【5年高考3年模拟】（新课标版）高考数学真题分类汇编 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 理 (1).doc

10.4 直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为()a. b. c. d.答案d2.(2014辽宁,10,5分)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,过点a的直线与c在第一象限相切于点b,记c的焦点为f,则直线bf的斜率为()a. b. c. d.答案d3.(2014北京,19,14分)已知椭圆c:x2+2y2=4.(1)求椭圆c的离心率;(2)设o为原点.若点a在椭圆c上,点b在直线y=2上,且oaob,试判断直线ab与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆c的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆c的离心率e=.(2)直线ab与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点a,b的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为oaob,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆c的方程,得t=,故直线ab的方程为x=.圆心o到直线ab的距离d=.此时直线ab与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线ab的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心o到直线ab的距离d=.又+2=4,t=-,故d=.此时直线ab与圆x2+y2=2相切.4.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,右顶点为a,上顶点为b.已知|ab|=|f1f2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设p为椭圆上异于其顶点的一点,以线段pb为直径的圆经过点f1,经过原点o的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点f2的坐标为(c,0).由|ab|=|f1f2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设p(x0,y0).由f1(-c,0),b(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点p在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点p不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点p的坐标为.设圆的圆心为t(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.5.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为p(如图),双曲线c1:-=1过点p且离心率为.(1)求c1的方程;(2)椭圆c2过点p且与c1有相同的焦点,直线l过c2的右焦点且与c2交于a,b两点,若以线段ab为直径的圆过点p,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为s=.由+=42x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即s有最小值,因此点p的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故c1的方程为x2-=1.(2)由(1)知c2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设c2的方程为+=1,其中b10.由p(,)在c2上,得+=1,解得=3,因此c2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点a(x1,y1),b(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.将,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.6.(2014陕西,20,13分)如图,曲线c由上半椭圆c1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1与c2的公共点为a,b,其中c1的离心率为.(1)求a,b的值;(2)过点b的直线l与c1,c2分别交于点p,q(均异于点a,b),若apaq,求直线l的方程.解析(1)在c1,c2的方程中,令y=0,可得b=1,且a(-1,0),b(1,0)是上半椭圆c1的左,右顶点.设c1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.(2)解法一:由(1)知,上半椭圆c1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入c1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点p的坐标为(xp,yp),直线l过点b,x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xp=,从而yp=,点p的坐标为.同理,由得点q的坐标为(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).apaq,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m0),比照解法一给分.7.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xoy中,点m到点f(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点p(-2,1).求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点m(x,y),依题意得|mf|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点m的轨迹c的方程为y2=(2)在点m的轨迹c中,记c1:y2=4x,c2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹c的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹c恰好有一个公共点.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.1若由解得k.即当k(-,-1)时,直线l与c1没有公共点,与c2有一个公共点,故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点.2若或则由解得k或-k0.即当k时,直线l与c1只有一个公共点,与c2有一个公共点.当k时,直线l与c1有两个公共点,与c2没有公共点.故当k时,直线l与轨迹c恰好有两个公共点.3若则由解得-1k-或0k0)的焦点为f,a为c上异于原点的任意一点,过点a的直线l交c于另一点b,交x轴的正半轴于点d,且有|fa|=|fd|.当点a的横坐标为3时,adf为正三角形.(1)求c的方程;(2)若直线l1l,且l1和c有且只有一个公共点e,(i)证明直线ae过定点,并求出定点坐标;(ii)abe的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知f.设d(t,0)(t0),则fd的中点为.因为|fa|=|fd|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线c的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知f(1,0),设a(x0,y0)(x0y00),d(xd,0)(xd0),因为|fa|=|fd|,则|xd-1|=x0+1,由xd0得xd=x0+2,故d(x0+2,0).故直线ab的斜率kab=-.因为直线l1和直线ab平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意=+=0,得b=-.设e(xe,ye),则ye=-,xe=,当4时,kae=-=,可得直线ae的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线ae恒过点f(1,0).当=4时,直线ae的方程为x=1,过点f(1,0),所以直线ae过定点f(1,0).(ii)由(i)知直线ae过焦点f(1,0),所以|ae|=|af|+|fe|=(x0+1)+=x0+2.设直线ae的方程为x=my+1,因为点