高考数学 第四章 圆与方程 4.2.24.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2.ppt

第四章 4 2直线 圆的位置关系 4 2 2圆与圆的位置关系4 2 3直线与圆的方程的应用 学习目标 1 掌握圆与圆的位置关系及判定方法 2 能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题 3 体会用代数方法处理几何问题的思想 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一圆与圆的位置关系及判定1 圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系 分别是外离 外切 相交 内切 内含 外离和内含统称为相离 外切和内切统称为相切 如图 2 圆与圆位置关系的判定 1 几何法 若两圆的半径分别为r1 r2 两圆的圆心距为d 则两圆的位置关系的判断方法如下 答案 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 2 代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断 外离或内含 相交 内切或外切 思考当两个圆仅有一个公共点时 这两个圆一定外切吗 答不一定 也有可能是内切 答案 知识点二用坐标方法解决平面几何问题的 三步曲 几何结论 坐标系 几何元素 代数 答案 返回 题型探究重点突破 题型一两圆位置关系的应用例1已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 问 m为何值时 1 圆c1与圆c2外切 2 圆c1与圆c2内含 解析答案 反思与感悟 解将圆c1 圆c2的方程配方 得c1 x m 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y m 2 4 1 若圆c1与圆c2外切 即 m 1 2 m 2 2 25 m2 3m 10 0 解得m 5或m 2 2 若圆c1与圆c2内含 即 m 1 2 m 2 2 1 m2 3m 2 0 解得 2 m 1 反思与感悟 判断两圆的位置关系一般用几何法 用几何法判断两圆的位置关系的步骤 1 分别计算两圆的半径长r r 2 计算两圆的圆心距d 3 根据d与r r之间的关系得出结论 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1已知圆c1的方程为x2 y2 2x 4y 20 0 圆c2的方程为x2 y2 4x 4y 2 0 试判断圆c1与圆c2的位置关系 解析答案 解方法一将圆c1与圆c2的方程联立 得到方程组 将x 3代入 或 解得y1 5 y2 1 因此圆c1与圆c2有两个不同的公共点 故两圆相交 方法二把圆c1的方程化成标准方程 得 x 1 2 y 2 2 25 圆c1的圆心坐标为 1 2 半径长为r1 5 把圆c2的方程化成标准方程 得 x 2 2 y 2 2 10 r1 r2 3 r1 r2 两圆相交 解析答案 反思与感悟 解设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 反思与感悟 反思与感悟 两圆相切时常用的性质有 设两圆的圆心分别为o1 o2 半径分别为r1 r2 两圆相切时 两圆圆心的连线过切点 两圆若相交时 两圆圆心的连线垂直平分公共弦 解析答案 跟踪训练2求与圆 x 2 2 y 1 2 4相切于点a 4 1 且半径为1的圆的方程 联立 解得a 5 b 1 所以 所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1 联立 解得a 3 b 1 所以 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 1 综上所述 所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 1或 x 3 2 y 1 2 1 解析答案 题型三与两圆相交有关的问题例3已知圆c1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆c2 x2 y2 4x 2y 11 0 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 解设两圆交点为a x1 y1 b x2 y2 得 3x 4y 6 0 a b两点坐标都满足此方程 3x 4y 6 0即为两圆公共弦所在的直线方程 易知圆c1的圆心 1 3 半径r1 3 反思与感悟 反思与感悟 1 两圆相交时 公共弦所在的直线方程若圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0相交 则两圆公共弦所在直线的方程为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 2 公共弦长的求法 1 代数法 将两圆的方程联立 解出交点坐标 利用两点间的距离公式求出弦长 2 几何法 求出公共弦所在直线的方程 利用圆的半径 半弦长 弦心距构成的直角三角形 根据勾股定理求解 解析答案 跟踪训练3已知圆c的圆心为 2 1 若圆c与圆x2 y2 3x 0的公共弦所在直线过点 5 2 求圆c的方程 解设圆c的半径长为r 则圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 r2 即x2 y2 4x 2y 5 r2 两圆的方程相减 得公共弦所在的直线的方程为x 2y 5 r2 0 因为该直线过点 5 2 所以r2 4 则圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 4 解析答案 反思与感悟 题型四直线与圆的方程的实际应用例4设有半径长为3km的圆形村落 甲 乙两人同时从村落中心出发 甲向东前进而乙向北前进 甲离开村后不久 改变前进方向 斜着沿切于村落边界的方向前进 后来恰好与乙相遇 设甲 乙两人的速度都一定 且其速度比为3 1 问 甲 乙两人在何处相遇 反思与感悟 解如图所示 以村落中心为坐标原点 以东西方向为x轴 南北方向为y轴建立平面直角坐标系 所以乙向北前进3 75km时甲 乙两人相遇 反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段 因此要建立适当的平面直角坐标系 用直线与圆的方程解决问题 建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算 解析答案 解如图所示 以公园中心o为坐标原点 以连接公园中心与村庄a的直线为x轴建立平面直角坐标系 由已知得圆的方程为x2 y2 4 a 4 0 b 2 2 由a向圆作切线 切点为d 过b向圆作切线 切点为e 两切线相交于c 易知e 0 2 直线bc的方程为y 2 连接od 则od ac 在rt oad中 od 2 oa 4 oad 30 解析答案 解析答案 由题意知 aod 60 doe 30 l1 l2 0 采用方案二更好 利用圆系方程求圆的方程 解题方法 解析答案 解后反思 返回 分析过两圆x2 y2 1 0和x2 y2 4x 0的交点的圆的方程可设为x2 y2 1 x2 y2 4x 0 通过整理 利用直线与此圆相切 则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长 求得 解设所求圆的方程为x2 y2 1 x2 y2 4x 0 1 解析答案 解后反思 解后反思 所以所求圆的方程为3x2 3y2 32x 11 0 所以所求圆的方程为3x2 3y2 32x 11 0或x2 y2 4x 0 解后反思 因为过两圆x2 y2 1 0和x2 y2 4x 0的交点的圆系方程x2 y2 1 x2 y2 4x 0 1 中不包含圆x2 y2 4x 0 所以解答此题时容易漏掉圆x2 y2 4x 0也适合的条件 因此 在解答完后 应专门对圆系之外的圆x2 y2 4x 0进行检验 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 两圆x2 y2 9和x2 y2 8x 6y 9 0的位置关系是 a 相离b 相交c 内切d 外切 解析圆c1 x2 y2 9的圆心为c1 0 0 半径长为r1 3 b 因为 r1 r2 c1c2 3 4 r1 r2 所以两圆相交 解析答案 2 圆x2 y2 1与圆x2 y2 2x 2y 1 0的交点坐标为 a 1 0 和 0 1 b 1 0 和 0 1 c 1 0 和 0 1 d 1 0 和 0 1 1 2 3 4 5 c 解析答案 3 若直线y ax b通过第一 二 四象限 则圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的圆心位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 b 解析因为直线通过第一 二 四象限 所以a 0 b 0 故圆心位于第二象限 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 c 解析x2 y2 50与x2 y2 12x 6y 40 0作差 得两圆公共弦所在的直线方程为2x y 15 0 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知两圆x2 y2 10和 x 1 2 y 3 2 20相交于