k维的 在这样的分解规范表达式中 系统被明显的分解成能控部分和不能控部分 能控部分的k维方程为 n k维不能控子系统 方块图 举例 重新排序 讨论 不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的 经线性非奇异变换后 系统特征值不变 即 系统特征值被分成两部分 能控振型 不能控振型 经非奇异变换后 系统的传递函数保持不变 即 可见系统的传递函数是一种不完全的描述 只能反应出系统能控部分的特征值 10 按能观测性分解 不完全能观测系统 在n个状态中只有k个是能观测的 其余n k个状态是不能观测的 按能观测性进行结构分解就是找到这k个能观测的状态 并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对应的状态方程 采用的方法就是线性非奇异变换 非奇异变换矩阵的构造 从中任意选取k个线性无关行 记作 再从n维实数空间中任选n k个线性无关行向量并保证这n k个行向量与原来的k个行向量都是线性无关的 这样就组成了非奇异变换矩阵 通过非奇异变换 就可以把原系统按能观测性进行结构分解 注意 非奇异变换矩阵Q是任意的 所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样 但矩阵中具体的元素值是不同的 唯一确定不变的是 能观测子系统矩阵 是k维的 不能观测子系统矩阵 是n k维的 在这样的分解规范表达式中 系统被明显的分解成能观测部分和不能观测部分 其中能观测部分的k维方程为 n k维不能观测子系统 讨论 系统的输出完全体现了可测状态 而不能观测部分没有输出与之对应 经线性非奇异变换后 系统特征值不变 即 系统特征值被分成两部分 能观测和不能观测特征值 经非奇异变换后 系统的传递函数保持不变 即 可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特征值 是一种不完全的描述 规范分解 如果系统是不完全能控且不完全能观测的 那么单纯对系统进行一次分解 按能控性或是能观测性 并不可能对整个系统的结构有完全的了解 这时必须进行二次分解 在能观测性分解的基础上进行能控性分解 这样才可能对系统的结构有更好的了解 把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解 注意 规范分解时必须先按能观测性进行分解 然后再进行能控性分解 而不能先对系统按能控性进行分解 然后再分别对能控子系统和不能控子系统按能观测性分解 其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子系统的输出之和才是整个系统真正的输出 系统的能观测性反映的是输出对状态的观测能力 它与子系统的输出和对状态的观测能力是不同的 所以分别对能控子系统和不能控子系统再按能观测进行结构分解 得到的结果可能是错误的 首先进行能观测性分解得 能观测和不能观测状态中同时都包括能控和不能控的两部分 为此要对能观测子系统和不能观测子系统再按照能控性进行分解 系统传递函数为只反应出能控且能观测那部分的特征值 而不能控或是不能观测那部分的特征值模态再传递函数中并没有体现 这些不能控或是不能观测的模态代表了系统的内部特征 在有关文献中被称为隐藏模态 所以说状态空间描述要比输入输出描述全面 它不光能够反应出系统的外部特征 同时也可以体现系统的内部特征 信息传递 不可控 不可观 进 由不可控来 出 去不可观 可控 不可观 只进不出 有从u及可控来的 不可控 可观 只出不进 有去y及可观的 可控 可观 进 出 卡尔曼 吉伯特定理 传递函数矩阵只反映系统即可控又可观部分 11 本节开始讨论线性系统的综合问题 其研究内容是已知系统的结构 参数以及所期望得到的系统运动形式或是其他某些特征 需要确定施加于系统的外加输入作用 也就是控制律 反馈是系统综合设计的主要方法 由于在经典控制论中系统采用传递函数描述 只能是采用输出量作为反馈变量 而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统 