高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等式的性质及一元二次不等式课件 理.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式 知识梳理 1 不等式的基本性质 1 对称性 a b 2 传递性 a b b c 3 可加性 a b a c b c 4 可乘性 a b c 0 a b c 0 b a a c ac bc ac bc 5 加法法则 a b c d 6 乘法法则 a b 0 c d 0 7 乘方法则 a b 0 n n n 1 8 开方法则 a b 0 n n n 2 a c b d ac bd an bn n n 2 不等式的倒数性质 1 a b ab 0 2 ab 0 0 c d 3 两个实数比较大小的依据 1 a b 0 a b 2 a b 0 a b 3 a b 0 a b 4 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 x x x1 或x x2 x x x1 x x1 x x2 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 5 一元二次不等式恒成立的条件 1 不等式ax2 bx c 0对任意实数x恒成立 2 不等式ax2 bx c 0对任意实数x恒成立 特别提醒 1 不等式两边同乘数c时 要特别注意乘数c的符号 2 当不等式中含x2项的系数含有参数时 不要忘记讨论其等于0的情况 小题快练 链接教材练一练1 必修5p74练习t3改编 下列四个结论 正确的是 a b cb d a b 0 cbd a b 0 a b 0 a b c d 解析 选d 利用不等式的同向可加性可知 正确 对 根据不等式的性质可知acb 0可知a2 b2 0 所以所以 不正确 2 必修5p81习题3 2b组t2改编 若函数y 的定义域为r 则m的取值范围是 解析 要使y 有意义 即mx2 1 m x m 0对 x r恒成立 则解得m 答案 m 感悟考题试一试3 2016 广州模拟 已知 b ab3 其中不正确的不等式的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 由b 不正确 a b0 则a bb3 正确 故不正确的不等式的个数为2 4 2016 漳州模拟 当x 0时 若不等式x2 ax 1 0恒成立 则a的最小值为 a 2b 3c 1d 解析 选a 当 a2 4 0 即 2 a 2时 不等式x2 ax 1 0对任意x 0恒成立 当 a2 4 0 则需解得a 2 所以使不等式x2 ax 1 0对任意x 0恒成立的实数a的最小值是 2 5 2015 广东高考 不等式 x2 3x 4 0的解集为 用区间表示 解析 由 x2 3x 4 0得x2 3x 40的解集为 4 1 答案 4 1 考向一比较大小及不等式性质的应用 典例1 1 2016 黄冈模拟 已知x y z x y z 0 则下列不等式中成立的是 a xy yzb xz yzc xy xzd x y z y 2 2016 合肥模拟 设a 1 且m loga a2 1 n loga a 1 p loga 2a 则m n p的大小关系为 a n m pb m p nc m n pd p m n 解题导引 1 根据已知条件可判断出x和z的符号 然后由不等式的性质便可求解 2 根据不等式性质和函数单调性求解 规范解答 1 选c 因为x y z x y z 0 所以x 0 zxz 2 选b 因为a 1 所以a2 1 2a a 1 2 0 即a2 1 2a 又2a a 1 所以由对数函数的单调性可知loga a2 1 loga 2a loga a 1 即m p n 规律方法 比较大小的策略 1 简单的代数式之间比较大小 往往利用不等式的性质求解 2 指数型及对数型的代数式之间比较大小 一般采取构造函数 利用函数的单调性求解 3 其他复杂的多项式之间比较大小 可以采取作差或作商来解决 易错提醒 1 利用不等式性质比较大小 一定要弄清参数的符号 明确什么情况下不等号方向改变 2 构造函数 用函数单调性比较大小 要注意函数是递增还是递减 变式训练 若a 0 b 0 则不等式 b a等价于 解析 选d 由题意知a 0 b 0 x 0 1 当x 0时 b a 解得x 2 当x 0时 b a 解得x 综上所述 不等式 b a等价于x 或x 加固训练 1 已知下列四个条件 b 0 a 0 a b a 0 b a b 0 能推出成立的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 运用倒数性质 由a b ab 0可得 正确 又正数大于负数 正确 错误 2 如果a b c满足cacb c b a 0c cb20 则a一定正确 b一定正确 d一定正确 当b 0时c不正确 考向二一元二次不等式的解法 典例2 1 2015 山东高考 已知集合a x x2 4x 3 0 b x 2 x 4 则a b a 1 3 b 1 4 c 2 3 d 2 4 2 2015 江苏高考 不等式 4的解集为 解题导引 1 根据一元二次不等式的解法先求出集合a 再求解 2 利用指数函数的性质 将原不等式化为关于x的一元二次不等式求解即可 规范解答 1 选c a x 1 x 3 b x 2 x 4 故a b x 2 x 3 2 因为4 22且y 2x在r上单调递增 所以 4可化为x2 x 2 解得 1 x 2 所以 4的解集是 x 1 x 2 答案 x 1 x 2 母题变式 1 若本例题 1 条件a x x2 4x 30 则a b 解析 解不等式x2 4x 3 0得x3 所以a b 3 4 答案 3 4 2 若本例题 1 条件a x x2 4x 3 0 改为a x x2 4x 3 0 则a b 解析 