高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件 理.ppt

第九节函数模型及其应用 知识梳理 1 几类常见的函数模型 2 三种函数模型的性质 递增 递增 快 慢 y轴 x轴 3 解函数应用问题的步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 特别提醒 f x x a 0 型函数模型形如f x x a 0 的函数模型称为 对勾 函数模型 1 该函数在 和 上单调递增 在 0 和 0 上单调递减 2 当x 0时 x 时取最小值2 当x 0时 x 时取最大值 2 小题快练 链接教材练一练1 必修1p107习题3 2a组t1改编 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 a y 2xb y log2xc y x2 1 d y 2 61cosx 解析 选b 由表格知当x 3时 y 1 59 而a中y 23 8 不合要求 b中y log23 1 2 c中y 32 1 4 不合要求 d中y 2 61cos3 0 不合要求 故选b 2 必修1p107习题3 2a组t4改编 有一批材料可以建成200m长的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 则围成的矩形最大面积为 围墙厚度不计 解析 设矩形的长为xm 宽为m 则s x x2 200 x 当x 100时 smax 2500m2 答案 2500m2 感悟考题试一试3 2016 武汉模拟 某工厂采用高科技技术 在2年内产值的月增长率都是a 则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为 a a12 1b 1 a 12 1c ad a 1 解析 选b 不妨设第1年8月份的产值为b 则9月份的产值为b 1 a 10月份的产值为b 1 a 2 以此类推 到第2年8月份是第1年8月份后的第12个月 即一个时间间隔是1个月 这里跨过了12个月 故第2年8月份产值是b 1 a 12 又由增长率的概念知 这2年内的第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为 1 a 12 1 4 2016 新乡模拟 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为c x x2 2x 20 万元 一万件售价是20万元 为获取更大利润 该企业一个月应生产该商品数量为 a 36万件b 18万件c 22万件d 9万件 解析 选b 利润l x 20 x c x x 18 2 142 当x 18时 l x 有最大值 5 2016 成都模拟 某种动物繁殖数量y 只 与时间x 年 的关系为y alog2 x 1 设这种动物第1年有100只 到第7年它们的繁殖数量为只 解析 当x 1 y 100时 由y alog2 x 1 得a 100 所以y 100log2 x 1 当x 7时 y 300 答案 300 考向一一次函数 二次函数模型 典例1 1 2016 长春模拟 某人根据经验绘制了2015年春节前后 从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y 千克 随时间x 天 变化的函数图象 如图所示 则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克 2 2016 太原模拟 牧场中羊群的最大蓄养量为m只 为保证羊群的生长空间 实际蓄养量不能达到最大蓄养量 必须留出适当的空闲量 已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 写出y关于x的函数关系式 并指出这个函数的定义域 求羊群年增长量的最大值 当羊群的年增长量达到最大值时 求k的取值范围 解题导引 1 根据图象信息 确定函数解析式 2 由于最大蓄养量为m只 实际蓄养量为x只 则蓄养率为 故空闲率为1 建立函数模型后 利用函数的最值求羊群年增长量的最大值 规范解答 1 前10天满足一次函数关系 设为y kx b 将点 1 10 和点 10 30 代入函数解析式得解得则当x 6时 y 答案 2 根据题意 由于最大蓄养量为m只 实际蓄养量为x只 则蓄养率为 故空闲率为1 由此可得y kx 0 x m 对原二次函数配方 得y x2 mx 即当x 时 y取得最大值 由题意知为给羊群留有一定的生长空间 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量 即00 所以0 k 2 母题变式 1 若将本例 2 与空闲率的乘积成正比 改为 与空闲率的乘积成反比 又如何表示出y关于x的函数解析式 解析 根据题意 由于最大蓄养量为m只 实际蓄养量为x只 则蓄养率为 故空闲率为1 因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比 由此可得 2 若本例 2 牧场中羊群的最大蓄养量为10000只 实际蓄养量为8000只 比例系数为k 1 则此时的年增长量为多少 解析 由题意 可知y kx 0 x m 此时m 10000 x 8000 k 1 代入计算可得y 1 8000 1600 故此时羊群的年增长量为1600只 规律方法 一次函数 二次函数模型问题的常见类型及解题策略 1 单一考查一次函数或二次函数模型 解决此类问题应注意三点 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 2 以分段函数的形式考查 解决此类问题应关注以下三点 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 分段函数的最值是各段的最大 或最小 值中的最大 或最小 值 易错提醒 1 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 2 对构建的较复杂的函数模型 要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解 变式训练 2016 漳州模拟 活水围网 养鱼技术具有养殖密度高 经济效益好的特点 研究表明 活水围网 养鱼时 某种鱼在一定的条件下 每尾鱼的平均生长速度v 单位 千克 年 是养殖密度x 单位 尾 立方米 的函数 当x不超过4尾 立方米时 v的值为2千克 年 当4 x 20时 v是x的一次函数 当x达到20尾 立方米时 因缺氧等原因 v的值为0千克 年 1 当0 x 20时 