山东省武城县第二中学高中数学一轮复习 3.2.4 直线与平面的夹角.doc

山东省武城县第二中学高中数学一轮复习：3.2.4直线与平面的夹角【知识导引】回顾直线与平面的位置关系。回顾两非零向量，所成角的范围。【自学导拨】1.直线与平面所成的角（1）如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为。（2）如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为。（3）斜线和所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。（4）直线与平面夹角的范围为。2.最小角定理斜线和所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中。【思路方法技巧】例1.如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，pd平面abcd，pd=dc，e是pc的中点，求eb与平面abcd夹角的余弦值。例2.正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为a，侧棱长为，求与侧面abb1a1所成的角。例3.如图，boc在平面内，oa是平面的一条斜线，若aobaoc60，oaoboc，求oa与平面所成角的度数。【巩固练习】1.一条斜线与平面所成的角为45，则它和平面内所有直线所成的角中最小的角是（）a.30b.45c.60d.902.如果bc平面，斜线ab与平面所成的角为，abc，aa平面，垂足为a，abc，那么（）a.b.c.d.3.如果apbbpccpa60，则pa与平面pbc所成的角的余弦值为（）a.b.c.d.4.正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成角的正弦值是（）a.b.c.d.5.如图所示，在三棱锥oabc中，oaoboc1，aob90，oc平面aob，d为ab的中点，则od与平面obc所成的角为（）a.b.c.d.6.平面外两点a，b到平面的距离分别为1和2，ab在上的射影长为，则直线ab和平面所成的角为。7.正方形abcd的边长为，pa平面abcd，pa，则直线与平面pac所成的角为。8.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，求直线bc与平面pac所成的角。9.已知平行六面体abcda1b1c1d1的底面是边长为的菱形，o为菱形abcd的中心，badbaa1daa160，aa1，求证：a1o平面abcd.10.在体积为1的直三棱柱abca1b1c1中，acb90，acbc1，求直线a1b与平面bb1c1c所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）11.在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中点，求eb与底面abcd所成角的正弦值。12.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，paab，abc60，bca90，点d，e分别在棱pb，pc上，且debc.（1）求证：bc平面pac；（2）当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成角的正弦值。3.2.5二面角及其度量编写人：袁丽萍审核人：吴瑞霞【知识导引】请同学们回顾直线和平面所成的角的定义，尝试对平面与平面所成的角做出定义，并区别两种角的范围。【自学导拨】1.平面内的一条直线把平面分成两部分，都叫做半平面。2.二面角从图形叫做二面角，这条直线叫做，叫做二面角的面，棱为，两个面分别为，的二面角，记作，若，则二面角也可以记作，也可记作。3.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点o，在两半平面内分别作射线oa，ob，则叫做二面角的平面角。4.二面角的范围设二面角为，则.【思路与方法技巧】例1.pa平面abc，acbc，paac1，bc，求二面角apbc的余弦值。例2.在底面为直角梯形的四棱锥sabcd中，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，求平面scd与平面sab所成二面角的余弦值。例3.将一幅三角板按如图的方法拼接，设bc6，bac90，abac，bcd90，bdc60，再把三角板abc沿bc折起，使两块三角板所在的平面互相垂直。（1）求证：平面abd平面acd；（2）求二面角abdc的大小。例4.在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别是dd1，bb1的中点，求截面aec1f与侧面bcc1b1所成角的余弦值（取正值）【巩固练习】1.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是bb1和dd1的中点，则平面ecf与平面abcd的夹角的余弦值为（）a.b.c.d.2.自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是（）a.相等b.互为补角c.互为余角d.相等或互为补角3.把矩形abcd沿对角线bd折成二面角abdc，若ab1，ad，ac，则平面abd与平面bcd的夹角为（）a.30b.60c.120d.904.二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab，已知ab4，ac6，bd8，cd，则该二面角的大小为（）a.150b.45c.60d.1205.直角三角形abc的斜边ab在平面内，直角顶点c在内的射影是c，则是（）a.直角三角形b.钝角三角形c.锐角三角形d.各种情况都有可能6.如图所示，在边长为的中，adbc，沿ad将折起，若折起后b、c两点间距离为，则二面角badc的大小为（）a.30b.45c.60d.907.在直三棱柱abca1b1c1中，底面为正三角形，若aa1ab1，e为棱bb1的中点，则平面aec与平面abc所成锐二面角的大小为。8.abcd是正方形，pa平面abcd，在平面pab，pbc，pda和abcd中，请一一写出相互垂直的平面：9.如图，a是直二面角的棱ef上的点，ab，ac分别是，内的射线，eab30，eac45，则bac的余弦值为。10.如图，正三棱柱abca1b1c1中，d是bc的中点，aa1ab1，求二面角bab1d的余弦值。11.如图，已知四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，papd，底面abcd为矩形，ab，ad1，直线pc与平面abcd所成角的大小为30，f是线段ab的中点。（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）求二面角pfcb的大小。12.已知空间一点p到二面角的两个半平面所在平面的距离分别是和4，到棱的距离为，求二面角的大小。3.2.6距离【知识导引】在直角坐标平面内（1）点与间的距离.（2）点到直线：的距离.（3）直线：与：间的距离.【自学导拨】1.图形与图形的距离一个图形内的与另一个图形内的的距离中的，叫做图形与图形的距离。2.点到平面的距离（1）连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，最短。（2）一点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离。3.直线与它的平行平面的距离（1）如果一条直线平行于平面，则直线上的各点到平面所作的垂线段，即。（2）一条直线上的到与它平行的平面的，叫做直线与这个平面的距离。4.两个平行平面的距离（1）与两个平行平面同时，叫做两个平面的公垂线，公垂线，叫做两个平面的公垂线段。（2）两个平行平面的，叫做两个平行平面的距离。【思路方法技巧】例1.在二面角中，且，cd，b，且ab，cd的夹角为60，若abbccd1，求a与d两点间的距离。例2.已知abcd是边长为4的正方形，e，f分别是ab，ad的中点，cg垂直于abcd所在的平面，且cg2，求点b到平面efg的距离。例3.如图，正四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa13，底面边长ab2，e，f分别为棱bc，b1c1的中点。【巩固练习】1.空间直角坐标系中，已知，那么点c到线段ab中点的距离是（）a.1b.c.2d.2.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为，点e是a1b1的中点，则点a到直线be的距离是（）a.b.c.d.3.正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，o是底面a1b1c1d1的中心，则o到平面abc1d1的距离为（）a.b.c.d.4.直线上有两点a，b到平面的距离相等且不等于零，则与（）a.平行b.相交c.重合d.平行或相交5.在平面直角坐标系中，设，沿轴把直角坐标平面折成120的二面角后，则a，b两点间的距离为（）a.b.c.d.6.在三棱柱abca1b1c1中，ab2，aa11，则点a到平面a1bc的距离为（）a.b.c.d.7.二面角为60，此二面角内的一点p到平面，的距离分别是1cm，2cm，则点p到的距离是（）a.b.c.d.8.从平面外一点p引直线与相交，使点p与交点的距离等于1，则这样的直线（）a.仅可作两条b.可作无数条c.可作一条或无数条不能作d.仅可作一条9.平面内的mon60，po是的斜线，po3，pompon45，则点p到平面的距离为。10.已知矩