高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课件 理.ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 知识梳理 1 直线与平面平行的判定定理和性质定理 此平面内 l a a l 交线 l l b 2 平面与平面平行的判定定理和性质定理 相交直线 a b a b p a b 相交 交线 a b 特别提醒 1 两个平面平行的有关结论 1 垂直于同一条直线的两个平面平行 即若a a 则 2 平行于同一平面的两个平面平行 即若 则 2 在推证线面平行时 一定要强调直线不在平面内 否则会出现错误 小题快练 链接教材练一练1 必修2p61练习改编 下列命题中正确的是 a 若a b是两条直线 且a b 那么a平行于经过b的任何平面b 若直线a和平面 满足a 那么a与 内的任何直线平行 c 平行于同一条直线的两个平面平行d 若直线a b和平面 满足a b a b 则b 解析 选d a错误 因a可能在经过b的平面内 b错误 a与 内的直线平行或异面 c错误 两个平面可能相交 d正确 由a 可得a平行于经过直线a的平面与 的交线c 即a c 又a b 所以b c b c 所以b 2 必修2p56练习t2改编 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e是dd1的中点 则bd1与平面ace的位置关系为 解析 连接bd 设bd ac o 连接eo 在 bdd1中 点e o分别是dd1 bd的中点 则eo bd1 又因为eo 平面ace bd1 平面aec 所以bd1 平面ace 答案 平行 感悟考题试一试3 2015 北京高考 设 是两个不同的平面 m是直线且m m 是 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 当m 时 可能 也可能 与 相交 当 时 由m 可知 m 因此 m 是 的必要而不充分条件 4 2016 兰州模拟 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若l l 则 d 若 l 则l 解析 选b 选项a 若l l 则 和 可能平行也可能相交 故错误 选项b 若l l 则 故正确 选项c 若l l 则 故错误 选项d 若 l 则l与 的位置关系有三种可能 l与 相交 l l 故错误 5 2016 合肥模拟 已知平面 和直线m 给出条件 m m m 能推导出m 的是 a b c d 解析 选d 由两平面平行的性质可知 两平面平行 在一个平面内的直线必平行于另一个平面 故选d 考向一直线与平面平行的判定与性质 考情快递 考题例析 命题方向1 证明直线与平面平行 典例1 2015 山东高考改编题 如图 在三棱台def abc中 ab 2de 点g h分别为ac bc的中点 求证 bd 平面fgh 解题导引 构造线线平行或面面平行证明线面平行 规范解答 如图 连接dg cd 设cd fg o 连接oh 在三棱台def abc中 ab 2de 点g为ac的中点 可得df gc df gc 所以四边形dfcg为平行四边形 所以点o为cd的中点 又因为点h为bc的中点 所以oh bd 又因为oh 平面fgh bd 平面fgh 所以bd 平面fgh 一题多解 解答本题 还有以下解法 因为def abc是三棱台 且ab 2de 所以bc 2ef 因为点h为bc的中点 所以bh ef bh ef 所以四边形bhfe为平行四边形 所以be hf be 平面abed fh 平面abed 所以fh 平面abed 在 abc中 点g为ac的中点 点h为bc的中点 所以gh ab 同理gh 平面abed 又因为gh hf h 所以平面fgh 平面abed 因为bd 平面abed 所以bd 平面fgh 命题方向2 线面平行性质定理的应用 典例2 2014 安徽高考 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点g e f h分别是棱pb ab cd pc上共面的四点 平面gefh 平面abcd bc 平面gefh 1 证明 gh ef 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 解题导引 1 由线面平行得出bc平行于直线ef gh 2 连接ac bd交于点o 设bd交ef于点k 连接op gk 则点k为ob的中点 由面面垂直得出gk ef 再由梯形面积公式s gk计算求解 规范解答 1 因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 2 连接ac bd交于点o 设bd交ef于点k 连接op gk 因为pa pc 点o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又因为bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po 平面gefh 所以po 平面gefh 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 且gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 从而kb db ob 即点k是ob的中点 再由po gk得gk po 即点g是pb的中点 且gh bc 4 由已知可得ob 4 po 所以gk 3 故四边形gefh的面积s gk 3 18 技法感悟 1 证明直线与平面平行的两种重要方法及关键 2 