高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二)课件 新人教版必修4.ppt

1 2 1任意角的三角函数 二 自主预习 主题 三角函数线1 如图 设角 为第一象限角 其终边与单位圆的交点为p x y 则sin y cos x都是正数 你能分别用一条线段表示角 的正弦值和余弦值吗 提示 过角 的终边与单位圆的交点p 向x轴作垂线 垂足为m 则 mp y sin om x cos 2 若角 为第三象限角 其终边与单位圆的交点为p x y 则sin y cos x都是负数 此时角 的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示 提示 过角 的终边与单位圆的交点p 向x轴作垂线 垂足为m 则 mp y sin om x cos 3 由上面1 2知 mp y sin om x cos 问怎样规定一个适当的方向使线段om mp的取值与点p的坐标一致 提示 因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 所以可以以坐标轴的方向来规定线段om mp的方向 当om mp的方向与坐标轴的方向相同时 规定为正值 当om mp的方向与坐标轴的方向相反时 规定为负值 这样不论p m的位置在何处 都有其值与点p的坐标一致 4 如何在单位圆中找像om mp这样的线段来表示角 的正切 提示 如图 过点a 1 0 作单位圆的切线 与角 的终边或反向延长线交于点t 根据相似三角形的知识知 tan at 通过以上探究总结三角函数线的意义 1 有向线段 2 三角函数线 如图 带有方向的线段 则 sin cos tan 有向线段 分别叫做角 的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线 mp om at mp om at 深度思考 结合教材p17三角函数线的定义 你认为如何作任意角 终边不在坐标轴上 的三角函数线 第一步 第二步 作出任意角的终边 作单位圆 圆与角的终边交点为p 与x轴正半 轴交点为a 第三步 第四步 过p作pm x轴 过a作x轴垂线与角的终边或其 反向延长线交于点t 有向线段mp om at即分别为该角的正弦线 余弦线 正切线 预习小测 1 有三个说法 的正弦线相等 的正切线相等 的余弦线相等 其中正确的有 a 1个b 2个c 3个d 0个 解析 选b 的正弦线关于y轴对称 大小相等 方向相同 因而相等 的终边在同一条直线上 因而正切线相等 的余弦线方向不同 因而不相等 故选b 2 若a sin2 b cos2 则a b的大小关系为 a a bb b ac a bd 不能确定 解析 选b 因为cos2 3 下列角的正切线不存在的是 解析 选b 因为的终边落在y轴的非负半轴上 故正切线不存在 4 若角 的余弦线长度为 且方向与x轴负方向相同 则cos 解析 因为 的余弦线方向与x轴负方向相同 所以cos 0 所以cos 答案 5 比较sin1 cos1 tan1的大小关系是 解析 作出sin1 cos1 tan1的三角函数线 如图 显然cos1 sin1 tan1 答案 cos1 sin1 tan1 备选训练 已知sin 求角 的集合 解析 作直线y 交单位圆于a b两点 连接oa ob 则oa与ob围成的区域 图中阴影部分 即角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 互动探究 1 若 是任意角 根据正弦线 余弦线 则sin cos 的取值范围是什么 提示 由单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 1 sin 1 1 cos 1 2 设 为锐角 你能根据正弦线和余弦线说明sin cos 1吗 提示 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 则sin mp cos om op 1 在rt omp中 由两边之和大于第三边得 mp om op 即sin cos 1 探究总结 知识归纳 注意事项 1 当角的终边在x轴上时 点p与点m重合 点t与点a重合 这时正弦线与正切线都变成了一点 值为零 而余弦线om 1或 1 2 当角的终边在y轴上时 正弦线mp 1或 1 余弦线变成了一点 值为零 正切线不存在 题型探究 类型一 任意角的三角函数线 典例1 在单位圆中作出满足cos 的角 的终边 并作出其正弦线 余弦线和正切线 解题指南 由cos 可作直线x 与单位圆的交点即为角 的终边与单位圆的交点 