函数的应用教案.doc

5+教育，关爱每个孩子的成长！第三章 函数的应用函数与方程（1）教学目标：结合二次函数图象的性质，简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。教学重点：一元二次方程实根分布及其简单运用教学难点：一元二次方程实根分布及其简单运用教学过程：一、预习导引1、回顾：二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系2、二次函数，关于直线对称，则 3、二次方程的两根、当系数满足 关系时两根均为正数，满足 关系时两根为一正一负4、已知是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实根之和为（ ）A、4 B、2 C、1 D、0二、知识点点拨设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或函数零点存在性定理：一般地，如果函数在区间上图象是连续不断）的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程=0的根(注意：反之不一定成立)三、例题讲解例、求实数的范围，使关于的方程的两根情况如下：(1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1 ；(4)一个根大于1，一个根小于1(5)两个根都在（0,2）内 (6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内(7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内分析：画出对应函数图象，数形结合分析得出参数满足的充要条件例、方程必有一个根的区间是（ ） 分析：可用零点存在定是验证解：略例、（1）求证：函数在区间上存在零点（2）当 （给出一个实数值即可）时，函数在区间上存在零点分析：因为，由零点存在定理可知存在零点解：略例4、：（1）求函数的零点（2）设函数，求函数的零点分析：的零点就是方程的实根例5. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_。分析: 解：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使四、课堂练习：1.若方程的两个根，都小于-1，求的取值范围。2.已知关于的方程有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数的取值范围。3、 A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个函数与方程（2）教学目标：1、理解二分法求方程近似解的实质2、能够借助计算器用二分法求方程的近似解3、通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学重点： 理解二分法求方程近似解的实质通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学难点：理解二分法求方程近似解的实质教学过程：一、自学导引：1.函数零点存在定理:如果函数在区间上的图象是_的一条曲线,并且有_,那么,函数在区间内有零点,即存在_使得,这个也就是方程的_.2.一般地,我们把_称为区间的中点3.对于在区间上_且_的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间_,使区间的两个端点_零点,进而得到零点_的方法叫做二分法.4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 （ ）oxyoxyxyoyox A B C D 二、知识点点拨1、一般地，我们把称为区间的中点2、对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（1）用二分法的条件表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点，而非不变号零点。（2）二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够小，便可求出满足精度要求的近似根。用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1、确定区间 ，使 ，给定精度；2. 求区间的中点3. 计算： （1）若=0，则就是函数的零点； （2）若 ，则令，此时零点；（3）若 ，则令，此时零点.4. 判断是否达到精确度：若 ，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤 24三、例题分析：例1、已知二次函数的部分对应值如下表x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6不求的值，则方程的两个根所存在的区间是（ ）A、和 B、和 C、和 D、和例2、：利用计算器，用二分法求方程23x7的近似解（精确度0.1）分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?解:原方程即23x7 ,令f（x）23x 7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如下):x01234567f（x）23x 7-6-2310214075142观察上图和表格,可知f(1)f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)-0.87,因此f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5),同理可得x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.06250.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.四、课堂练习1、函数在的零点的大致区间是 （ ）A、 B、(2,3) C、 D、2、方程的解所在区间是 （ ）A、（0，2） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）3、下列方程在区间内一定没有实根的是 （ ）A、 B、 C、 D、4、用计算器求方程 的近似解（精确到0.1）；五、课堂小结：1、二分法原理 2、二分法求函数零点近似值的基本步骤六、布置作业1、求下列函数的零点（1） ； （2）2、若函数只有一个零点2，那么函数的零点是（ ）、 、 、 、 3、对于函数，若(mn)，则函数在区间内 （ ）A、一定没有零点 B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一个或两个零点4、已知二次函数有两个相异零点，且函数满足，则5、二次函数若则（ ），A、 B、 C、D、6、求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）7、若方程在（0，1）内恰有一解，求的取值范围 预习作业：预习二次函数的零点及根的分布8、求实数的范围，使关于的方程(1)有两个正实根；(2)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(3)有两个实根，且都比1大；预习作业：预习用二分法求方程的近似解9、与交点的个数为 （）：0个 ：1个 ：2个 :3个10、方程的实根的个数 （ ）A、当时，方程没有实数解。 B、当时，方程有两个实数解 C、当，方程只有一个实数解。 D、当时，方程有两个实数解。 11、方程的根的范围为 （ ） 12、已知函数(1)当时，恒成立，求的取值范围(2)当时，恒成立，求的取值范围13、函数在区间-2,4上的零点必定在( )内 ，其中f(1.75)0 A、 -2,1 B、 2.5,4 C、 1,1.75 D、 1.75,2.5 14、用二分法求方程在（-1，0）上的近似值（精确到0.1）15、利用计算器求方程的近似解（精确到0.1）预习作业：预习练习册P70例4函数模型及其应用（1）教学目标：1、能利用函数图象及数据表格比较指数函数、对数函数，以及幂函数的增长差异。2、能从具体函数的增长的差异性，推广到了一般指数函数、对数函数，以及幂函数的增长的差异性。教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性。教学难点：指数函数、对数函数、幂函数的增长的差异性的比较。教学过程：一、自学导引：自学教材内容，你认为对数函数指数函数与幂函数在区间上都为增函数吗？这三类函数的增长有差异吗？若有，这种差异的具体情况到底是怎样呢？二、知识点拨：我们知道，指数函数y=ax（a1），对数函数y=logax（a1），幂函数y=xn（n0）在区间（0，+）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数y=2x，y=x2，y=log2x为例进行研究。三、例题分析：例1、 1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿。分析：仔细阅读题目，认真审题，题目中问的是哪一年我国人口总数超过14亿，根据题意，找出人口总数y与年数x的函数关系，列出相应的函数模型。解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12（1+0.0125）x，依题意，得y14，即12（1+0.0125）x14，即（1+0.0125）x两边取对数，得xlg1.0125lg14lg12.所以x12.4答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿。注意：也可利用y=14，即12（1+0.0125）x=14来解题，但需注意的是根据实际情况如何来取近似值.课堂小结本节课我们主要利用“从具体到一般、数形结合的数学思想方法”，通过对几个特殊函数（y=2x，y=x2，y=log2x）的增长性的差异性的比较，得出指数函数y=ax（a1）、对数函数y=logax（a1）、幂函数y=xn（n0）在区间（0，+）上的增长的差异性.函数模型及其应用（2）教学目标：1 知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2 过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.教学难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.教学过程：一、知识点拨：1、利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2、函数解决实际问题的一般方法，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：用函数模型解决实际问题在于求函数模型选择函数模型画散点图检验收集数据 符合 实际 不符合实际3、应用题的求解方法步骤：（1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：（2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；（4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.三、例题分析：例1. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是19501959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？解：略注意：1、本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.2、完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.3、在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.4、引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60708090100110体重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120130140150160170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051） 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？探索以下问题：1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？解：略注意：1、本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.2、根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法. 课堂小结1、利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；2、函数思想解决实际问题的基本过程；3、应用题的求解方法步骤。课后习题：yoyxoy1、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原有的绿化面积之比为y，则函数y=f（x）的图象大致形状为 ( )yxo11xox2、某人2004年7月1日到银行存入一年期款a元。若年利率为x,按复利计算,到2007年7月1日取回的款为 ( )A、元 B、元 C、元 D、元3、某工厂产品前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备并实施科学管理