解不等式x2 4x 3 0得x 1或x 3 则a b 1 2 答案 1 2 易错警示 解答本例题 2 时 在利用指数函数的性质把原不等式转化为一元二次不等式时容易把大于号和小于号弄反 导致解集出错 规律方法 1 解一元二次不等式的方法和步骤 1 化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 2 判 计算对应方程的判别式 3 求 求出对应的一元二次方程的根 或根据判别式说明方程有没有实根 4 写 利用 大于取两边 小于取中间 写出不等式的解集 2 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1 二次项中若含有参数应讨论是等于0 小于0 还是大于0 然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式 2 当不等式对应方程的根的个数不确定时 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 变式训练 已知不等式x2 2x 3 0的解集为a 不等式x2 x 6 0的解集为b 不等式x2 ax b 0的解集为a b 则a b等于 a 3b 1c 1d 3 解析 选a 由题意得 a x 1 x 3 b x 3 x 2 所以a b x 1 x 2 由根与系数的关系可知 a 1 b 2 则a b 3 加固训练 解下列不等式 1 3x2 2x 8 0 2 00 解析 1 原不等式可化为3x2 2x 8 0 即 3x 4 x 2 0 解得 2 x 所以原不等式的解集为 借助于数轴 如图所示 原不等式的解集为 x 2 x 1或2 x 3 3 原不等式变为 ax 1 x 1 0 所以 x 1 1时 解为 x 1 当a 1时 解集为 当0 a 1时 解为1 x 综上 当01时 不等式的解集为 考向三一元二次不等式恒成立问题 考情快递 考题例析 命题方向1 形如f x 0 f x 0 x r 的不等式确定参数的范围 典例3 2016 郑州模拟 不等式a2 8b2 b a b 对于任意的a b r恒成立 则实数 的取值范围为 解题导引 可以把a看成未知数 把b看成常数 把 看成参数 把原不等式化为关于a的一元二次不等式 规范解答 因为a2 8b2 b a b 对于任意的a b r恒成立 所以a2 8b2 b a b 0对于任意的a b r恒成立 即a2 ba 8 b2 0恒成立 由二次不等式的性质可得 2b2 4 8 b2 b2 2 4 32 0 所以 8 4 0 解得 8 4 答案 8 4 命题方向2 形如f x 0 x a b 的不等式确定参数范围 典例4 2016 南昌模拟 已知函数f x x2 ax b2 b 1 a r b r 对任意实数x都有f 1 x f 1 x 成立 若当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是 a 1 0 b 2 c 1 2 d 不能确定 解题导引 先求出f x 的最值 再列一元二次不等式求解 规范解答 选c 由f 1 x f 1 x 知f x 的图象关于直线x 1对称 即 1 解得a 2 又因为f x 开口向下 所以当x 1 1 时 f x 为增函数 所以f x min f 1 1 2 b2 b 1 b2 b 2 f x 0恒成立 即b2 b 2 0恒成立 解得b2 命题方向3 形如f x 0 参数m a b 的不等式确定x的范围 典例5 2016 惠州模拟 已知a 1 1 时不等式x2 a 4 x 4 2a 0恒成立 则x的取值范围为 a 2 3 b 1 2 c 1 3 d 1 3 解题导引 构造关于a的参数列不等式组求解 规范解答 选c 把不等式的左端看成关于a的一次函数 记f a x 2 a x2 4x 4 则由f a 0对于任意的a 1 1 恒成立 所以f 1 x2 5x 6 0 且f 1 x2 3x 2 0即可 解不等式组得x3 技法感悟 恒成立问题求解思路 1 形如f x 0 f x 0 x r 的不等式确定参数的范围时 结合一元二次方程 利用判别式来求解 2 形如f x 0 x a b 的不等式确定参数范围时 要根据函数的单调性 求其最小值 让最小值大于等于0 从而求参数的范围 3 形如f x 0 参数m a b 的不等式确定x的范围 要注意变换主元 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 题组通关 1 2016 宿州模拟 若关于x的不等式4x 2x 1 a 0在 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围为 解析 因为不等式4x 2x 1 a 0在 1 2 上恒成立 所以4x 2x 1 a在 1 2 上恒成立 令y 4x 2x 1 2x 2 2 2x 1 1 2x 1 2 1 因为1 x 2 所以2 2x 4 由二次函数的性质可知 当2x 2 即x 1时 y取得最小值0 所以实数a的取值范围为 0 答案 0 2 2016 唐山模拟 设函数f x mx2 mx 1 m 0 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 则m的取值范围是 解题提示 可通过构造函数 利用函数单调性求解 也可通过配方求最值来解决 解析 要使f x m 5在 1 3 上恒成立 则mx2 mx m 6 0 即 0在x 1 3 上恒成立 有以下两种方法 方法一 令g x x 1 3 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 所以g x max g 3 7m 6 0 所以m 则0 m 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 综上