因此除了输出反馈形式以外 还常常采用状态反馈 7 4线性系统的状态反馈与极点配置 问题的提法性能指标的类型综合问题的研究步骤工程实现中的一些问题 7 4 1综合问题简介 1 问题的提法 综合问题就是寻找一个适当的控制作用u 使得系统在其作用下的运动行为满足所给出的期望性能指标 这个性能指标即可能是对其运动过程所给定的某种期望形式 也可能是对系统运动状态期望形式所规定的某些特征向量 再或者就是某个需要去极小和极大值的一个性能函数 2 性能指标的类型 综合问题中的期望性能指标可以区分成非优化型性能指标和优化型性能指标两种 这两者之间的差别就在于非优化型性能指标是一类不等式型的指标 也就是说只有性能值达到或者好于性能指标 就算实现了综合控制目标 而优化型指标是一类极值型指标 就是要求性能指标在所有值中取为最小或是最大值 非优化型性能指标 镇定问题 以系统的渐近稳定性为性能指标极点配置问题 以一组期望的闭环系统极点作为性能指标解耦控制 以多输入多输出系统实现 一个输入只控制一个输出 作为性能指标跟踪问题 把系统输出y无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标 这个外部信号可以是直接给定的某个非零时间函数 也可以使由某个动态系统的输出产生 再或者是给定参考信号恒为零 相应的综合问题就可以称为跟踪 匹配 调节 优化型性能指标 通常取成相对于状态x和控制u的二次型积分函数 其中 R是正定对称常阵 Q是对称正定常阵或是满足 A Q1 2 能观测的半正定对称常阵对于不同的综合问题 需要确定出合适的加权矩阵Q和R 而综合的任务就是要找到一个控制u 使得相应的性能指标J u 取为极小值 这就是最优控制问题 确切地说是线性二次型最优控制问题 即LQ调节器问题 3 综合问题的研究步骤 第一步建立可综合条件 就是相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标 找到使相应控制存在并且能实现综合目标所应满足的条件第二步建立相应的综合控制规律算法 利用这些算法对满足可综合条件的问题 确定出满足要求的控制律 4 工程实现中的一些问题 状态反馈的构成问题系统模型的不准确和参数摄动问题对外部扰动的影响和抑制问题 7 4 2状态反馈与输出反馈 控制作用u一般是依赖于系统的实际响应 也就是说控制作用u可以表示成系统状态或输出的一个线性向量函数 简称状态反馈或输出反馈 其结构图如下 状态反馈与输出反馈的构成 显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵 但并不能说这两种反馈形式在改变系统结构属性和实现性能指标方面具有相同的功效 事实上 在改善系统性能方面 状态反馈的效果要远远优于输出反馈 而输出反馈的作用要远远小于状态反馈 状态 输出反馈对系统性能的影响 结论1 状态反馈的引入不改变系统的能控性 但可能改变系统的能观测性 结论2 输出反馈的引入能够同时不改变系统的能控性和能观测性注意 系统经过反馈之后 能控性 或能观测性 不发生改变 包含两部分的意义 对于完全能控 或完全能观测 的系统来讲 反馈系统仍旧是完全能控的 或完全能观测的 另外对于不完全能控 或不完全能观测 的系统来讲 反馈后系统能控 或能观测 子空间及不能控 或不能观测 子空间的维数保持不变 结论1证明 PBH特征向量方法 对A的任一特征值使同时满足的特征向量对于反馈控制系统有 反馈系统与被控系统的能控性判别条件相同 例 给定系统 1 判断能控性和能观测性 完全能控 完全能观 2 引入反馈 K 04 可得反馈系统 判断反馈系统能控性和能观测性 完全能控 不完全能观测 3 引入反馈 K 05 可得反馈系统 判断反馈系统能控性和能观测性 完全能控 完全能观测 状态反馈与输出反馈的比较 从反馈信息性质的角度比较 状态反馈所反馈的信息是系统的状态 是一种可以完全表征系统结构的信息 所以状态反馈又称为完全的系统信息反馈 而输出反馈所反馈的信息是系统输出 这是一种不完全的系统信息反馈 一般来说要想是系统获得良好的动态性能 必须采用完全的信息反馈 也就是状态反馈 从改善系统性能上比较 状态反馈要比输出反馈强 但也不是说就不再用输出反馈 要想使输出反馈也能达到满意的性能 就应该引入串联补偿器和并联补偿器 构成一个动态的输出反馈系统 通常情况下 补偿器是阶次较低的线性系统 它的引入提高了整个反馈系统的阶次 这也是它的一个主要缺点 从反馈系统的工程实现角度比较 因为输出变量是可以直接测量的 因此输出反馈显然要比状态反馈更容易在工程中实现 从这一点上来看 输出反馈要优于状态反馈 要想解决状态反馈的实现问题 就必须引入一个附加的状态观测器 带有状态观测器的状态反馈系统也存在着一个明显的缺点 大大地提高整个反馈系统的阶次 7 4 3状态反馈极点配置 状态反馈极点配置问题就是找到这样一个反馈控制 使得所导出的状态反馈闭环系统的极点达到期望极点 进行极点配置的主要原因就在于通常情况下 期望的闭环极点体现了综合问题中的一些性能指标 如时域中的过渡过程时间 超调量 调整时间以及频域中的增益稳定裕度 相位稳定裕度等这些直观的系统性能指标经过转换 经验估计 可以对应系统的极点位置 进行极点配置实际上就是让系统达到所要求的性能指标 极点配置条件 定理 线性定常系统可以通过线性状态反馈在S平面上任意配置其全部极点和特征频率的充要条件是系统是 A B 完全能控的 理解 如果系统不完全能控 通过结构分解 系统可以分解成两个小子系统 能控与不能控的 取状态反馈显然状态反馈只能改变能控子系统的特征频率 而对不能控部分却丝毫不起作用 因此只有当系统完全能控时 才可以在S平面上任意配置其特征频率 12 单变量系统 SI 的极点配置算法 判断系统是否能控 如果是 则系统可以进行极点任意配置 继续第二步 否则停止 计算A矩阵的特征多项式 确定闭环系统的期望特征多项式 计算增益矩阵 计算非奇异变换矩阵P 将系统转化为能控标准型 反馈增益矩阵 算法思路 能控标准型是将状态空间表达形式与系统特征根或特征多项式联系的最简形式 而任意给定的系统通常不具有能控标准型的形式 首先采用非奇异变换 把系统转化成标准型 要想将此标准型的极点配置到期望值所采用的反馈为 即 因为所需状态反馈是针对初始状态x 而不是变换后的 所以对上述反馈增益矩阵要再经过一次变换才可以 即其中就是所需要的状态反馈增益矩阵 注意 如果是低阶系统 n 3 则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式 可能更为简便 例如 若n 3 则可将状态反馈增益矩阵K写为将该阵K代入期望特征多项式 并使令方程两端s同次幂系数相等可以确定k1 k2 k3的值 例1 考虑如下线性定常系统 式中希望该系统闭环极点为s 2 j4和s 10 试确定状态反馈增益矩阵K 解 首先需检验该系统的能控性矩阵 系统是状态完全能控的 可任意配置极点 下面用前面介绍的2种方法分别求解 方法1 采用单变量系统的极点配置算法 该系统的特征方程为 期望的特征方程为参照式 且系统表达本身就是能控标准形 即P为单位阵 可得 方法2 设期望的状态反馈增益为 并使和期望的特征多项式相等 可得 因此从中可得显然 这两种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的 使用状态反馈方法 正如所期望的那样 可将闭环极点配置在s 2 j4和s 10处 注意 对于单输入单输出系统而言 状态反馈并不会改变系统的零点 但是可能会出现这种情况 引入状态反馈后 恰好把某些极点配置到与零点相同的位置上 从而产生了零极点对消 造成了被抵消的极点变成不可观测 这就是状态反馈可能引起系统能观测性发生改变的直观解释 从极点配置条件可知 只要系统是完全能控的 那么无论系统开环矩阵是否稳定 都可以通过适当选择的反馈矩阵使得系统变成稳定 而且控制作用的大小与闭环极点的位置有关 开环极点经反馈后被移动的幅度越大 那么反馈的控制作用越剧烈 反馈增益也就越大 对于给定系统和期望性能指标 状态反馈矩阵K不唯一 而是依赖于期望闭环极点的位置 首先工程上要求系统都是稳定的 所以闭环极点一定选在左半平面上 另外如果系统是2阶的 那么系统的动态特性 响应特性 正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来 对于更高阶的系统 通常可以根据上升时间 超调量 回复时间等性能指标 按照主导极点的原则来选取所期望的闭环极点位置 在确定K时 最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵 基于几种不同的所期望的特征方程 下的响应特性 并且选出使系统总体性能最好的矩阵K 输出反馈的极点配置问题 给定SISO系统 取输出反馈为闭环系统的传递函数为其中输出反馈的闭环特征方程为 输出反馈闭环极点分布在当时 从开环极点出发到开环零点中止的这样一条轨线上 这就体现了输出反馈的局限性 即它不能任意配置系统的极点 如果在引入输出反馈的同时 适当地选取补偿器的结构和特性 那么就可以实现输出反馈系统的全部极点任意配置 13 镇定问题 状态反馈镇定就是找到这样一个状态反馈u kx v 使得闭环系统是渐近稳定的 也就是它的系统矩阵 A Bk 的特征值都具有负实部 实际上 镇定问题可以看作状态反馈极点配置问题中的一个特例 只不过不是把极点配置到任意指定的位置上 而是把它配置在s复平面的左半开平面内 所以通常这类问题又称为区域型极点配置问题 线性定常系统是状态反馈可镇定的充要条件是该系统的不能控部分是渐近稳定的 可镇定条件 镇定算法 将系统 A B 按能控性进行分解 导出能控 不能控子系统方程及变换矩阵P 求出不能控部分的特征根 判定其是否稳定 如果是 则继续 否则 停止算法 对于能控部分的镇定问题 可选取具有负实部的极点 按照极点配置算法将其极点配置到期望值 从而实现系统镇定 例 给定系统 a 问系统是否能控 若完全能控 则化成能控标准形 若不完全能控 则分别写出能控 不能控子系统表达式 b 问能否设计状态反馈使闭环极点为 2 3 4 请说明原因 解 能控性判别矩阵秩 2 所以系统不完全能控 按照能控性进行结构分解 选择变换矩阵通过坐标变换 结构分解得 可见系统不能控的特征根为 2 是稳定的 所以可以将极点配置到 2 3 4 例 已知被控系统由以下3个环节串联而成 如图所示 试以图中标出状态为状态变量 列写状态方程 并设计状态反馈矩阵K 使闭环极点为 3 并画出闭环系统的结构图 解 系统状态空间表达为 判定能控性系统能控 故可以进行极点任意配置 极点配置 系统结构图 7 5 1全维状态观测器的设计 考虑如下线性定常系统在有关状态观测器的讨论中 用表示被观测状态 设计思路 利用系数矩阵 A B C 来对被估计系统进行直接复制 即可达到状态重构的目的 如果保证观测器的初始状态和输入与给定系统的完全相同 那么就可以实现在整个时间区域上的状态复制 这是一种完全的状态重构 一般来讲 这种开环型的观测器本身没有任何的实际价值 上述开环型的观测器很难应用 主要缺点有 一要使用此观测器必须计算出系统的初始状态 并设置观测器的初始状态与给定系统相同 二是如果系数矩阵A中包含了不稳定特征根的话 那么即使观测器和给定系统的初始状态存在微小的差异 也会随着时间的增加而无限放大 误差方程为 引入一个修正项 这时就利用给定系统的输入和输出构成了反馈型观测器 观测器增益矩阵起到加权矩阵的作用 修正项监控状态变量 使其渐近跟踪系统的真实状态 误差动态由A LC特征值决定 选择适当L使得误差动态特性渐近稳定且足够快 则任意误差向量e t 都将以足够快的速度趋近于零 原点 称为x t 的渐近估计或重构 观测器误差方程 可观测条件 全维状态观测器的设计问题 是确定观测器增益矩阵L 使得误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定 渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A LC的特征值决定 因此 全维观测器的设计就归结为如何确定适当的L 使得A LC具有期望的特征值 此时 全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与极点配置相同的问题 