线面平行性质定理的应用转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行 题组通关 1 2014 全国卷 改编 如图所示 在四棱锥p abcd中 abc acd 90 bac cad 60 点e为pd的中点 ab 1 求证 ce 平面pab 证明 由已知条件有ac 2ab 2 ad 2ac 4 cd 2 如图所示 延长dc ab 设其交于点n 连接pn 因为 nac dac 60 ac cd 所以点c为nd的中点 又因为点e为pd的中点 所以ec pn 因为ec 平面pab pn 平面pab 所以ce 平面pab 一题多解 解答本题 还有以下方法 取ad中点为m 连接me mc 因为点e为pd的中点 所以em pa em 平面pab pa 平面pab 所以em 平面pab 由已知得ac 2ab 2 ad 2ac 4 则cm am 2 所以 bac acm 60 所以mc ab 又因为cm 平面pab 所以cm 平面pab 而cm em m 所以平面emc 平面pab 又因为ce 平面emc 所以ce 平面pab 2 2016 昆明模拟 在三棱锥s abc中 abc是边长为6的正三角形 sa sb sc 15 平面defh分别与ab bc sc sa交于点d e f h 且点d e f h分别是ab bc sc sa的中点 如果直线sb 平面defh 求四边形defh的面积 解析 因为点d e f h分别是ab bc sc sa的中点 所以de ac fh ac dh sb ef sb 则四边形defh是平行四边形 且de ac 3 取ac的中点o 连接ob os 因为sa sc 15 ab bc 6 所以ac so ac ob 因为so ob o 所以ao 平面sob 所以ao sb 则hd de 即四边形defh是矩形 所以四边形defh的面积s 加固训练 2014 山东高考改编题 如图 四棱锥p abcd中 ad bc ab bc ad 点e f h分别为线段ad pc cd的中点 ac与be交于o点 g是线段of上一点 1 求证 ap 平面bef 2 求证 gh 平面pad 证明 1 连接ec 因为ad bc bc ad e为ad中点 所以bcae 所以四边形abce是平行四边形 所以点o为ac的中点 又因为点f是pc的中点 所以fo ap 又fo 平面bef ap 平面bef 所以ap 平面bef 2 连接fh oh 因为点f h分别是pc cd的中点 所以fh pd fh 平面pad pd 平面pad 所以fh 平面pad 又因为点o是ac的中点 点h是cd的中点 所以oh ad 同理oh 平面pad 又因为fh oh h 所以平面ohf 平面pad 又因为gh 平面ohf 所以gh 平面pad 考向二面面平行的判定与性质 典例3 2016 长春模拟 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 点d是bc上一点 且a1b 平面ac1d 点d1是b1c1的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 解题导引 先证点d是bc的中点 再证bd1 dc1 规范解答 如图 连接a1c交ac1于点e 连接ed 因为四边形a1acc1是平行四边形 所以点e是a1c的中点 因为a1b 平面ac1d 平面a1bc 平面ac1d ed 所以a1b ed 因为点e是a1c的中点 所以点d是bc的中点 又因为点d1是b1c1的中点 所以d1c1bd 所以四边形bdc1d1为平行四边形 所以bd1 c1d bd1 平面ac1d c1d 平面ac1d 所以bd1 平面ac1d 又因为a1b bd1 b 所以平面a1bd1 平面ac1d 规律方法 1 判定面面平行的方法 1 利用定义 常用反证法 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 3 证明线线平行的常用方法 1 利用公理4 找第三线 只需证明两线都与第三线平行即可 2 利用三角形的中位线的性质 3 构建平行四边形利用其对边平行 4 利用面面平行的性质定理 易错提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 重视三种平行间的转化关系线线平行 线面平行 面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 变式训练 2016 西安模拟 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形 点o是底面中心 a1o 底面abcd ab aa1 1 证明 平面a1bd 平面cd1b1 2 求三棱柱abd a1b1d1的体积 解析 1 由题设知 bb1dd1 所以四边形bb1d1d是平行四边形 所以bd b1d1 又因为bd 平面cd1b1 b1d1 平面cd1b1 所以bd 平面cd1b1 因为a1d1b1c1bc 所以四边形a1bcd1是平行四边形 所以a1b d1c 又因为a1b 平面cd1b1 d1c 平面cd1b1 所以a1b 平面cd1b1 又因为bd a1b b 所以平面a1bd 平面cd1b1 2 因为a1o 平面abcd 所以a1o是三棱柱abd a1b1d1的高 又因为ao ac 1 aa1 所以a1o 又因为s abd 所以 s abd a1o 1 加固训练 1 如图所示 已知abcd a1b1c1d1是棱长为3的正方体 点e在aa1上 点f在cc1上 点g在bb1上 且ae fc1 b1g 1 点h是b1c1的中点 1 求证 e b f