求函数v关于x的函数解析式 2 当养殖密度x为多大时 鱼的年生长量 单位 千克 立方米 可以达到最大 并求出最大值 解析 1 由题意得当0 x 4时 v 2 当4 x 20时 设v ax b 显然v ax b在 4 20 内是减函数 由已知得所以故函数 2 设年生长量为f x 千克 立方米 依题意并由 1 可得当0 x 4时 f x 为增函数 故f x max f 4 4 2 8 当4 x 20时 f x f x max f 10 12 5 所以当0 x 20时 f x 的最大值为12 5 即当养殖密度为10尾 立方米时 鱼的年生长量可以达到最大 最大值为12 5千克 立方米 加固训练 1 2016 石家庄模拟 某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克 如图所示为函数y f x 的图象 当血液中药物残留量不小于240毫克时 治疗有效 设某人上午8 00第一次服药 为保证疗效 则第二次服药最迟的时间应为 a 上午10 00b 中午12 00c 下午4 00d 下午6 00 解析 选c 当x 0 4 时 设y k1x 把 4 320 代入 得k1 80 所以y 80 x 当x 4 20 时 设y k2x b 把 4 320 20 0 分别代入可得所以y 400 20 x 所以y f x 由y 240 得解得3 x 4或4 x 8 所以3 x 8 故第二次服药最迟应在当日下午4 00 2 2016 广州模拟 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 如图 为降低消耗 开源节流 现要从这些边角料上截取矩形铁片 如图中阴影部分 备用 当截取的矩形面积最大时 矩形两边长x y应为 a x 15 y 12b x 12 y 15c x 14 y 10d x 10 y 14 解析 选a 由三角形相似得得x 24 y 所以s xy y 12 2 180 所以当y 12时 s有最大值 此时x 15 3 2016 淮安模拟 设某旅游景点每天的固定成本为500元 门票每张为30元 变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比 一天购票人数为25人时 该旅游景点收支平衡 一天购票人数超过100人时 该旅游景点需另交保险费200元 设每天的购票人数为x人 赢利额为y元 1 求y与x之间的函数关系 2 该旅游景点希望在人数达到20人时不出现亏损 若用提高门票价格的措施 则每张门票至少要多少元 取整数 解析 1 依题意可设变动成本y1 k k 0 当x 25时 有30 25 500 k 0 k 50 故y 30 x 500 50 0100时 y 30 x 500 50 200 30 x 50 700 所以 2 设每张门票至少需要a元 则有20a 50 500 0 20a 50 2 500 a 5 25 5 2 24 25 36 2 又a取整数 故取a 37 所以每张门票至少需要37元 4 2016 吉林模拟 某个体经营者把开始6个月试销a b两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表 该经营者准备第7个月投入12万元经营这两种商品 但不知投入a b两种商品各多少万元才合算 请你帮助制定一个资金投入方案 使得该经营者能获得最大纯利润 并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润 结果保留两位有效数字 解析 以投资额为横坐标 纯利润为纵坐标 在平面直角坐标系中画出散点图 如图所示 观察散点图可以看出 a种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟 由于 4 2 为最高点 则可设ya a x 4 2 2 再把点 1 0 65 代入 得0 65 a 1 4 2 2 解得a 0 15 所以ya 0 15 x 4 2 2 b种商品所获纯利润与投资额之间的变化规律是纯线性的 可以用一次函数模型进行模拟 设yb kx b 取点 1 0 25 和 4 1 代入 得0 25 k b 1 4k b 解得k 0 25 b 0 所以yb 0 25x 设第7个月投入a b两种商品的资金分别为xa万元 xb万元 总利润为p万元 那么xa xb 12 p ya yb 0 15 xa 4 2 2 0 25xb 所以p 0 15 xa 4 2 2 0 25 12 xa 0 15xa2 0 95xa 2 6 当xa 3 2 万元 时 p取最大值 约为4 1万元 此时xb 8 8 万元 即该经营者第7个月把12万元中的3 2万元投资a种商品 8 8万元投资b种商品 可获得最大利润约为4 1万元 考向二函数y x 模型的应用 典例2 2016 商丘模拟 某养殖场需定期购买饲料 已知该场每天需要饲料200千克 每千克饲料的价格为1 8元 饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0 03元 购买饲料每次支付运费300元 1 求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 2 若提供饲料的公司规定 当一次购买饲料不少于5吨时 其价格可享受八五折优惠 即原价的85 问 该场是否应考虑利用此优惠条件 请说明理由 解题导引 1 根据条件设x天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少 构造 对勾函数 求解 2 根据题意利用函数的单调性求解 规范解答 1 设该场x x n 天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少 平均每天支付的总费用为y1 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0 03 6 元 所以x天饲料的保管费与其他费用共是6 x 1 6 x 2 6 3x2 3x 元 从而有y1 3x2 3x 300 200 1 8 3x 357 417 当且仅当 3x 即x 10时 y1有最小值 故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 2 设该场利用此优惠条件 每隔x天 x 25 购买一次饲料 平均每天支付的总费用为y2 则y2 3x2 3x 300 200 1 8 0 85 3x 303 x 25 令f x 3x x 25 因为f x 3 所以当x 25时 f x 0 即函数f x 与y2在x 25时是增函数 所以当x 25时 y2取得最小值 最小值为390 因为390 417 所以该场应考虑利用此优惠条件 规律方法 应用函数y x 模型的关键点 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 叠加而成的 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时可以将所列函数解析式转化为f x ax 的形式 易错提醒 1 解决此类问题时一定要关注函数的定义域 2 利用模型f x ax 求解最值时 注意取得最值时等号成立的条件 变式训练 2016 黄冈模拟 近年来 某企业每年消耗电费约24万元 为了节能减排 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网 安装这种供电设备的工本费 单位 万元 与太阳能电池板的面积 单位 平方米 成正比 比例系数约为0 5 为了保证正常用电 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 假设 在此模式下 安装后该企业每年消耗的电费c 单位 万元 与安装的这种太阳能电池板的面积x 单位 平方米 之间的函数关系是c x x 0 k为常数 记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和 1 试解释c 0 的实际意义 并建立y关于x的函数关系式 2 当x为多少平方米时 y取得最小值 最小值是多少万元 解析 1 c 0 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用 即未安装太阳能供电设备时 该企业每年消耗的电费 由c 0 24 得k 2400 所以 2 因为当且仅当 0 5 x 5 即x 55时取等号 所以当x为55平方米时 y取得最小值 为57 5万元 加固训练 1 2016 绵阳模拟 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间 年生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的关系可近似地表示为y 30 x 4000 则每吨的成本最低时的年产量为 a 240吨b 200吨c 180吨d 160吨 解析 选b 依题意 得每吨的成本为则当且仅当即x 200时取等号 因此 当每吨成本最低时 年产量为200吨 2 2016 秦皇岛模拟 某地区要建造一条防洪堤 其横断面为等腰梯形 腰与底边夹角为60 如图 考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素 设计其横断面要求面积为9平方米 且高度不低于米 记防洪堤横断面的腰长为x米 外周长 梯形的上底线段bc与两腰长的和 为y米 要使防洪堤横断面的外周长不超过10 5米 则其 腰长x的范围为 a 2 4 b 3 4 c 2 5 d 3 5 解析 选b 根据题意知 其中所以得bc 由得2 x 6 所以y bc 2x 2 x 6 由y 10 5 解得3 x 4 因为 3 4 2 6 所以腰长x的范围是 3 4 3 2016 安庆模拟 为响应中央号召 某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造 据调查 改造后预计该市在一个月内 以30天计 民族文化旅游人数f x 万人 与时间x 天 的函数关系近似满足f x 人均消费g x 元 与时间x 天 的函数关系近似满足g x 104 x 23 1 求该市旅游日收益p x 万元 与时间x 1 x 30 x n 的函数解析式 2 若以最低日收益的15 为纯收入 该市对纯收入按1 5 的税率来收回投资 按此预计两年内能否收回全部投资 解析 1 由题意知p x f x g x 104 x 23 1 x 30 x n 2 p x 当1 x 23时 p x 81 x 当且仅当x 即x 9时 p x 取得最小值400 当23 x 30时 p x 设所以h x 在 23 30 上为减函数 则p x 在 23 30 上也是减函数 所以当x 30时 p x min 所以当x 9时 p x 取得最小值400万元 则两年内的税收为400 15 30 12 2 1 5 648 600 所以600万元的投资可以在两年内收回 考向三指数函数与对数函数模型 典例3 1 2015 四川高考 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是小时 本题源自a版必修1p103例4 2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的科学家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v 5log2 单位是m s 其中q表示燕子的耗氧量 试计算 燕子静止时的耗氧量是多少个单位 当一只燕子的耗氧量是80个单位时 它的飞行速度是多少 解题导引 1 把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式 利用方程思想解题 2 令0 5log2 求出q 将q 80代入公式求解 规范解答 1 由题意得当x 33时 y e33k b e11k 3eb 192 24 答案 24 2 由题意知 当燕子静止时 它的速度为0 代入题目所给公式可得0 5log2 解得q 10 即燕子静止时的耗氧量为10个单位 将耗氧量q 80代入公式得v 5log2 5log28 15 m s 即当一只燕子的耗氧量为80个单位时 它的飞行速度为15m s 规律方法 应用指数函数模型的关注点 1 指数函数模型的应用类型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时的关键 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 变式训练 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍 且知病毒的繁殖规律为y ekt 其中k为常数 t表示时间 单位 小时 y表示病毒个数 则经过5小时 1个病毒能繁殖为个 解析 当t 0 5时 y 2 所以2 所以k 2ln2 所以y e2tln2 当t 5时 y e10ln2 210 1024 答案 1024 加固训练 1 2016 湛江模拟 一个容器装有细沙acm3 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出 tmin后剩余的细沙量为y ae bt cm3