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“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。例1、如图，已知ACBD、EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法” 证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF在ACE和AFE中 ACEAFE（SAS）,又,6=D在EFB和BDE中 EFBEDB（AAS） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F ,又 F=3 在AEF和AEB中 AEFAEB（AAS）, AB=AF，BE=FE 在BED和FEC中 BEDFEC（ASA） BD=FC, AB=AF=AC+CF=AC+BDABCD例2、如图，在ABC中，B=2C，BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC分析1： 因为B=2C，所以ACAB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造ABDAED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE在ABD和AED中，ABCDEABDAED（SAS） BD=DE，B=AED又AED=EDC+C=B=2C， EDC=C ED=EC AB+BD=ACABCDE分析2： 因为B=2C，所以ABAC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造AEDACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AB+BD=AB+BE， 即证明BD=BE证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE在AED和ACD中， AEDACD（SAS）C=E 又ABC=E+BDE=2C=2BDE， E=BDE BE=BDABCDE AB+BD=AEAC分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可证明：延长DB到点E，使AB=BE，连结AE，则有EAB=E，ABC=E+EAB=2E又ABC=2C， EC AE=AC又EAD=EAB+BAD=E+DAC=C+ DAC=ADE， AE=DE AB+BD=EB+BD=
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