非线性系统分析

第八章非线性系统分析 8 1非线性控制系统概述 8 2常见非线性及其对系统性能影响 8 3相平面法 8 4描述函数 一 研究非线性控制理论的意义在前面各章中 我们讨论了线性系统的分析与设计问题 但是 理想的线性系统是不存在的 实际的物理系统 由于其组成元件在不同程度上具有非线性特性 严格地讲 都是非线性系统 当系统的非线性程度不严重时 采用线性方法进行研究是有实际意义的 但是 如果系统的非线性程度比较严重 采用线性方法往往会导致错误的结论 因此 必须对非线性系统进行专门的探讨 8 1非线性控制系统概述 二 非线性系统的特点1 稳定性分析复杂线性系统只有一个平衡状态 其稳定性只决定于系统本身的结构和参数 而和系统的初始条件无关 然而非线性系统可能存在多个平衡状态 其稳定性不仅与系统本身的结构和参数 而且与系统的初始条件有关 2 可能存在自激振荡对于线性系统而言 只有当系统处于稳定的临界状态时 才会出现等幅振荡 但这一运动形式是不能持久的 系统参数稍有细微的变化 这一临界状态就不能继续 而会转化为发散或收敛 然而在非线性系统 即使无外界作用 往往也会产生具有固定振幅和频率的振荡 称为自激振荡 3 频率特性发生畸变在线性系统中 当输入信号为正弦函数时 稳态输出信号也是相同频率的正弦函数 两者仅在幅值和相位上不同 因此可以用频率特性来分析线性系统 但是在非线性系统中 当输入信号为正弦函数时 稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数 使输出波形发生非线性畸变 四 分析与设计方法而非线性系统要用非线性微分方程来描述 不能应用叠加原理 因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题 1 相平面法 二阶系统 2 描述函数法 高阶系统 8 2常见非线性及其对系统运动的影响 一 死区特性控制系统中死区特性的存在 将导致系统产生稳态误差 而测量元件死区的影响尤为显著 二 饱和特性饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小 因而降低稳态精度 在有些系统中利用饱和特性做信号限幅 三 间隙特性间隙或回环特性对系统的影响比较复杂 一般说来 它会使系统稳差增大 相位滞后增大 从而使动态特性变坏 8 3相平面法 四 继电器特性在控制系统中 有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法 一 相平面法基本概念 2 相轨迹它是指当系统运动时 x 相应变化 对应在相平面上描述出的轨迹 3 相轨迹的绘制 1 解析法用求解微分方程的办法找出x和的关系 从而可在相平面上绘制相轨迹 2 等倾线法等倾线 在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线 二 线性系统的相轨迹 1 一阶系统的相轨迹 2 二阶系统的相轨迹 2 奇点的类型 3 极限环 极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹 根与相轨迹 节点 稳定焦点 中心 不稳定节点 不稳定节点 鞍点 三 非线性系统的相平面分析1 步骤 1 将非线性特性用分段的直线特性来表示 写出相应线段的数学表达式 2 首先在相平面上选择合适的坐标 一般常用误差及其导数分别为横纵坐标 然后将相平面根据非线性特性分成若干区域 使非线性特性在每个区域内都呈线性特性 3 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 4 在各个区域内分别画出各自的相轨迹 5 将相邻区域的相轨迹 根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来 便得到整个非线性系统的相轨迹 例题 设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示 试绘制当输入信号为r t 1 t 时的相轨迹 解 饱和特性的数学表达式为 描述系统运动过程的微分方程为 由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为 I II III 8 4描述函数法 一 描述函数基本概念1 定义 非线性环节中稳态输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 2 应用描述函数法的基本条件 1 线性环节具有较好的低通滤波特性 2 非线性环节输出可只考虑基波分量 二 典型非线性特性的描述函数 1 饱和特性的描述函数 2 死区特性的描述函数 3 间隙特性的描述函数 4 继电器特性的描述函数 二 描述函数法典型结构非线性系统的方框图如下图所示 它由两部分组成 N A 代表非线性元件 G s 代表线性部分 三 非线性系统的稳定性分析 1 判断非线性系统稳定性 1 G j 不包围曲线 则非线性系统稳定 2 G j 包围曲线 则非线性系统稳定 2 分析非线性系统稳定性 自激振荡时交点处的A