观测条件 系统的状态观测器存在的充要条件是对偶系统完全能控或给定系统是完全能观测的 在设计全维状态观测器时 求解如下对偶系统的极点配置问题 如果对偶系统是状态完全能控的 则可确定状态反馈增益矩阵K 使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值 注意到与观测器系统矩阵的特征多项式相比较 可找出L和K的关系为因此 观测器问题与极点配置问题具有对偶关系 即 SISO 全维状态观测器的B G算法 能观标准型是将状态空间表达形式与系统特征根联系的最简形式 而任意给定的系统通常不具有能观标准型的形式 所以首先采用非奇异变换 把系统转化成标准型 要想将此标准型对偶系统的极点配置到期望值所采用的增益矩阵为 即 上述观测器增益是针对变换后的状态 而不是初始状态空间x 所以需对其进行变换回到原空间 即观测器的方程为 求观测器增益矩阵L的直接代入法 与极点配置算法的情况类似 如果系统是低阶的 n 3 可将矩阵L直接代入期望的特征多项式进行计算 例如 若x是一个3维向量 则观测器增益矩阵L可写为 将L代入期望的特征多项式通过使上式两端s的同次幂系数相等 即可确定出l1 l2和l3的值 如果n 1 2或3 其中n是状态向量x的维数 则该方法十分简便 虽然该方法可应用于n 4 5 6 的情况 但计算有可能非常繁琐 Luenberger曾经指出 当观测器期望极点的实部太负 使衰减太快 将导致观测器的作用接近于一个微分器 从而使频带加宽 不能避免地将高频噪声分量放大 而且也存在观测器的可实现性问题 因为衰减速度太快 则矩阵较大 因此进行观测器本身的极点配置时 只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可 一般地 选择的期望特征值 应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2 5倍 迄今为止 我们假设观测器中的矩阵A B C与实际系统中的严格相同 实际上 这做不到 因此 误差动态方程不可能由给出 这意味着误差不可能趋于零 因此 应尽量建立观测器的准确数学模型 以使相应的误差小到令人满意的程度 几点说明 3 作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵L 通过反馈信号来考虑系统中的未知因素 如果含有明显的未知因素 那么利用矩阵L的反馈信号也应该比较大 然而另一方面 如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰 则输出y是不可靠的 因此 由矩阵L引起的反馈信号应该比较小 在决定矩阵时 应该仔细检查包含在输出y中的干扰和噪声的影响 4 应强调的是观测器增益矩阵L依赖于期望的特征根 在许多情况中 1 2 n的选取不是唯一的 在设计状态观测器时 最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定L 对不同的矩阵L必须进行仿真验证 以评估系统的最终性能 应从系统总体性能的观点来选取最好的 在许多实际问题中 最优矩阵的选取 归结为对快速响应及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷 几点说明 14 例 考虑如下的线性定常系统 式中设计一个全维状态观测器 期望特征值为 解 先检验系统的能观测性 即秩为2 系统是完全能观测的 并且可确定期望的观测器增益矩阵 将用2种方法来求解该问题 方法1 由于该状态空间表达式已是能观测标准形 因此变换矩阵Q I 由于给定系统的特征方程为观测器的期望特征方程为 故观测器增益矩阵可求得如下则观测器方程为 方法2 直接代入法 定义 则此时特征方程为 期望的特征方程为二者比较可得即无论采用什么方法 所得的都是相同的 7 5 2最小阶观测器 全维观测器是重构所有的系统状态变量 实际上 有一些状态变量是可以准确量测的 对此类状态变量就不必估计了 假设状态x为n维向量 输出量y为可