d1四点共面 2 求证 平面a1gh 平面bed1f 证明 1 连接fg 因为ae b1g 1 所以bg a1e 2 又因为bg a1e 所以四边形bga1e为平行四边形 所以a1g be 又因为c1f b1g c1f b1g 所以四边形c1fgb1为平行四边形 所以fg b1c1 fg b1c1 又因为b1c1 d1a1 b1c1 d1a1 所以fg d1a1 fg d1a1 所以四边形a1gfd1为平行四边形 所以a1g d1f 所以d1f be 故e b f d1四点共面 2 因为点h是b1c1的中点 所以b1h 又因为b1g 1 又因为且 fcb gb1h 90 所以 b1hg cbf 则 b1gh cfb fbg 所以hg fb 又由 1 知 a1g be 且hg a1g g fb be b 所以平面a1gh 平面bed1f 2 平面 内有 abc ab 5 bc 8 ac 7 梯形bcde的底de 2 过eb的中点b1的平面 若 分别交ea dc于a1 c1 求 a1b1c1的面积 解析 因为 所以a1b1 ab b1c1 bc 又因 a1b1c1与 abc同向 所以 a1b1c1 abc 又因为cos abc 所以 abc 60 a1b1c1 又因为b1为eb的中点 所以b1a1是 eab的中位线 所以b1a1 ab 同理知b1c1为梯形bcde的中位线 所以b1c1 bc de 5 则故 a1b1c1的面积为 考向三线 面平行中的探索性问题 典例4 2014 四川高考 在如图所示的多面体中 四边形abb1a1和acc1a1都为矩形 1 若ac bc 证明 直线bc 平面acc1a1 2 设d e分别是线段bc cc1的中点 在线段ab上是否存在一点m 使直线de 平面a1mc 请证明你的结论 解题导引 1 先利用线面垂直的判定定理证明aa1 平面abc 再证明直线bc 平面acc1a1 2 由于d e分别是线段bc cc1的中点 易猜想m应为线段ab的中点 只要在平面a1mc内找到一条与de平行的直线即可 规范解答 1 因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形 所以aa1 ab aa1 ac 因为ab ac为平面abc内两条相交直线 所以aa1 平面abc 因为直线bc 平面abc 所以aa1 bc 又由已知 ac bc aa1 ac为平面acc1a1内两条相交直线 所以bc 平面acc1a1 2 存在一点m 线段ab的中点 使de 平面a1mc 证明如下 取线段ab的中点m 连接a1m mc a1c ac1 设o为a1c ac1的交点 由已知 o为ac1的中点 连接md oe 则md oe分别为 abc acc1的中位线 所以mdac oeac 因此mdoe 连接om 从而四边形mdeo为平行四边形 则de mo 因为直线de 平面a1mc mo 平面a1mc 所以直线de 平面a1mc 即线段ab上存在一点m 线段ab的中点 使直线de 平面a1mc 母题变式 1 本例题中在 2 的条件下 试在线段ab上找一点n 使得平面den 平面a1mc 解析 取线段bm的中点n 连接dn en 在 bmc中 dn是中位线 所以dn mc 由 2 知de mo 又因为dn de d mo mc m 所以平面den 平面a1mc 即当点n是bm的中点时 平面den 平面a1mc 2 本例题中在 2 的条件下 试在线段a1b1上找一点f 使得平面bc1f 平面a1mc 解析 取a1b1的中点f 连接bf c1f bc1 因为a1fmb 所以四边形a1mbf是平行四边形 从而a1m bf 又因为de是 bcc1的中位线 所以de bc1 又因为de mo 则bc1 mo 因为bf bc1 b a1m mo m 所以平面bc1f 平面a1mc 即当f是线段a1b1的中点时 平面bc1f 平面a1mc 规律方法 解决探索性问题的策略方法 1 根据探索性问题的设问 假设其存在并探索出结论 然后在这个假设下进行推理论证 若得到合乎情理的结论就肯定假设 若得到矛盾就否定假设 2 按类似于分析法的格式书写步骤 从结论出发 要使 成立 只需使 成立 变式训练 2016 昆明模拟 如图 四棱锥p abcd中 ab cd ab 2cd e为pb的中点 1 求证 ce 平面pad 2 在线段ab上是否存在一点f 使得平面pad 平面cef 若存在 证明你的结论 若不存在 请说明理由 解析 1 如图所示 取pa的中点h 连接eh dh 因为e为pb的中点 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此ce 平面pad 2 如图所示 取ab的中点f 连接cf ef 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf 平面pad 所以cf 平面pad 由 1 可知ce 平面pad 又ce cf c 故平面cef 平面pad 故存在ab的中点f满足要求 加固训练 1 2016 潍坊模拟 如图所示 四棱锥p abcd的底面是边长为a的正方形 侧棱pa 底面abcd 在侧面pbc内 有be pc于点e 且be a 试在ab上找一点f 使ef 平面pad 解析 在平面pcd内作eg pd于点g 连接ag 因为pa 底面abcd 所以pa cd pa bc 又因为cd ad bc ab pa ad a pa ab a 所以cd 平面pad bc 平面pab 所以cd pd pb bc 所以cd eg 又ab cd 所以eg ab 若有ef 平面pad 则ef ag 所以四边形afeg为平行四边形 eg af 因为ce 且 pbc为直角三角形 所以bc2