高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 知识提炼 1 向量的数乘运算 1 定义 规定实数 与向量a的积是一个 这种运算叫做向量的数乘 记作 它的长度和方向规定如下 a a 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 向量 a 相同 相反 2 运算律 设 为任意实数 则有 a a a b 特别地 有 a a b 2 向量共线的条件向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 a a a a b a a a b b a 3 向量的线性运算向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b及任意实数 1 2 恒有 1a 2b 1a 2b 即时小测 1 思考下列问题 1 实数 与向量a的乘积 a是向量 那么实数 与向量a的和 a与差 a是向量吗 提示 a与 a不是向量 因为实数 与向量a可以作积为 a 但不可以做加减法 因为 a与 a是无意义的 2 向量 4a的模是向量2a的模的2倍吗 提示 向量 4a的模是向量2a的模的2倍 因为 4a 4 a 2a 2 a 所以 4a 2 2a 2 存在两个非零向量a b满足b 3a 则有 a a与b方向相同b a与b方向相反c a 3b d a b 解析 选b 因为 3 0 所以a与 3a方向相反 且 3a 3 a 即 b 3 a 3 下列运算正确的个数是 3 2a 6a 2 a b 2b a 3a a 2b 2b a 0 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 正确 错误 应为 a 2b 2b a 0 因为两个向量的和或差仍为向量 4 化简3 2a 4b 2 3a b 解析 3 2a 4b 2 3a b 6a 12b 6a 2b 14b 答案 14b 5 已知 a 4 b 8 若两向量方向相同 则向量a与向量b的关系为b a 解析 由于 a 4 b 8 则 b 2 a 又两向量同向 故b 2a 答案 2 知识探究 知识点1向量数乘运算以及运算律观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 已知非零向量a 作出a a a和 a a 你能说出它们的几何意义吗 问题2 实数与向量能否进行加减运算 实数与向量相乘的结果是实数还是向量 问题3 a与a的大小和方向有什么关系 总结提升 1 向量数乘定义的两个关注点 1 条件 一个实数与一个向量乘积 2 结论 向量数乘的结果为一个向量 其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积 其方向与实数的正负有关 2 从两个角度看数乘向量 1 代数角度 是实数 a是向量 它们的积仍是向量 另外 a 0的条件是 0或a 0 2 几何角度 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 1 或反方向 1 上伸长到a的 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到a的 倍 知识点2向量共线的条件观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 在向量共线的条件中 若向量a 0 则该定理是否成立 问题2 若向量a b共线 则一定有a b r 吗 问题3 根据向量共线的条件 对于非零向量a b 如何确定实数 使b a 总结提升 1 对向量共线的条件的说明 1 在向量共线的条件中之所以限定a 0 是由于若a b 0 虽然 仍然存在 可是 不唯一 2 根据向量共线的条件 对于非零向量a b 确定实数 使b a时 分两点 确定符号 a与b同向时 为正 a与b反向时 为负 确定 的绝对值 2 向量共线条件的两个应用 1 对于向量a a 0 与b 如果有一个实数 使得b a 那么由向量数乘的定义知 向量a与b是共线的 2 向量a a 0 与b共线 若向量b的长度是a的长度的 倍 b a 那么 当a与b同向时 有b a 当a与b反向时 有b a 当b 0时 则 0 总之都可以表示成b a 其中 唯一确定 题型探究 类型一向量的线性运算 典例 1 在 abcd中 2a 3b 则等于 a a bb a bc 2a 3bd 2a 3b2 化简下列各式 1 2 3a 2b 3 a 5b 5 4b a 2 a 2b 3a 6a 12b 3 2 5a 4b c 3 a 3b c 7a 解题探究 1 典例1中在 abcd中与 的关系是什么 提示 2 典例2中的化简题目一般按照怎样的顺序进行 提示 简单的化简问题 把握运算顺序为 去括号 数乘向量 向量加减 解析 1 选c 2a 3b 2 1 原式 6a 4b 3a 15b 20b 5a 14a 9b 2 原式 a b a a b a b 3 原式 10a 8b 2c 3a 9b 3c 7a b c 方法技巧 向量线性运算的基本方法 1 类比方法 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算 例如 实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用 但是在这里的 同类项 公因式 指向量 实数看作是向量的系数 2 方程方法 向量也可以通过列方程来解 把所求向量当作未知数 利用代数方程的方法求解 同时在运算过程中要多注意观察 恰当运用运算律 简化运算 拓展延伸 向量线性运算的技巧 1 不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行 2 在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法 减法 找到向量间的关系 再利用数乘向量的运算进行化简 3 具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行 