广东省茂名市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，3，5，b=2，4，6，则（ua）b为（）a2b4，6c1，3，5d2，4，62（5分）i为虚数单位，则z=的虚部是（）aib1c1di3（5分）在abc中，内角a和b所对的边分别为a和b，则ab是sinasinb的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a1a3=25，则a2等于（）a5b25c25d5或55（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）ay=sinxby=cy=x3dy=lg6（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）a0b2c4d57（5分）若f（x）=x+（x2）在x=n处取到最小值，则n的值为（）ab3cd48（5分）已知l、m是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）a若l，则lb若l，则lc若lm，m，则ld若l，m，则lm9（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的s是（）a0bc1d110（5分）设函数y=f（x）在r上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x22x2，p=1，则下列结论成立的是（）afpf（0）=ffp（0）bfpf（1）=ffp（1）cfp f（2）=fpfp（2）dff（2）=fpfp（2）二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为12（5分）在区间2，2上随机取一个数x，使得函数f（x）=+有意义的概率为13（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点a位椭圆e：+=1（ab0）的左顶点，点b、c在椭圆上，若四边形oabc为平行四边形，且oab=45，则椭圆e的离心率等于（二）选做题：14-15两题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，曲线=sin与=cos（0，0）的交点的极坐标为【几何证明选讲】15（几何证明选讲选做题）如图，圆o的半径为5cm，点p是弦ab的中点，op=3cm，弦cd过点p，且，则cd的长为cm三、解答题16（12分）已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（xr，o），f（）=（1）求f（x）的解析式；（2）若f（）=，a（，），求sina的值17（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”（1）计算男志愿者的平均身高（保留一位小数）；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5个人选2人，求至少有1人是“高个子”的概率18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，addc，db平分adc，e为pc的中点，ad=cd=1，db=2，pd=2（1）证明：pa平面bde；（2）证明：ac平面pbd；（3）求三棱锥bade的体积19（14分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，且2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*）数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*）b3=5，其前9项和为63（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=+，数列cn的前n项和为tn，证明：tn2n320（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点f（0，1），直线l：y=1，点p在直线l上移动，r是线段pf与x轴的交点，过点r，p分别作直线l1，l2，使得l1pf，l2l，l1l2=q（1）求动点q的轨迹c的方程；（2）设n为轨迹c上的动点，是否在y轴上存在定点e，使得以ne为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点e和弦长；若不存在，请说明理由21（14分）设函数f（x）=lnxx2+ax（1）若函数f（x）在（0，1上单调递增，试求a的取值范围；（2）设函数f（x）在点c（x0，f（x0）（x0为非零常数）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方广东省茂名市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，2，3，5，b=2，4，6，则（ua）b为（）a2b4，6c1，3，5d2，4，6考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：先求出a的补集，从而求出（ua）b，进而得到答案解答：解：ua=4，6，（ua）b=4，62，4，6=4，6，故选：b点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题2（5分）i为虚数单位，则z=的虚部是（）aib1c1di考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1i，可得它的虚部解答：解：z=i（1+i）=1i，故它的虚部为1，故选：b点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）在abc中，内角a和b所对的边分别为a和b，则ab是sinasinb的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：在三角形中，若ab，由正弦定理，得sinasinb若sinasinb，则正弦定理，得ab，根所以，ab是sinasinb的充要条件故选：c点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键4（5分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a1a3=25，则a2等于（）a5b25c25d5或5考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：设等比数列an的公比为q0，a1a3=25，=25，a1q=5=a2故选：a点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题5（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）ay=sinxby=cy=x3dy=lg考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据正弦函数，指数函数，幂函数，对数函数的奇偶性和单调性，结合复合函数的单调性“同增异减”的原则，逐一判断可得答案解答：解：a是奇函数但不是增函数；b既不是奇函数也不是偶函数；c既是奇函数又是增函数；d是偶函数故选：c点评：本题考查的知识点是函数单调性的判定与证明，函数奇偶性的判定，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