高中数学 探究导学课型 第二章 基本初等函数（I）2.3 幂函数课件 新人教版必修1.ppt

2 3幂函数 自主预习 主题1 幂函数的定义给出下列五个问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克 那么她需要支付p w元 这里p是w的函数 如果正方形的边长为a 那么正方形的面积s a2 这里s是a的函数 如果立方体的边长为a 那么立方体的体积v a3 这里v是a的函数 如果一个正方形场地的面积为s 那么这个正方形的边长a 这里a是s的函数 如果某人ts内骑车行进了1km 那么他骑车的平均速度v t 1km s 这里v是t的函数 1 上述5个问题中 若自变量都用x表示 因变量用y表示 则对应的函数关系式分别是什么 提示 y x y x2 y x3 y y x 1 2 上述5个问题中的函数有什么共同特征 文字语言描述 都是 出现在底数的位置上 指数为常数 为函数值的函数 符号语言描述 自变量 幂 y x 是常数 幂函数的定义 函数y x 叫做幂函数 其中x是自 变量 是常数 主题2 幂函数的图象与性质如图是同一坐标系中幂函数y x y y x2 y x3 y x 1的图象 1 观察上图 将你发现的结论写在下表内 r r r 0 0 0 r 0 r 0 y y r且y 0 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 增 x 0 增 x 0 减 增 增 x 0 减 x 0 减 1 1 2 根据以上探究过程 可总结幂函数的性质 图象都过点 为奇数时y x 为 函数 为偶数时y x 为 函数 0时y x 在 0 上是 函数 0时y x 在 0 上是 函数 1 1 奇 偶 增 减 0时y x 的图象向上与y轴无限接近 向右与x轴无限接近 深度思考 结合教材p78页例1 你认为应怎样判断幂函数的单调性 第一步 第二步 第三步 取值求函数值 作差并变形 判断并下结论 预习小测 1 下列函数中不是幂函数的是 a y b y x3c y 3xd y x 2 解析 选c 函数y y x3 y x 2均符合幂函数的特征 而y 3x不符合幂函数的特征 2 幂函数y f x 是二次函数 则f 2 解析 因为幂函数y f x 是二次函数 所以f x x2 所以f 2 4 答案 4 3 幂函数的定义域为 其奇偶性是 解析 因为所以x 0 所以函数的定义域为 0 是非奇非偶函数 答案 0 非奇非偶函数 4 当 时 幂函数y x 的图象不可能经过第 象限 解析 y x 1 y x y x3的图象在第一或第三象限 故不可能经过二 四象限 答案 二 四 5 已知幂函数f x 的图象过点判断f x 在 0 上的单调性 并证明 仿照教材p78例1的证明过程 解析 设f x x 由已知所以 2 函数f x x 2在 0 上是减函数 证明如下 任取x1 x2 0 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 2 x2 2 因为x2 x1 0 所以f x1 f x2 0 f x1 f x2 即幂函数f x x 2在 0 上是减函数 互动探究 1 二次函数都是幂函数吗 提示 不一定 如y 3x2 y x2 3x 2都不是幂函数 只有二次项系数为1 无一次项和常数项的二次函数才是幂函数 2 判断一个函数是幂函数的依据是什么 提示 依据是幂函数的定义 即解析式符合幂函数解析式的形式 3 幂函数y x 在区间 0 上为增函数时 满足的条件是什么 在区间 0 上为减函数时 满足的条件是什么 提示 当 0时 y x 在 0 上为增函数 当 0时 y x 在 0 上为减函数 探究总结 知识归纳 方法总结 1 运用待定系数法求幂函数的解析式 2 根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想 2 已知幂函数f x x 的图象过点p 试画出f x 的图象并指出该函数的定义域与单调区间 解题指南 1 根据幂函数的定义去判断 只有形如y x 的函数才是幂函数 2 可根据幂函数f x 的图象过点p确定 的值 然后再画出f x 的图象 结合图象指出定义域与单调区间 解析 1 选b 为指数函数 中系数不是1 中解析式为多项式 中底数不是自变量本身 所以只有 是幂函数 2 因为f x x 的图象过点p 所以f 2 即2 得 2 即f x x 2 f x 的图象如图所示 定义域为 0 0 单调减区间为 0 单调增区间为 0 延伸探究 1 改变问法 本例条件不变 试判断f x 的奇偶性 解析 因为f x x 2 定义域为 0 0 关于y轴对称 又因为f x x 2 x 2 f x 故f x 为偶函数 2 变换条件 本例中的条件 过点 若换为过点试写出该函数的定义域 单调区间 解析 因为f 8 所以8 即故f x 由 0得x 0 所以f x 的定义域为 0 0 因为 0 所以f x 在 0 上是减函数 又f x 是偶函数 所以f x 在 0 上是增函数 故f x 的单调减区间是 0 增区间为 0 规律总结 1 幂函数图象的画法 1 确定幂函数在第一象限内的图象 先根据 的取值 确定幂函数y x 在第一象限内的图象 2 确定幂函数在其他象限内的图象 根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f x 在其他象限内的图象 2 求幂函数中含参数问题的三个步骤 巩固训练 如图所示的曲线是幂函数y x 的第一象限的图象 已知 相应于曲线c1 c2 c3 c4的 值依次为 解析 选b 对于幂函数y1 x4 y4 x 4 分别令x 2得y1 y2 y3 y4 故曲线c1 c2 c3 c4分别对应的 值为 类型二 幂值大小的比较问题 典例2 比较大小 1 2 1 2 3 1 25 3 3 5 25 1 5 26 1 5 26 2 解题指南 幂值比较大小 底数相同指数不同时 用指数函数的单调性 底数不同指数相同时 用幂函数的性质 解析 1 因为函数在 0 上是增函数 且1 5 1 7 所以 2 因为函数y x3在r上是增函数 且 1 2 1 25 所以 1 2 3 1 25 3 3 因为函数y 5 26x是增函数 且 1 2 所以5 26 1 5 26 2 又y x 1在 0 上是减函数 且5 255 26 1 综上所述 5 25 1 5 26 1 5 26 2 规律总结 比较幂值大小的三种思路 1 若指数相同 底数不同 则考虑幂函数 2 若指数不同 底数相同 则考虑指数函数 3 若指数与底数都不同 则考虑插入中间数 使这个数的底数与所比较数的一个底数相同 指数与另一个数的指数相同 那么这个数就介于所比较的两数之间 进而比较大小 巩固训练 把按从小到大的顺序