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第五章偏微分方程数值解NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations 5 1偏微分方程简介5 2离散化公式5 3几种常见偏微分方程的离散化计算5 4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解 本章要求 教学目的讲解 偏微分方程离散格式及求解的一般过程教学要求熟记一阶及二阶偏微分方程的离散格式 精通用EXCEL迭代对偏微分方程求解 探索用两数组交替更新的办法进行编程求解 延伸对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试 教学重点各种偏微分方程的离散与求解EXCEL循环迭代问题教学难点特殊边界条件的引入与应用 5 1偏微分方程简介 偏微分方程如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数 或者说如果未知函数和几个变量有关 而且方程中出现未知函数对几个变量的导数 那么这种微分方程就是偏微分方程 在化工或化学动态模拟方程中 常常有一个自变量是时间 其它的自变量为空间位置 如果只考虑一维空间 则只有两个自变量 如果考虑两维空间 则有3个自变量 许多化工过程均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确定或数值模拟 5 1偏微分方程简介 偏微分方程的分类 线性微分方程Linearpartialdifferencialequation 拟线性微分方程Quasilinearpartialdifferencialequation 非线性微分方程Nonlinearpartialdifferencialequation 5 1偏微分方程简介 数学上的分类 椭圆方程Elliptic抛物线方程Parabolic双曲线方程Hyperbolic物理实际问题的归类 波动方程 双曲型 一维弦振动模型 热传导方程 抛物线型 一维线性热传导方程拉普拉斯方程 椭圆型 稳态静电场或稳态温度分布场 5 1微分方程的求解思路 求微分方程数值解的一般步骤 Step1区域剖分 首先按一定规则将整个定义域分成若干小块Step2微分方程离散 构造离散点或片的函数值递推公式或方程Step3初始 边界条件离散 根据递推公式 将初值或边界值离散化 补充方程 启动递推运算Step4数值解计算 求解离散系统问题微分方程的定解问题离散系统的求解问题 5 2离散化公式 将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化 则应变量就变成了这些离散变量的函数 一阶偏导的离散化公式一般采用欧拉公式表示有时为了保证系统和稳定性 对时间的差分往往采用向后公式 5 2离散化公式 对于二阶偏导 我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式 5 2离散化公式推导 将uk 1在uk处按二阶泰勒式展开 将uk 1在uk处按二阶泰勒式展开 二式相加得 5 3几种常见偏微分方程的离散化计算 1 波动方程其中 为初值条件为边值条件当该波动方程只提供初值条件时 称此方程为波动方程的初值问题 二者均提供时称为波动方程的混合问题 5 3 1波动方程求解 对于初值问题 是已知t 0时 u与依赖于x的函数形式 求解不同位置 不同时刻的u值 而u是定义在的二元函数 即上半平面的函数 对于混合问题除初值外 还有边值 是已知初值及x 0及x l时u依赖于t的函数 求解不同位置x 不同时刻的u值 此时u是定义在的带形区域上的二元函数 5 3 1波动方程求解 方程离散化 整理可得 边界条件初始条件离散化 5 3 1波动方程求解 例5 1 用数值法求解下面偏微分方程 此微分方程 是在不考虑流体本身热传导时的套管传热微分方程 由计算结果可知 当计算的时间序列进行到72时 传热过程已达到稳态 各点上的温度已不随时间的增加而改变 如果改变套管长度或传热系数 则达到稳态的时间亦会改变 EXCEL 5 3 2一维流动热传导方程 与波动方程的情形类似 用差商近似代替偏商 可以得到一维流动传热传导方程的混合问题的差分方程 以其解作为流动传热传导方程的近似解 2 一维流动热传导方程的混合问题 离散化 将上式进行处理得到 该式是显式格式 只要保证式中各项系数大于零 一般情况下是稳定的 可以获得稳定的解 分析上式可以发现 当为了提高数值精度取适当小的 x时 最有可能小于零的系数是uin的系数 若要保证此项系数大于零 此时 t必须相应地更小 会导致计算量将大大增加 这是显式格式的缺点 为了克服此缺点 下面提出一种隐式格式 偏微分方程在点上进行离散化 且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式 5 3 2一维流动热传导方程 从图5 3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行的 