【导与练】高考数学二轮复习 高校信息化课堂 专题五 数列 第2讲 数列求和及综合应用 文.doc

第2讲数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号利用公式法或分组转化法求和3、6、14、15、17求通项公式1、4、9利用裂项相消法或错位相减法求和2、8、12、16数列的综合问题5、7、10、11、13基础把关1.已知数列an的前n项和sn=3n-1,则其通项公式an等于(b)(a)32n-1(b)23n-1(c)2n(d)3n解析:an=sn-sn-1=3n-3n-1=23n-1(n2),又n=1时,s1=a1=2适合,an=23n-1,故选b.2.已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列1f(n)的前n项和为sn,则s2014的值为(a)(a)20142015(b)20152014(c)20132014(d)20142013解析:由题意得2=12+2b1,b=12,f(x)=x2+x,1f(n)=1n2+n=1n-1n+1,s2014=1-12+12-13+12014-12015=1-12015=20142015,故选a.3.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(n2),则a6等于(d)(a)16(b)8(c)22(d)4解析:由2an2=an+12+an-12(n2)可知数列an2是等差数列,且以a12=1为首项,公差d=a22-a12=4-1=3,所以数列an2的通项公式为an2=1+3(n-1)=3n-2,所以a62=36-2=16,又an0,所以a6=4,故选d.4.已知数列an的前n项和为sn,a1=1,sn=2an+1,则sn=(b)(a)2n-1(b)(32)n-1(c)(23)n-1(d)12n-1解析:因为an+1=sn+1-sn,所以由sn=2an+1得,sn=2(sn+1-sn),整理得3sn=2sn+1,所以sn+1sn=32,所以数列sn是以s1=a1=1为首项,q=32为公比的等比数列,所以sn=(32)n-1,故选b.5.在等差数列an中,an0,且a1+a2+a10=30,则a5a6的最大值是(c)(a)3(b)6(c)9(d)36解析:在等差数列中,a1+a2+a10=30,得5(a1+a10)=30,即a1+a10=a5+a6=6,由a5+a62a5a6,所以62a5a6,即a5a69,当且仅当a5=a6=3时取等号,所以a5a6的最大值为9,故选c.6.已知函数f(n)=n2(当n为奇数时),-n2(当n为偶数时),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于(b)(a)0(b)100(c)-100(d)10200解析:由题意,a1+a2+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(99+100)+(101+100)=100.故选b.7.(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nn*)等于.解析:本题是等比数列前n项和的实际应用题,设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得2(1-2n)1-2100,即2n51,而25=32,26=64,nn*,所以n6.答案:68.若an是数列nn+1的前n项积,设bn=anan+1,则数列bn的前n项和sn=.解析:an=1223nn+1=1n+1,bn=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,sn=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).答案:n2(n+2)9.(2013高考新课标全国卷)若数列an的前n项和sn=23an+13,则an的通项公式是an=.解析:当n=1时,由已知sn=23an+13,得a1=23a1+13,即a1=1;当n2时,sn-1=23an-1+13,所以an=sn-sn-1=(23an+13)-(23an-1+13)=23an-23an-1,所以an=-2an-1,所以数列an是等比数列,其中首项a1=1,公比q=-2,所以an=(-2)n-1.答案:(-2)n-110.已知an=n2+n,数列1an的前n项和为sn,数列bn的通项公式为bn=n-8,则bnsn的最小值为.解析:由an=n2+n得1an=1n(n+1)=1n-1n+1,sn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+1.则bnsn=n2-8nn+1=(n2+n)-(9n+9)+9n+1=n-9+9n+1=n+1+9n+1-10-4,当且仅当n=2时取等号.答案:-411.(2013高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则s6=.解析:由题a1+a3=5,a1a3=4,a1=1,a3=4,公比q=2.s6=a1(1-q6)1-q=1-261-2=26-1=63.答案:6312.等差数列an中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为sn.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=1sn+1-1,其前n项和为tn,求证:tn0,tn2014时,n的最小值是(c)(a)7(b)9(c)10(d)11解析:由题意得,an=2n-1,bn=2n-1,cn=abn=2n-1,tn=c1+c2+cn=(21+22+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由tn2014得2n+1-n2016,当n=9时,210-92016.nmin=10.故选c.14.已知在正项等比数列an中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=(b)(a)224(b)225(c)226(d)256解析:a2a4=a32=16,an0,a3=4,即a1q2=4,又a1=1,q=2,an=2n-1,当n4时,|an-12|=12-an,当n5时|an-12|=an-12.|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=124-(a1+a2+a3+a4)+a5+a6+a7+a8-124=124-1-241-2+24(1-24)1-2-124=225,故选b.15.数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.解析:an+1+(-1)nan=2n-1,当n=2k(kn*)时,a2k+1+a2k=4k-1, 当n=2k+1(kn)时,a2k+2-a2k+1=4k+1, 由+得a2k+a2k+2=8k.令k=1,3,5,29可得:a2+a4=81,a6+a8=83,a10+a12=85,a58+a60=829,把以上15个等式相加得a2+a4+a6+a60=815(1+29)2=1800.又由知a2k+1=a2k+2-(4k+1),令k=0,1,2,3,29可得:a1=a2-(40+1),a3=a4-(41+1),a5=a6-(42+1),a59=a60-(429+1)把以上30个等式相加得a1+a3+a5+a59=(a2+a4+a6+a60)-4(0+1+2+29)+30=1800-430(0+29)2+30=30.a1+a2+a3+a60=1800+30=1830.答案:183016.已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn,首项为a1,且12,an,sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若an2=(12)bn,设cn=bnan,求数列cn的前n项和tn.解:(1)由题意知2an=sn+12,an0,当n=1时,2a1=a1+12,a1=12.当n2时,sn=2an-12,sn-1=2an-1-12,两式相减得an=2an-2an-1,整理得anan-1=2,数列an是以12为首项,2为公比的等比数列.an=a12n-1=122n-1=2n-2.(2)an2=2-bn=22n-4,bn=4-2n,cn=bnan=4-2n2n-2,即cn=2-n2n-3.则tn=c1+c2+c3+cn,即tn=12-2+02-1+-120+2-n2n-3.12tn=12-1+020+-12+2-n2n-2,则12tn=4+-12-1+-120+-12n-3-2-n2n-2.tn=8-(12-2+12-1+12n-4)+n-22n-3=8-41-(12)n-11-12+n-22n-3=8-8(1-12n-1)+n-22n-3=82n-1+n-22n-3=22n-3+n-22n-3=n2n-3.即tn=n2n-3.17.(2014宁波二模)设等差数列an的前n项和为sn,且a2=8,s4=40.数列bn的前n项和为tn,且tn-2bn+3=0,nn*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,求数列cn的前n项和pn.解:(1)由题意,a1+d=8,4a1+6d=40,得a1=4,d=4,an=4n.tn-2bn+3=0, 当n=1时,b1=3,当n2时,tn-1-2bn-1+3=0, -,得bn=2bn-1,(n2),数列bn为等比数列,bn=32n-1.(2)cn=4n,n为奇数,32n-1,n为偶数.当n为偶数时,pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn