高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教版必修4.ppt

3 1 3二倍角的正弦 余弦 正切公式 知识提炼 二倍角的正弦 余弦 正切公式 2sin cos 2cos2 1 1 2sin2 即时小测 1 思考下列问题 1 对任意角 总有sin2 sin 对吗 提示 不对 对任意角 总有sin2 2sin cos 2 对任意角 总有对吗 提示 不对 当时 有 2 已知则sin2 等于 解析 选d 3 计算1 2sin222 5 的结果等于 解析 选b 4 已知 为第三象限角 解析 因为 为第三象限角 所以答案 知识探究 知识点二倍角的正弦 余弦 正切公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 二倍角公式应用的过程中 角 与三角函数式的 次数 是如何变化的 问题2 联系所学公式 分析cos2 sin2 有哪几种变形方法 总结提升 1 公式的应用条件 1 公式s2 c2 中的 r 2 公式t2 中的2 二倍 的含义倍角公式中的 倍角 是相对的 对于两个角的比值等于2的情况都成立 如6 是3 的2倍 3 是的2倍 这就是说 倍 是相对而言的 是描述两个数量之间的关系的 3 倍角公式的常见变形1 sin2 sin cos 2 1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 题型探究 类型一化简求值 典例 1 计算 1 2 1 2sin2750 3 4 2 已知求sin2 cos2 tan2 的值 解题探究 1 典例1中如何正用倍角公式求解 提示 从题设出发 顺着问题的线索 符合公式的特点 直接应用倍角公式 2 典例2中 已知sin 如何求sin2 cos2 tan2 提示 已知sin 则cos2 1 2sin2 可直接求得 欲求sin2 须先求cos 从而可知tan 进而求出tan2 因此关键是求cos 应注意开方时符号的选取 解析 1 1 原式 2 原式 cos 2 750 cos1500 cos 4 360 60 cos60 3 原式 tan 2 150 tan300 tan 360 60 tan60 4 原式 答案 2 因为所以 为第一或第二象限角 1 当 为第一象限角时 或 2 当 为第二象限角时 方法技巧 二倍角公式的关注点 1 对 二倍角 应该有广义的理解 如 4 是2 的二倍角 是的二倍角 3 是的二倍角等 2 公式逆用 主要形式有2sin cos sin2 3 化简求值关注四个方向 分别从 角 函数名 幂 形 着手分析 消除差异 变式训练 求下列各式的值 1 sin10 sin30 sin50 sin70 解题探究 由题目可获取以下主要信息 1 中的角有二倍关系 2 3 中只含有一个角 解答本题可逆用二倍角公式化简求值 解析 1 方法一 利用二倍角公式的变形公式因为sin2 2sin cos 所以所以原式 方法二 先将正弦变成余弦 再逆用二倍角公式原式 2 原式 3 原式 补偿训练 1 化简 解析 原式 2 cos4 2 sin4 cos4 所以cos4 0 sin4 cos4 0 所以原式 2cos4 2 sin4 cos4 2sin4 答案 2sin4 2 求值 sin50 1 tan10 解析 原式 类型二条件求值 典例 1 已知sin 2cos 则tan2 的值为 2 2015 荆州高一检测 已知则的值为 3 已知求的值 解题探究 1 典例1中 如何计算tan 进一步如何计算tan2 提示 由同角三角函数的商关系计算tan 进一步用二倍角的正切公式计算tan2 2 典例2中要求还需要知道哪些值 提示 还需要知道sin2 及cos2 的值 3 典例3中的cos2x与如何取得联系 有怎样的关系 提示 解析 1 选d 因为sin 2cos 所以tan 2 所以 2 因为所以因为所以 所以所以答案 3 因为所以又因为又所以原式 延伸探究 1 改变问法 若本例3的条件不变 则的值如何 解析 因为因为又因为所以所以原式 2 变换条件 若本例3条件变为其他条件不变结果如何 解析 因为由得故 方法技巧 解决条件求值问题的方法 1 有方向地将已知式或未知式化简 使关系明朗化 寻找角之间的关系 看是否适合相关公式的使用 注意常见角的变换和角之间的二倍关系 2 当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式 将条件与结论沟通 类似这样的变换还有 补偿训练 1 2015 杭州高一检测 已知且则 解析 因为所以原方程可化为解得 因为故即答案 2 已知sin22 sin2 cos cos2 1 求锐角 解析 由原式 得sin22 sin2 cos 2cos2 0 所以 2sin cos 2 2sin cos2 2cos2 0 所以2cos2 2sin2 sin 1 0 所以2cos2 2sin 1 sin 1 0 因为 为锐角 所以cos2 0 sin 1 0 所以2sin 1 0 所以sin 所以 类型三利用倍角公式解化简证明问题 典例 1 化简 2 求证 解题探究 1 典例1中 遇到含有正切形式的三角函数式的问题时如何处理 提示 含有正切形式的三角函数式时 采用 切 化 弦 的方法 本题将tan tan2 转化为求解 2 典例2中等式哪一边较为复杂 证明等式成立通常由哪一边向哪一边变形 提示 左边复杂 由复杂一边向简单一边变形 解析 1 答案 12 左边 所以原式成立 延伸探究 本例2中左边式子变为 结果如何 证明 原式 方法技巧 证明三角恒等式的原则与步骤 1 观察恒等式的两端的结构形式 处理原则是从复杂到简单 高次降低 复角化单角 如果两端都比较复杂 就将两端都化简 即采用 两头凑 的思想 2 证明恒等式的一般步骤 先观察 找出角 函数名称 式子结构等方面的差异 本着 复角化单角 异名化同名 变换式子结构 变量集中 等原则 设法消除差异 达到证明的目的 变式训练 2015 泰安高一检测 已知a b c是 abc的三个内角 1 已知m tana tanb n 1 1 tanatanb 且m n 求 c的大小 2 若向量a 且 a 求证 tanatanb为定值 并求这个定值 解析 1 因为m n 所以m n 所以所以又a b 0 所以所以 2 因为所以而 a 2 由题意 即所以cosacosb 3sinasinb 若cosacosb 0 则sinasinb 0 而a b是 abc的内角 sina 0 sinb 0 所以sinasinb 0 所以cosacosb 0是不可能的 所以cosacosb 0 式两边同除以cosacosb 则有为定值 补偿训练 求证 证明 所以原等式成立 规范解答函数奇偶性与单调性的综合应用 典例 12分 2015 宜昌高一检测 在直角坐标系xoy中 若角 的始边为x轴的非负半轴 终边为射线l y 2x x 0 1 求tan2 的值 2 求的值 审题指导 1 要求tan2 只需在y 2x x 0 上取一点 由任意角的正切函数的定义求出tan 的值 然后根据二倍角的正切求解 2 要求的值 需利用诱导公式及倍角公式将其化简进行求值 规范解答 1 因为角 的始边为x轴的非负半轴 终边为射线l y 2x x 0 所以可在 的终边l上取一点p 1 2 由任意角的正切函数的定义知 3分所以 5分 6分 2 8分 9分 11分 12分 题后悟道 1 关注二倍角公式在变角 升降幂中的作用解题时注意