需解线性方程组 同时添上二边界条件 正好共有m 2个方程 同时有m 2个变量 就能解出n 1排上各点值 这样 每解一个线性方程组 就可以往上推算一排点的u值 虽然引入了方程组的求解 有可能增加计算量 但由于隐式格式无条件稳定 t的取法与 x无关 可以少计算许多排节点上的u值 相应于显式格式来说 最终反而节省了计算量 5 3 2一维流动热传导方程 例5 2考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程 解 首先根据前面的知识 将所求的方程离散化 代入微分方程并化简得 分析上式可知 如果知道了某一时刻的各点t j 0 1 2 10 11 就可以求下一时刻的各点温度值t j 1 2 10 现在已经知道了零时刻管内各点的温度分布及入口处在任何时刻的温度 如想求下一时刻的温度值 根据上面的离散化计算公式 还需知道在j 11处的温度 这个温度可利用给定的边界条件离散化求得 有了以上各式 上面的微分方程就可以求解了 5 3 2一维流动热传导方程 EXCEL 5 3 3稳态导热 扩散方程 3 稳态导热 扩散方程在化工导热及扩散过程中 没有物流的流动 仅靠导热及扩散进行热量及质量的传递 如果此时系统达到稳定状态 也就是说系统中每一个控制单元的各项性质如温度 浓度等不再随时间的改变而改变 系统中的各种性质只与其所处的位置有关 利用化工知识 我们可以得到下面二维 三维的稳态导热或扩散偏微分方程 二维 三维 二维的稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程 常见有三种边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 离散化公式 取 经化简得 外节点 边界节点 和内节点求解方法划分网格建立节点离散方程迭代求解 或解稀疏方程组 5 3 3稳态导热 扩散方程求解 5 3 3稳态导热 扩散方程求解 常用的3种迭代格式 1 同步迭代 2 异步迭代 3 超松弛迭代 当计算范围R为矩阵区域 x方向m等分 y方向n等分 最佳松弛因子为 由数学知识可知 用这些迭代法求解上面的偏微分方程均收敛 紧凑迭代 5 3 3稳态导热 扩散方程求解 例5 3 处于传热平衡状态的某保温 假设其形状为长方体 在x y两个方向上存在热传导 且导热系数相等 已知边界温度分布如下图所示 解 取某一微元进行能量衡算 由于已达传热平衡状态 故可得 传导入热量 传导出热量 0 温度分布 5 3 3稳态导热 扩散方程求解 MicrosoftExcel迭代计算公式中的循环引用在 工具 菜单上 单击 选项 再单击 重新计算 选项卡 选中 迭代 复选框 若要设置MicrosoftExcel进行重新计算的最大次数 请在 最多迭代次数 框中键入迭代次数 迭代次数越高 Excel用于计算工作表的时间越多 若要设置两次迭代结果之间可以接受的最大误差 请在 最大误差 框中键入所需的数值 数值越小 结果越精确 Excel用于计算工作表的时间也越多 5 4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例 5 4 1基本设定及假设1 吸附器结构参数的设定上图所示的是套筒式吸附器 该吸附器的有效长度为L 其有效内径为D 环隙宽度为 吸附器壁厚为 b 导热流体通过环隙将热量传入或传出吸附器 吸附质通过吸附器上端的小管进入或离开吸附器 5 4 1基本设定及假设 2 吸附床外流体传热的一些基本假设 1 忽略流体在环隙宽度 上的温度梯度 2 忽略热损失 3 忽略吸附器壁厚 b上的温度梯度 用集中参数法求取吸附器壁面温度 吸附床内传热传质的一些基本假设 1 吸附床内的吸附质气体处于气滞状态 2 忽略蒸发器 冷凝器和吸附床之间的压力差 3 吸附床内各计算微元内达到吸附平衡 吸附量可利用回归方程计算 4 吸附热利用微分吸附热 随吸附量和吸附温度的改变而改变 比热采用有效比热 亦随温度改变 但在计算微元内 可认为是常数 5 床层活性炭导热系数采用当量导热系数 可由实验测量得到 5 4 2流体传热模型的建立 在轴方向上取一环隙微元 作能量分析如下 1 流体通过流动流入环隙微元的能量为2 流体通过流动流出环隙微元的能量3 流体热传导在x处的热量导入7总能量平衡方程 其中 f 流体的密度uf 环隙的流体速度 Sf 环隙的横截面积 Cpf 流体的比热 4 流体热传导在x x处的热量导入5 微元体传递给吸附床的热量qt6 微元体内的能量变化率为流体的横截面积 5 4 3吸附床内吸附剂传热传质模型的建立 吸附床内发生着热量和质量的传递 但质量的传递是建立在热量传递基础上的 故只要建立热量传递方程 就可以根据平衡吸附量方程求出各处的吸附量 吸附床内的热量传递主要以热传导为主 既有经向的热传导 也有轴向的热传导 为了便于建模分析 选取如图所示的吸附床微元体 进行衡算 1 轴向导入热量 2 轴向导出热量3 径向导入热量4 径向导出热量5 微元体内的能量变化率其中为吸附床层内的有效比热 6 总能量平衡方程 5 4 4吸附器内 外无量纲化方程 吸附器内 外无量纲化方程 无量纲化处理 5 4 4吸附器内 外无量纲化方程 整理可得