键6（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）a0b2c4d5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即a（2，1）将a的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+1=5即z=2x+y的最大值为5故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7（5分）若f（x）=x+（x2）在x=n处取到最小值，则n的值为（）ab3cd4考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解：x2，f（x）=x+=（x2）+2+2=4，当且仅当x=3时取等号n=3故选：b点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题8（5分）已知l、m是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）a若l，则lb若l，则lc若lm，m，则ld若l，m，则lm考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：阅读型分析：分别举出三个错误选项中的反例，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，c选项中直线l与平面或相交或包含关系，得到结论解答：解：当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，故a不正确，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，故b不正确，c选项中直线l与平面或相交或包含关系，故c不正确，总上可知d是一个正确答案，故选d点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，是一个基础题，这种题目只要举出不正确选项中的反例就可以确定结论，注意题目中包含的线和面比较多，用实物演示可以更加形象9（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的s是（）a0bc1d1考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现s值的周期为6，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的s值解答：解：由程序框图知：n=1，第1次循环s=，n=2；第2次循环s=0，n=3；第3次循环s=1，n=4；第4次循环s=，n=5，第5次循环s=1，n=6；第6次循环s=0，n=7；第7次循环s=，n=8，第8次循环s=0，s值的周期为6，2016=6*336，跳出循环的k值为2016，输出的s=1故选：d点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题10（5分）设函数y=f（x）在r上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x22x2，p=1，则下列结论成立的是（）afpf（0）=ffp（0）bfpf（1）=ffp（1）cfpf（2）=fpfp（2）dff（2）=fpfp（2）考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据p界函数的定义求出f1（x）=，从而根据已知函数解析式求函数值，进行验证各选项的正误即可解答：解：根据题意；f（0）=2，f1（0）=2，f1f（0）=f1（2）=1，ff1（0）=f（2）=6，a错误；f（1）=3，f1（1）=3，f1f（1）=f1（3）=1，ff1（1）=f（3）=13，b错误；f（2）=2，f1（2）=2，f1f（1）=f1（2）=1，f1f1（2）=f1（2）=1，c正确；f（2）=6，f1（2）=1，ff（2）=f（6）=22，f1f1（2）=f1（1）=3，d错误故选c点评：考查对p界函数的理解与运用，已知函数解析式能够求出函数值二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案解答：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为s=212+22+212=3+4故答案为：3+4点评：本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题12（5分）在区间2，2上随机取一个数x，使得函数f（x）=+有意义的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意，只要求出区间的长度以及满足函数有意义的x 的区间长度，利用几何概型的公式解答解答：解：由题意，区间2，2的长度为4，使得函数f（x）=+有意义的x的范围为2，1，区间长度为3，由几何概型的公式得使得函数f（x）=+有意义的概率为；故答案为：点评：本题考查了几何概型的公式的运用；关键是明确所求概率模型，然后由概率模型公式解答13（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点a位椭圆e：+=1（ab0）的左顶点，点b、c在椭圆上，若四边形oabc为平行四边形，且oab=45，则椭圆e的离心率等于考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先利用椭圆的对称性和oabc为平行四边形，可以得出b、c两点是关于y轴对称，进而得到bc=oa=a；设b（，y）c（，y），从而求出|y|，然后由oab=cox=45，利用tan45=，求得a=b，最后根据a2=c2+b2得出离心率解答：解：ao是与x轴重合的，且四边形oabc为平行四边形，bcoa，则b、c两点的纵坐标相等，b、c的横坐标互为相反数，b、c两点是关于y轴对称的由题知：oa=a四边形oabc为平行四边形，则bc=oa=a，可设b（，y）c（，y），代入椭圆方程解得：|y|=b，设d为椭圆的右顶点，由于oab=45，四边形oabc为平行四边形，则cox=45，对c点：tan45=1，解得a=b，根据a2=c2+b2得a2=c2+a2，即有c2=a2，e2=，即e=故答案为：点评：本题考查了椭圆的对称性以及简单性质，由椭圆的对称性求出b、c两点的纵坐标，进而得到a=b是解题的关键，属于中档题（二）选做题：14-15两题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，曲线=sin与=cos（0，0）的交点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：曲线=sin与=cos（0，0）分别化为2=sin，2=cos可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y0，x2+y20联立解得x，y，再利用极坐标即可解答：解：曲线=sin与=cos（0，0）分别化为2=sin，2=cos可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y0，x2+y20联立解得x=y=交点p，化为极坐标为=，极坐标为：故答案为：点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点，考查了计算能力，属于基础题【几何证明选讲】