高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.1.2 集合间的基本关系课件 新人教版必修1.ppt

1 1 2集合间的基本关系 知识提炼 1 venn图表示集合通常用平面上封闭曲线的 表示一个集合 内部 2 子集的有关概念 1 子集 定义 对于两个集合a b 如果集合a中 都是集合b中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合a为集合b的子集 记作 a b 或b a 读作 a含于b 或 b包含a 任意一个元素 2 集合相等 定义 如果集合a是集合b的 a b 且集合b是集合a的 b a 此时 集合a与集合b中的元素是 的 因此集合a和集合b相等 符号表示 若a b且b a 则a b 子集 子集 一样 3 真子集 定义 如果集合 但存在元素x b 且 我们称集合a是集合b的真子集 记法 或b a 图示 a b x a ab 3 空集 1 定义 不含 元素的集合叫做空集 记为 2 规定 是任何集合的子集 4 集合间关系的性质 1 任何一个集合都是它本身的子集 即a a 2 对于集合a b c 若a b 且b c 则a c 若ab bc 则ac 3 若a b a b 则ab 任何 空集 即时小测 1 思考下列问题 1 符号 a a 与 a a 有什么区别 提示 a a 是指元素与集合的关系 而 a a 是指集合与集合的关系 2 任何一个集合与它自身有什么关系 提示 任何一个集合都是它自身的子集 2 在下列各式中错误的个数是 1 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 1 0 1 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 正确 错 因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系 正确 正确 两个集合的元素完全一样 错 3 设a r 若集合 2 9 1 a 9 则a 解析 因为1 a 2 所以a 1 答案 1 4 集合a 0 1 2 的真子集个数是 解析 集合a 0 1 2 的真子集有 0 1 2 0 1 1 2 0 2 共7个 答案 7 知识探究 知识点1子集与集合相等观察图形 回答下列问题 问题1 对于集合a b 如果集合a中的一部分元素属于集合b 是不是可以说a是b的子集 问题2 a b 与 a b 的区别是什么 总结提升 1 对子集概念的三点说明 1 a是b的子集 的含义是 若x a能推出x b 2 不能把 a b 理解为 a是b中部分元素组成的集合 因为当a 时 a b 但a中不含任何元素 又当a b时 也有a b 但a中含有b中所有元素 这两种情况都有a b 3 集合a不是集合b的子集 记作a b 或b a 读作 a不包含于b 或 b不包含a 2 对集合相等的两点说明 1 两个集合相等 则所含元素完全相同 与顺序无关 2 若两个集合中元素均为无限多个 要看两集合的代表元素是否一致 且看代表元素满足条件是否一致 若均一致 则两集合相等 知识点2真子集 空集观察图形 回答下列问题 问题 真子集与子集的区别是什么 若ab 则a可以与b相等吗 总结提升 1 子集与真子集的区别 1 从定义上 集合a是集合b的子集包括a是b的真子集和a与b相等两种情况 真子集是子集的特殊形式 2 从性质上 空集是任何集合的子集 但不是任何集合的真子集 空集是任何非空集合的真子集 3 从符号上 a b指ab或a b都有可能 a a a a a都是正确的符号表示 aa a是不正确的符号表示 2 对空集的两点说明 1 空集首先是集合 只不过空集中不含任何元素 2 规定空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 因此遇到诸如a b ab的问题时 务必优先考虑a 是否满足题意 题型探究 类型一集合关系的判断 典例 1 若集合m x x2 1 0 t 1 0 1 则m与t的关系是 a mtb mtc m td m t 2 指出下列各对集合之间的关系 1 a 1 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a x 1 x 4 b x x 5 0 3 a x x是等边三角形 b x x是等腰三角形 4 m x x 2n 1 n n n x x 2n 1 n n 解题探究 1 典例1中集合m中的元素是什么 提示 集合m中的元素是 1 1 2 典例2判断两个集合关系的关键是什么 提示 判断两个集合关系的关键是找到两个集合间元素之间的关系 解析 1 选a m 1 1 t 1 0 1 所以mt 2 1 集合a的代表元素是数 集合b的代表元素是有序实数对 故a与b之间无包含关系 2 集合b x x 5 用数轴表示集合a b如图所示 由图可知ab 3 等边三角形是三边相等的三角形 等腰三角形是两边相等的三角形 故ab 4 方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合 但由于n n 因此集合m含有元素 1 而集合n不含元素 1 