高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.5 直接证明与间接证明课件 理.ppt

第五节直接证明与间接证明 知识梳理 1 直接证明 原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分 2 间接证明 反证法要证明某一结论q是正确的 但不直接证明 而是先去 即q的反面非q是正确的 经过正确的推理 最后得出 因此说明非q是 的 从而断定结论q是 的 这种证明方法叫做反证法 假设q不成立 矛盾 错误 正确 特别提醒 1 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论 2 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设命题进行推理 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2p89练习t2改编 若 a 0 则p q的大小关系是 a p qb p qc p qd 由a的取值确定 解析 选a 假设p q 要证p q 只需证p2 q2 只需证 2a 13 2a 13 只需证a2 13a 42 a2 13a 40 只需证42 40 因为42 40成立 所以p q成立 感悟考题试一试2 2016 忻州模拟 用反证法证明命题 若a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 a a b都能被5整除b a b都不能被5整除c a b不都能被5整除d a能被5整除 解析 选b 至少有一个能被5整除 的反面是 都不能被5整除 3 2016 亳州模拟 实数a b c满足a b c 0 abc 0 则的值 a 一定是正数b 一定是负数c 可能是0d 正 负不确定 解析 选b 由a b c 0 abc 0得a b c中必有两负一正 不妨设a0 且 a c 则 从而而 0 所以 0 4 2016 肇庆模拟 在不等边三角形中 a为最大边 要想得到a为钝角的结论 三边a b c应满足 解析 根据余弦定理 cosa 所以b2 c2 a2 答案 b2 c2 a2 考向一分析法 典例1 已知函数f x 3x 2x 求证 对于任意的x1 x2 r 均有 解题导引 代入计算较为烦琐 很难证明结论 宜用分析法 规范解答 要证明即证明因此只要证明即证明因此只要证明 由于x1 x2 r 所以由基本不等式知显然成立 故原结论成立 规律方法 分析法的适用范围及证题关键 1 适用范围 已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 证明过程中所需要用的知识不太明确 具体 含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导 2 证题关键 保证分析过程的每一步都是可逆的 变式训练 已知m 0 a b r 求证 解题提示 结论较为复杂 采用分析法倒推较为简单 证明 因为m 0 所以1 m 0 所以要证即证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 又 a b 2 0显然成立 所以 加固训练 1 已知非零向量a b且a b 求证 证明 要证只需证 a b a b 只需证 a 2 2 a b b 2 2 a2 2a b b2 因为a b 所以a b 0 所以只需证 a 2 b 2 2 a b 0 即证 a b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 2 已知函数f x tanx x 若x1 x2 且x1 x2 求证 f x1 f x2 证明 要证 f x1 f x2 即证 tanx1 tanx2 tan 只需证明只需证明由于x1 x2 故x1 x2 0 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 3 已知a b 0 求证 证明 因为a b 0 所以要证原不等式成立 只需证即证 a3 b3 2 a2 b2 3 即证a6 2a3b3 b6 a6 3a4b2 3a2b4 b6 只需证2a3b3 3a4b2 3a2b4 因为a b 0 所以即证2ab2ab成立 以上步骤步步可逆 所以 考向二综合法 考情快递 考题例析 命题方向1 与几何有关的证明 典例2 2015 高邮模拟 如图 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 ab ac d为bc的中点 1 若平面abc 平面bcc1b1 求证 ad dc1 2 求证 a1b 平面adc1 解题导引 1 由点d为等腰三角形底边bc的中点 利用等腰三角形的性质可得ad bc 再利用已知面面垂直的性质即可证出 2 可以连接a1c 交ac1于点o 再连接od 利用三角形的中位线定理 即可证得a1b od 进而再利用线面平行的判定定理证得 也可以取b1c1的中点d1 连接a1d1 dd1 d1b 可得四边形bdc1d1及d1a1ad是平行四边形 进而可得平面a1bd1 平面adc1 再利用线面平行的判定定理即可证得结论 规范解答 1 因为ab ac d为bc的中点 所以ad bc 因为平面abc 平面bcc1b1 平面abc 平面bcc1b1 bc ad 平面abc 所以ad 平面bcc1b1 因为dc1 平面bcc1b1 所以ad dc1 2 方法一 连接a1c 交ac1于点o 连接od 则o为a1c的中点 因为d为bc的中点 所以od a1b 因为od 平面adc1 a1b 平面adc1 所以a1b 平面adc1 方法二 取b1c1的中点d1 连接a1d1 dd1 d1b 则d1c1bd 所以四边形bdc1d1是平行四边形 所以d1b c1d 因为c1d 平面adc1 d1b 平面adc1 所以d1b 平面adc1 同理可证 a1d1 平面adc1 因为a1d1 平面a1bd1 d1b 平面a1bd1 a1d1 d1b d1 所以平面a1bd1 平面adc1 因为a1b 平面a1bd1 所以a1b 