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跳出求解概率与统计题的误区文/史忠学一、等可能事件发生的简单概率例1 在所有的三位数中，组成没有重复数字的三位数的概率是 .(用数字作答)易错诊断 部分学生在解答本题时给出的答案是：P=.分子的890个数字中有首位排0的可能，实际上这样的数只是两位数字，另外分母也有类似的情况.教材探源 人教版教材第二册(下B)第93页的例5用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解析 (特殊元素法)我们把09这10个数字看成是元素，百位、十位和个位分别看成一个位置，元素0就是特殊元素了.首先考虑这个特殊元素，它不能排在百位上，同时元素不能重复，所以剩余的两个数字在19中可以任意取排.故P=.(特殊位置法)把09这10个数字看成是元素，百位、十位和个位分别看成一个位置，百位就是特殊位置了.首先考虑这个特殊位置，这个位置上不能排0，其他位置上任意排，只要不重复就可以了.故P=.(分步计数原理)把每个位置分开进行考虑.在所有的三位数中，百位从19中任取一个排列，有9种方法；十位从09这10个数字中任意取一个排列，有10种方法；个位同十位.在无重复数字中，百位从19中任取一个排列，有9种方法；十位从09这10个数字当中剩余的9个数字中任意取一个排列，有9种方法；个位再从剩余的8个数字中任意取一个排列，有8种方法.故P=.(间接法)把不符合条件的数从所有数中去掉，剩下的就是符合条件的数了.故P=.小结 概率的基础是排列与组合，而上面四种解答方法是排列的基础.我们在进行排列运算时，经常采用的方法就是直接法(特殊元素、特殊位置、分步计数)和间接法.二、互斥事件和相互独立事件同时发生的概率例2 电子钟一天显示的时间是从到，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任意一个时刻显示的四个数字之和为23的概率为A. B. C. D.易错诊断 部分学生在解答本题时给出的答案是：P=.学生把首位为2时的情况一般化，没有考虑到时间的具体显示只有20、21、22、23这么四种情况.教材探源 人教版教材第二册(下B)第128页的例3将骰子先后抛掷2次，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种？(3)向上的数之和是5的概率是多少？解析 对于每一个时刻的数字组成，从左起第一位只能是0、1、2.当首位是0或1时，第二位有09共10个选择；当首位是2时，第二位只能从03中选择，有4种方法选择，第三位从05中选择，有6种方法选择，第四位从09中选择，有10种方法选择，所以一天中所有时刻有(210+4)610=1 440种.对于四个数字之和为23的时刻，当首位是0时，由于第三位的最大数字是5，所以只有09：59符合条件；当首位是1时，由于第二位和第四位的数字之和最大为18，即都是9(9+9=18)，所以第三位数字只能是4或5，于是有19：49、18：49、19：58三种情况；当首位是2时，各位数字之和最大的情况是23：59，而这四个数字的和是19，小于23，所以此时没有符合条件的时刻.故P=.小结 只要我们在解答课本的例题和习题时能够非常熟练，就可以找到我们平常的训练思路，就可以在考试中找到解决问题的方法和依据，也就可以达到在解题时提醒我们利用相似解法的目的.三、相互独立和独立重复概率以及离散型随机变量的分布列、期望与方差例3 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一个年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一个年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一个年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为.(1)求一个投保人在一个年度内出险的概率.(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).易错诊断 部分学生对“至少问题”的分类不准确，这是高中数学的难点，对于文科生来说可能难度更大.当我们正面回答问题不容易时，可以考虑从问题的反面来思考，利用间接法求解.教材探源 人教版教材第二册(下B)第123页的引言问题若干门同一种大炮同时对某一目标射击一次.已知每门大炮射击一次击中目标的概率(可能性的大小)是0.3，那么要用多少门这样的大炮同时射击一次，才能使目标被击中的概率超过95%？解析 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则.(1)记表示事件“保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金”，则发生当且仅当，.又，故.(2)该险种的总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出为，盈利为 ，于是盈利的期望为，由可知，(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元.小结 解决此类问题往往分成n种类型，学生对每种类型的情况都应该清楚，然后看用直接法解决的类型多，还是用间接法解决的类型多，一般我们见到的题型大多是用间接法解答较为方便.对于这些题目，我们应该在正确运用排列、组合、概率与统计(期望、方差、正态分布)等公式的基础上达到非常熟练的程度.四、随机抽样与期望、方差的应用例4 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位：万元)为.(1)求的分布列.(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望).(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？易错诊断 部分学生对统计数学的期望也就是平均值理解不够透彻.教材探源 人教版教材第三册第16页习题1.2的第1题某工厂规定，如果工人在一个季度里有1个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成任务，则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望.解析 (1)据题意可知，的所有可能值为6，2，1，-2，于是有，.故的分布列为621-20.630.250.10.02(2).(3)设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为.依题意可知，即，解得.故三等品率最多为.小结 解答这类问题的方法是正确认识随机变量的实质和求哪个量的平均值，学生还要知道题目的分类.在平时的训练中，同学们可以专门做好几个典型事例的题目，以此作为模块来用.五、正态分布的应用例5 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有A. B.C. D.易错诊断 部分学生对正态分布了解不清楚，对正态分布的概念比较模糊.教材探源 人教版教材第三册第33页正态曲线具有以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.(2)曲线关于直线x=对称.(3)曲线在x=时位于最高点.(4)当x时，曲线上升；当x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.(5)当一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 解析 本题的答案为A.小结 利用函数的图像来记忆性质是学习函数的基本方法，所以我们要以记忆正态分布函数的图像为根本，尤其是对称性，