15（几何证明选讲选做题）如图，圆o的半径为5cm，点p是弦ab的中点，op=3cm，弦cd过点p，且，则cd的长为cm考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；直线与圆分析：连接oa，根据垂径定理可知opab，ap=ab，在rtaop中运用勾股定理即可求出ap的长，再利用相交弦定理，可得结论解答：解：连接oa，点p是弦ab的中点，opab，ap=ab，oa=5cm，op=3cm，在rtaop中，ap=4appb=cppd16=cd=故答案为：点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，考查相交弦定理，属于基础题三、解答题16（12分）已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（xr，o），f（）=（1）求f（x）的解析式；（2）若f（）=，a（，），求sina的值考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）首先根据f（）=化简函数解析式，得到=，然后求解函数表达式；（2）根据f（）=，得到sin（）=，然后运用诱导公式和同角的平方关系，计算即可得到解答：解：（1）f（）=sincos+cossin=cos=0，=，f（x）=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+）f（x）的表达式f（x）=sin（2x+）；（2）f（）=sin2（）+=，sin（）=，即cos=，即有cos=，（，），sin=点评：本题重点考查了同角的平方关系、诱导公式的运用和两角和与差的正弦公式，考查运算能力，属于基础题17（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”（1）计算男志愿者的平均身高（保留一位小数）；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5个人选2人，求至少有1人是“高个子”的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）根据茎叶图，利用平均数公式能求出男志愿者的平均身高（2）根据分层抽样和茎叶图可知，抽取的5人中“高个子”为2人，“非高个子”有3人，一一列举出所有的基本事件，找到可满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（1）根据茎叶图，得男志愿者的平均身高为：（159+169+170+175+176+182+187+181）176.1（cm），（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5=2人，”非高个子”有3人，设高个子”用a，b表示，非高个子”用c，d，e表示，则基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，至少有1人是“高个子”ab，ac，ad，ae，bc，bd，be共7种，故至少有1人是“高个子”的概率p=点评：本题考查了茎叶图和平均数，分层抽样，古典概率问题，属于基础题18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，addc，db平分adc，e为pc的中点，ad=cd=1，db=2，pd=2（1）证明：pa平面bde；（2）证明：ac平面pbd；（3）求三棱锥bade的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）设acbd=f，连接ef，f为ac的中点，从而paef，由此能证明pa平面bde（2）由等腰三角形性质得acbd，由线面垂直得pdac，由此能证明ac平面pbd（3）由vbade=veabd，利用等积法能求出三棱锥bade的体积解答：（1）证明：如图，设acbd=f，连接ef，ad=cd，且db平分adc，f为ac的中点，又e为pc的中点，ef为pac的中位线，paef，又ef平面bde，pa平面bde，pa平面bde（2）证明：ad=cd，且db平分adc，acbd，又pd平面abcd，ac平面abcd，pdac，又pdbd=d，且pd平面pbd、bd平面pbd，ac平面pbd（3）解：adcd，ad=cd=1，ac=，由（1）知f为ac中点，af=，由（2）知afbd，sabd=1，又pd平面abcd，pd=2，e为pc中点，e到平面abd的距离为h=，vbade=veabd=，三棱锥bade的体积为点评：本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用19（14分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，且2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）（nn*）数列bn满足bn+22bn+1+bn=0（nn*）b3=5，其前9项和为63（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=+，数列cn的前n项和为tn，证明：tn2n3考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）由2nsn+12（n+1）sn=n（n+1）得数列是首项为1，公差为的等差数列，然后由等差数列的通项公式求得，进一步求得数列an的通项公式，由bn+22bn+1+bn=0可得数列bn是等差数列，由已知求出公差，则数列bn的通项公式可求；（2）由（1）知，cn=+=，然后利用错位相减法求出，设an=tn2n，则，利用作差法证明an单调递增，故，再由可证答案解答：（1）解：由2nsn+12（n+1）sn=n（n+1），得，数列是首项为1，公差为的等差数列，因此，于是，又a1=1，an=nbn+22bn+1+bn=0，数列bn是等差数列，由，b3=5，得b7=9bn=b3+（n3）1=n+2；（2）证明：由（1）知，cn=+=，tn=c1+c2+cn=设an=tn2n，则又=an单调递增，故而故有点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题20（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点f（0，1），直线l：y=1，点p在直线l上移动，r是线段pf与x轴的交点，过点r，p分别作直线l1，l2，使得l1pf，l2l，l1l2=q（1）求动点q的轨迹c的方程；（2）设n为轨迹c上的动点，是否在y轴上存在定点e，使得以ne为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点e和弦长；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得r是线段pf的中点，且qrpf，可得|qp|=|qf|，由抛物线的定义可得：动点q的轨迹c是以点f为焦点，直线l为准线的抛物线，即可得出轨迹c的方程（2）假设在y轴上存在定点e，使得以ne为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值设以ne为直径的圆被直线y=3截得的弦为gh，设n（x，y），e（0，t），则圆心为m，圆心m到直线y=3的距离d=圆m的半径r=，及x2=4y，可得|gh|=2=，令t=4，即可得出解答：解：（1）由题意可得r是线段pf的中点，且qrpf，|qp|=|qf|，动点q的轨迹c是以点f为焦点，直线l为准线