平面adc1 命题方向2 与不等式有关的证明 典例3 2016 九江模拟 已知a 0 b 0 证明 a b2 c2 b c2 a2 4abc 解题导引 由已知条件利用基本不等式证明 规范解答 因为b2 c2 2bc a 0 所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0 所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 母题变式 1 本例条件不变 证明 证明 因为a 0 b 0 所以a b 2 当且仅当a b时取等号 所以 a b 2 4ab 所以即 2 本例条件不变 证明a3 b3 a2 b2 证明 a3 b3 a2 b2 当a b时 从而得 当a b时 从而得所以a3 b3 a2 b2 命题方向3 与数列有关的证明 典例4 2016 石家庄模拟 已知数列 an 满足a1 且an 1 n n 1 证明 数列是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 设bn anan 1 n n 数列 bn 的前n项和记为tn 证明 tn 解题导引 1 取倒数 求出便可得证 2 求出 bn 通项公式是证明结论的关键 规范解答 1 由已知可得 当n n 时 an 1 两边取倒数得 即 3 所以数列是首项为 2 公差为3的等差数列 其通项公式为 2 n 1 3 3n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2 由 1 知故 故tn b1 b2 bn因为 0 所以tn 技法感悟 综合法证明问题的常见类型及方法 1 与几何有关的证明 首先利用点线面位置关系的判定或性质 也可利用向量法证明 其次要进行必要的转化 2 与不等式有关的证明 充分利用函数 方程 不等式间的关系 同时注意函数单调性 最值的应用 尤其注意导数思想的应用 3 与数列有关的证明 充分利用等差 等比数列的通项及前n项和公式转化证明 题组通关 1 2016 咸阳模拟 设a b c 0 证明 证明 因为a b c 0 根据基本不等式 有三式相加 a b c 2 a b c 即 2 2016 邯郸模拟 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知sinasinb sinbsinc cos2b 1 1 求证 a b c成等差数列 2 若c 求证5a 3b 证明 1 由已知得sinasinb sinbsinc 2sin2b 因为sinb 0 所以sina sinc 2sinb 由正弦定理 有a c 2b 即a b c成等差数列 2 由c c 2b a及余弦定理得 2b a 2 a2 b2 ab 即有5ab 3b2 0 所以即5a 3b 考向三反证法 典例5 2015 湖南高考 设a 0 b 0 且a b 证明 1 a b 2 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 解题导引 1 将已知条件中的式子等价变形为ab 1 再由基本不等式即可得证 2 利用反证法 假设a2 a 2与b2 b 2同时成立 可求得0 a 1 0 b 1 从而与ab 1矛盾 即可得证 规范解答 由a b a 0 b 0 得ab 1 1 由基本不等式及ab 1 有a b 2 2 即a b 2 2 假设a2 a0得0 a 1 同理0 b 1 从而ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 规律方法 反证法的适用范围及证明步骤 1 适用范围 否定性命题 命题的结论中出现 至少 至多 唯一 等词语的 当命题成立非常明显 而要直接证明所用的理论太少 且不容易说明 而其逆否命题又是非常容易证明的 要讨论的情况很复杂 而反面情况很少 2 证明步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 由假设出发进行正确的推理 直到推出矛盾为止 由矛盾断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 变式训练 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数根 证明 假设三个方程都没有实数根 则 所以 a 1 这与已知a 1矛盾 所以假设不成立 故原结论成立 加固训练 1 等差数列 an 的前n项和为sn a1 1 s3 9 3 1 求数列 an 的通项an与前n项和sn 2 设bn n n 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由已知得所以d 2 故an 2n 1 sn n n 2 由 1 得bn 假设数列 bn 中存在三项bp bq br p q r n 且互不相等 成等比数列 则bq2 bpbr 即 q 2 p r 所以 q2 pr 2q p r 0 因为p q r n 所以所以 pr p r 2 0 所以p r 与p r矛盾 所以数列 bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列 2 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 上述三个同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而原命题得证 3 设数列 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 解析 1 假设数列 sn 是等比数列 则s22 s1s3 即a12 1 q 2 a1 a1 1 q q2 因为a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 这与公比q 0矛盾 所以数列 sn 不是等比数列 2 当q 1时 sn na1 故 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 否则2s2 s1 s3 即2a