变式训练 1 若向量a 3i 4j b 5i 4j 则 a b 3 a b 2b a 解析 a b 3 a b 2b a a b 3a 2b 2b a a b 3i 4j 5i 4j 11i j 5i 4j 16i j 答案 16i j 2 点d e f分别为 abc的边bc ca ab的中点 且bc a ca b 给出下列等式 a b a b a b 0 其中正确的序号为 解析 如图 b b a a b b a b b a b a b a a b b a 0 答案 类型二向量共线的条件的应用 典例 1 2015 无锡高一检测 已知a b p三点共线 o为直线外任意一点 若 则x y 2 设两个向量a与b不共线 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 a b d三点共线 解题探究 1 典例1中a b p三点共线 得到有怎样的关系 提示 因为a b p三点共线 所以存在实数 使得2 典例2中判断三点a b d共线的关键是什么 提示 欲证三点a b d共线 关键是证存在实数 使 只要根据已知条件找出 即可 解析 1 由于a b p三点共线 所以向量在同一条直线上 由向量共线的条件可知 必定存在实数 使即 所以故x 1 y 即x y 1 答案 1 2 因为 a b 2a 8b 3 a b 所以 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5 所以共线 又因为它们有公共点b 所以a b d三点共线 延伸探究 若本例2中 a b 其他条件不变 且a b d共线 试求 的值 解析 因为 a b 3 a b 4a 3 b 因为a b d三点共线 所以存在实数 使得所以4a 3 b a b 又因为a b是不共线的两个向量 所以所以 7 方法技巧 用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路 1 若b a a 0 且b与a所在的直线无公共点 则这两条直线平行 2 若b a a 0 且b与a所在的直线有公共点 则这两条直线重合 例如 若 则与共线 又与有公共点a 从而a b c三点共线 这是证明三点共线的重要方法 拓展延伸 用向量共线的条件求参数的方法 1 三点a b c共线问题 利用构造方程求参数 2 已知向量ma nb与ka pb a与b不共线 共线求参数值的步骤 设 ma nb ka pb 整 整理得 m k a p n b 故 解 解方程组得参数值 变式训练 1 2015 全国卷 设向量a b不平行 向量 a b与a 2b平行 则实数 解题指南 由向量 a b与a 2b平行 得到 a b k a 2b 利用向量相等求解 解析 因为向量 a b与a 2b平行 所以 a b k a 2b 则所以 答案 2 2015 蚌埠高一检测 设a b是两个不共线向量 已知 2a mb a 3b 若a b c三点共线 求m的值 解题指南 由于a b c三点共线 则两向量共线 根据向量共线的条件可得 一定存在一个实数 使得 利用向量相等求m的值 解析 因为a b c三点共线 所以共线 即 所以2a mb a 3b 故 2 m 3 解得m 6 补偿训练 对于 abc内部的一点o 存在实数 使得 成立 则 obc与 abc的面积比为 a 1 2b 1 3c 2 3d 与 有关 解析 选a 如图所示 设d e分别是ab ac的中点 以oa ob为邻边作平行四边形oagb 以oa oc为邻边作平行四边形oafc 则因为 所以所以点o在直线de上 又因为d e分别是ab ac的中点 所以 obc与 abc的面积比是1 2 延伸探究 若把本题中的条件改为 则 aob与 aoc的面积之比为 解析 如图 由平行四边形法则 知其中e为ac的中点 所以所以 设点a到bd的距离为h 则s aob h s aoc 2s aoe h 所以答案 1 3 类型三用已知向量表示未知向量 典例 1 设d e f分别是 abc的三边bc ca ab上的点 且则与 a 反向平行b 同向平行c 互相垂直d 既不平行也不垂直 2 如图所示 四边形oadb是以向量 a b为邻边的平行四边形 又试用a b表示 解题探究 1 典例1中 判断与之间的关系的解题思路是什么 提示 看能否用来表示 2 典例2中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的等量关系 提示 解析 1 选a 因为所以与平行且方向相反 2 所以 b a b a b 因为所以 a b a b a b a b 延伸探究 1 改变问法 在本例2条件中 试用a b表示 解析 方法一 又 a b a b 所以 a b a b a b 方法二 因为所以 b a a b 2 变换条件 若本例2中 a b 其他条件不变 试用a b表示 解析 方法技巧 用已知向量表示其他向量的两种方法 1 直接法 2 方程法当直接表示比较困难时 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然后解关于所求向量的方程 补偿训练 1 如图 设 abc的重心为g o是 abc所在平面内的一点 且 a b c 则 解题指南 由og是 oga的一条边 所以因此 只要能求得向量即可 又因为g为 abc的重心 所以 只要能求得向量即可 解析 易知 所以又因为所以故答案 2 如图所示 d e分别是 abc中边ab ac的中点 m n分别是de bc的中点 已知 a b 试用a b分别表示 解析 由三角形中位线定理 知debc 故即 a b a a b a b a a b 规范解答向量共线的条件的应用 典例 12分 2015 合肥高一检测 如图所示 在 abc中 d f分别是bc ac的中点 且 1 用a b表示向量 2 求证 b e f三点共线 审题指导 1 要用a b表示向量 只需根据题目中的条件 把所表示的向量放在三角形中 用三角形法则联系起来求解 2 要证b e f三点共线 只需证明 规范解答 1 延长ad到g 使 连接bg cg