故nm 方法二 由列举法知m 1 3 5 7 n 3 5 7 9 所以nm 方法技巧 两集合间关系的判断步骤 1 判断一个集合a中的任意元素是否属于另一集合b 若是 则a b 否则a b 2 判断另一个集合b中的任意元素是否属于第一个集合a 若是 则b a 否则b a 3 若既有a b 又有b a 则a b 补偿训练 已知集合则集合a b满足的关系是 用 连接a b的关系 解析 方法一 用列举法 令k 2 1 0 1 2 可得所以ab 方法二 集合a的元素为x k z 集合b的元素为x k z 而2k 1为奇数 k 2为整数 所以ab 答案 ab 类型二关于子集 真子集的个数问题 典例 1 2015 福州高一检测 集合 a b 的子集个数为 a 1b 2c 3d 42 若集合 1 2 m 1 2 3 4 试写出满足条件的所有的集合m 解题探究 1 典例1中集合元素有限 应如何写出其子集 提示 当集合中元素有限时可将其子集逐个列举出来 2 典例2中集合m中至少含有几个元素 提示 集合m中至少含有1和2两个元素 解析 1 选d 当子集不含元素时 即为 当子集中含有一个元素时 其子集为 a b 当子集中有两个元素时 其子集为 a b 故子集个数为4 2 由于 1 2 m 故1 2 m 又m 1 2 3 4 所以符合条件的集合m有 1 2 1 2 3 1 2 4 方法技巧 集合子集个数的规律及一个注意点 1 规律 集合子集 真子集个数的规律是 含有n n 1且n n 个元素的集合的子集有2n个 非空子集有2n 1个 真子集有2n 1个 非空真子集有2n 2个 2 注意点 解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合 即 和集合本身 变式训练 已知集合m x z 1 x m 若集合m有4个子集 则实数m a 1b 2c 3d 4 解题指南 根据题意 由集合的子集与其元素数目的关系 可得m中有2个元素 结合题意 由m中元素的特点 可得m的值 即可得答案 解析 选b 根据题意 集合m有4个子集 则m中有2个元素 又由m x z 1 x m 其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数 则m 2 补偿训练 已知集合a x n 1 x 4 且a中至少有一个元素为奇数 则集合a共有多少个 并用恰当的方法表示这些集合 解析 这样的集合a共有11个 因为 x n 1 x 4 0 1 2 3 又a 0 1 2 3 且a中至少含有一个奇数 故a中只含有一个元素时 a可以为 1 3 a中含两个元素时 a可以为 1 0 1 2 1 3 3 0 3 2 a中含三个元素时 a可以为 1 0 2 3 0 2 1 3 0 1 3 2 所以综上可知 满足条件的集合a为 1 3 1 0 1 2 1 3 3 0 3 2 1 0 2 3 0 2 1 3 0 1 3 2 类型三由集合间的包含关系求参数 典例 已知集合a x 3 x 4 b x 11 且b a 则实数m的取值范围是 解题探究 本例中应如何分析连续数集之间的包含关系 提示 对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来分析它们之间的包含关系 解析 由于b a 结合数轴分析可知 m 4 又m 1 所以1 m 4 答案 1 m 4 延伸探究 1 变换条件 本例若将集合 b x 11 改为 b x 11 则由例题解析可知1 m 4 综上可知m 4 2 变换条件 本例若将集合 b x 11 改为 b x 2m 1 x m 1 其他条件不变 则实数m的取值范围又是什么 解析 因为b a 1 当b 时 m 1 2m 1 解得m 2 2 当b 时 有解得 1 m 2 综上得m 1 3 变换条件 本例若将集合a b分别改为a 1 3 2m 1 b 3 m2 其他条件不变 则实数m的值又是什么 解析 因为b a 所以m2 2m 1 即 m 1 2 0 所以m 1 当m 1时 a 1 3 1 b 3 1 满足b a 方法技巧 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1 注意点 不能忽视集合为 的情形 当集合中含有字母参数时 一般需要分类讨论 2 常用方法 对于用不等式给出的集合 已知集合的包含关系求相关参数的范围 值 时 常采用数形结合的思想 借助数轴解答 补偿训练 1 已知集合a x 4 x 2 集合b x x a 0 若a b 求a的取值范围 解题指南 将两集合用数轴表示 利用数形结合求解 解析 因为a x 4 x 2 b x x a 由a b 结合数轴 如图所示 可知a的范围为a 4 2 已知集合a x xa 所以b 因为b a 所以有a 5或a 4 1 所以a 5或a 5 易错案例根据集合间的关系求参数的值 典例 已知集合a x x2 2x 3 0 b x ax 2 0 且b a 则实数a的值为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是考虑不全面 由集合b的含义及b a 忽略了集合b为 的情况而漏解 因此题目若出现包含关系时 应首先想到有没有出现 的可能 自我矫正 a