然后根据三角函数线的定义得出正弦线 余弦线和正切线 解析 如图 作直线x 交单位圆于点p q 则op oq为角 的终边 如图 所示 当 的终边是op时 角 的正弦线为mp 余弦线为om 正切线为at 当 的终边为oq时 角 的正弦线为mq 余弦线为om 正切线为at 延伸探究 1 将本题中条件 cos 改为 sin 其他条件不变 结论如何 解析 如图 作直线y 交单位圆于p q 则op oq为角 的终边 如图 所示 当 的终边是op时 角 的正弦线为mp 余弦线为om 正切线为at 当 的终边为oq时 角 的正弦线为nq 余弦线为on 正切线为at 2 将本题中条件 cos 改为 cos 其他条件不变 则角 的终边落在什么范围 解析 结合典例1的解析可知 当cos 时 角的终边与相交 角 的终边落在 k z 内 规律总结 单位圆中求作角的终边的方法 1 若sin m 作出直线y m与单位圆相交 得交点 若cos m 作出直线x m与单位圆相交 得交点 2 将原点与交点连线所得射线即为所求角的终边 补偿训练 若角 的余弦线是单位长度的有向线段 那么角 的终边在 a y轴上b x轴上c 直线y x上d 直线y x上 解析 选b 由题意得 cos 1 即cos 1 则角 的终边在x轴上 故选b 类型二 利用三角函数线比较三角函数值的大小 典例2 1 2016 广州高一检测 的大小关系是 2 若 则sin cos tan 的大小关系是 a sin tan cos b tan sin cos c cos sin tan d sin cos tan 解题指南 1 通过的范围 利用三角函数线比较正弦 余弦线的大小 以及与1的大小 即可得到结论 2 作出终边落在范围内任一角的三角函数线 观察图象 即可判断大小 解析 1 选d 因为对应的三角函数线如图所示 所以又因为所以 2 选d 在直角坐标系中作单位圆如图所示 在范围内作任意角 与单位圆交于p 作pm x轴于m 由单位圆与x轴正方向的交点a作ox的垂线与op的反向延长线交于t点 则sin mp cos om tan at 由图知 at mp om 而cos sin 均为负值 tan 为正值 所以tan cos sin 规律总结 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 1 关键 在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线 2 注意点 比较大小 既要注意三角函数线的长短 又要注意方向 巩固训练 1 2016 重庆高一检测 设a tan35 b cos55 c sin23 则 a a b cb b c ac c b ad c a b 解析 选a 由题可知 b cos55 sin35 sin35 sin23 有b c 利用三角函数线比较tan35 sin35 如图 通过比较三角函数线可知 tan35 sin35 则有a b 综上 a b c 2 下列关系正确的是 a sin10 cos10 sin20 b sin20 sin10 cos10 c sin10 sin20 cos10 d sin20 cos10 sin10 解析 选c 在单位圆中 作出10 20 的正弦 余弦线 通过观察可知cos10 sin20 sin10 类型三 利用三角函数线解简单三角不等式 典例3 2016 济宁高一检测 求函数y lg 3 4sin2x 的定义域 解题指南 先由3 4sin2x 0 解出sinx的范围 再借助三角函数线求解 解析 因为3 4sin2x 0 所以sin2x 所以 sinx 如图作直线y y 分别与单位圆交于p q m n 则满足 sinx 的角x的终边落在图中的阴影区域内 所以 k z 即定义域为 k z 规律总结 利用三角函数线解三角不等式的关键及类型 1 关键 利用三角函数线求解不等式 通常采用数形结合的方法 求解关键是恰当地寻求点 2 类型 对于sinx b cosx a 或sinx b cosx a 只需作直线y b x a与单位圆相交 连接原点和交点即得角的终边所在的位置 此时再根据方向即可确定相应的x的范围 对于tanx c 或tanx c 则取点 1 c 连接该点和原点即得角的终边所在的位置 并反向延长 结合图象可得 巩固训练 1 已知求其定义域 解析 由题意得 即利用单位圆中的三角函数线得 解得 2 利用单位圆写出满足sin 且 0 的角 的集合 解析 作正弦线如图 mp nq 当sin 时 角 对应的正弦线变短 所以0 或 即 拓展类型 利用三角函数线证明不等式 典例 利用三角函数线求证 若 则sin tan 解题指南 利用单位圆中角 的正弦线