高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件 新人教版必修4.ppt

3 1 2两角和与差的正弦 余弦 正切公式 一 知识提炼 1 两角和的余弦公式cos 简记为 其中 都是 cos cos sin sin c 任意角 2 两角和与差的正弦公式 1 两角和的正弦 sin 简记为 其中 都是 2 两角差的正弦 sin 简记为 其中 都是 sin cos cos sin s 任意角 sin cos cos sin s 任意角 即时小测 1 思考下列问题 1 sin sin sin 一定不成立吗 提示 一般情况下上面式子是不成立的 但在特殊情况下如当 0 r 或 r 0时 sin sin sin 成立 2 s 与s 有什么关系 s 与s 相等吗 在利用s 时需要注意什么 提示 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 观察可得s 与s 相等 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 可知一般情况下sin sin 在利用公式时要注意做差顺序 2 计算sin40 sin80 cos40 cos80 的值为 a 0b c d 解析 选c sin40 sin80 cos40 cos80 cos 80 40 cos60 3 设则等于 解析 因为 是第二象限内的角 根据sin2 cos2 1 sin 其中cos 0可得又根据两角和的正弦公式得答案 4 cos71 sin11 sin71 cos11 解析 cos71 sin11 sin71 cos11 sin 11 71 sin60 答案 5 若则 解析 因为所以所以答案 知识探究 知识点1两角和的余弦公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 运用两角和的余弦公式时需要注意什么 问题2 两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗 能不能是角的组合 总结提升 1 两角和的余弦公式的应用技巧 1 应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号 不能混淆 即cos cos cos sin sin 2 要灵活进行正用 逆用两角和的公式计算或化简 2 两角和的余弦公式的适用条件公式中的 不仅可以是任意具体的角 也可以是一个 团体 如中的 相当于公式中的角 相当于公式中的角 知识点2两角和与差的正弦公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同 问题2 在计算两角的和与差时 如何利用两角和与差的正弦公式 总结提升 1 两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点 1 公式中的 均为任意角 2 两角和与差的正 余弦公式可以看成是诱导公式的推广 诱导公式可以看成是两角和与差的正 余弦公式的特例 3 两角和与差的正弦公式结构是 正余余正 加减相同 两角和与差的余弦公式结构是 余余正正 加减相反 2 两角和与差的正弦公式的一般使用方法 1 正用 把sin 从左向右展开 2 逆用 公式的右边化简成左边的形式 当结构不具备条件时 要用相关公式调节后再逆用 3 变形应用 它涉及两个方面 一是公式本身的变用 二是角的变用 也称为角的拆分变换 如 2 题型探究 类型一给角求值 典例 1 2015 全国卷 a b c d 2 求下列各式的值 1 2 sin x 27 cos 18 x sin 63 x sin x 18 3 解题探究 1 典例1中cos160 如何处理 提示 利用诱导公式将cos160 转化为 cos20 2 1 典例2 1 中当代数式中的结构不满足公式s 时 常借助什么工具给予变形 提示 当代数式中的结构不满足公式s 时 常借助诱导公式给予变形 之后再求值 2 观察典例2 2 角 27 x 与角 63 x 有什么关系 提示 角 27 x 与角 63 x 和为90 3 典例2 3 中对tan10 如何处理 提示 采用切化弦 即tan10 解析 1 选d 原式 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 2 1 原式 2 原式 sin x 27 cos 18 x cos 90 63 x sin x 18 sin x 27 cos x 18 cos x 27 sin x 18 sin x 27 x 18 sin45 3 方法一 原式 方法二 原式 方法技巧 解决给角求值问题的策略 1 对于非特殊角的三角函数式求值问题 一定要本着先整体后局部的基本原则 如果整体符合三角公式的形式 则整体变形 否则进行各局部的变形 2 一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式 化为正负相消的项并消项求值 化分子 分母形式进行约分 解题时要逆用或变用公式 变式训练 的值是 a b c d 解析 选c 原式 类型二给值 式 求值 典例 1 2015 荆州高一检测 若则cos 的值为 a b c d 12 2015 青岛高一检测 已知求sin2 的值 解题探究 1 典例1中 如何将联系起来 提示 对两式分别平方 然后相加 2 如何利用已知角表示待求角 提示 2 解析 1 选b 因为所以 sin sin 2 cos cos 2所以2 2 cos cos sin sin 所以cos cos sin sin 即cos 2 因为所以sin2 sin sin cos cos sin 延伸探究 典例2中的条件不变 如何求sin2 的值 解析 因为所以sin2 sin sin cos cos sin 方法技巧 给值 式 求值的策略 1 当 已知角 有两个时 所求角 一般表示为两个 已知角 的和或差的形式 2 当 已知角 有一个时 此时应着眼于 所求角 与 已知角 的和或差的关系 然后应用诱导公式把 所求角 变成 已知角 变式训练 设 解题指南 由已知角与所求角建立关系 可知 解析 因为因为所以 所以 补偿训练 已知求sin 的值 解题探究 本题中角 与已知条件中的角如何联系起来 提示 解析 因为因为因为因为所以sin sin 类型三给值求角 典例 1 已知则 的值为 a b c d 2 2015 泰安高一检测 已知且求 1 cos 2 的值 2 的值 解题探究 1 典例1中 如何通过 与 建立联系 在本题中是否必不可少 提示 由题目不难发现 从而进行求解 在本题中必不可少 因为由其可确定 从而确定cos 与sin 的值 2 典例2中 求cos 2 和 的值的思路分别是什么 提示 1 根据2 及两角和的余弦公式求cos 2 2 先根据 及两角差的余弦公式求cos 然后求 解析 1 选c 由又因为所以由得由 得cos cos 所以 2 1 因为且所以因为所以所以cos 2 cos cos cos sin sin 2 cos cos cos cos sin sin 又因为 方法技巧 知值求角的步骤 1 首先考虑界定角的范围 根据条件确定角的范围 有时需要根据已知条件把角度的范围缩小 2 求所求角的某种三角函数值 为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数 如角的范围是 0 时取余弦更方便些 而角的范围是时 取正弦更方便 3 求角 结合三角函数值及角的范围求角 变式训练 且 是锐角 则 解题指南 利用同角三角函数的基本关系 求出cos 由cos cos cos cos sin sin 进而求出结果 解析 由且 是锐角 求得所以所以答案 补偿训练 满足的最小正角a 解析 由得所以sinacos45 cosasin45 sin30 cos10 cos30 sin10 所以sin a 45 sin 30 10 sin20 因为a是满足条件的最小正角 所以a 45 20 故a 65 答案 65 易错案例两角和与差的正弦 余弦公式逆用 典例 2015 秦皇岛高一检测 已知则等于 a b c d 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是两角差的余弦公式和诱导公式的误用 自我矫正 防范措施