高考数学 核心考点大冲关 专题演练30 圆锥曲线的综合应用题库精选 新人教A版.doc

考点30 圆锥曲线的综合应用【考点分类】热点一 直线与圆锥曲线的位置关系1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知椭圆的焦距为4，且过点.（）求椭圆c的方程；（）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由.2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】如图，抛物线的焦点为f，准线与x轴的交点为a.点c在抛物线e上，以c为圆心，为半径作圆，设圆c与准线交于不同的两点m，n.（i）若点c的纵坐标为2，求；（ii）若，求圆c的半径.由，得设，则：3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.(i)求椭圆的方程;(ii) 为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.因为为椭圆上一点，所以，5.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设椭圆的左焦点为f, 离心率为, 过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设a, b分别为椭圆的左右顶点, 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c, d两点. 若, 求k的值. 解：()设，由知，过点f且与x轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是=，解得，又，从而，所以椭圆的方程为.()设点由f(-1,0)得直线cd的方程为,代入椭圆方程消去，整理得，求解可得，因为，所以+=，由已知得=8，解得.6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知抛物线的顶点为，焦点 （）求抛物线的方程. （) 过点作直线交抛物线于a、b两点.若直线ao、bo分别交直线l：于两点， 求|mn|的最小值. 7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.（）求圆的方程；（）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，.当最大时，求直线的方程.，所以圆的方程为；【方法总结】1.直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，要注意消元后方程的二次项系数是否含参，若含参需讨论，同时充分利用根与系数的关系进行整体运算变形有时对于选择，填空题，也常利用几何条件，利用数形结合的方法求解2.涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率比较两种方法，用“点差法”计算量较小，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验热点二 轨迹问题8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆经过点.（）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程.由，得所以，点的轨迹方程为，其中，.13分9.【2013年全国高考新课标（i）理科】已知圆m：(x1)2y2=1，圆n：(x1)2y2=9，动圆p与圆m外切并与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线 c（）求c的方程；（）l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|. 10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】如图，抛物线（i）；（ii）11. (2012年高考江西卷理科20) 已知三点o（0,0），a（-2,1），b（2,1），曲线c上任意一点m（x，y）满足.（1） 求曲线c的方程；（2）动点q（x0，y0）（-2x02）在曲线c上，曲线c在点q处的切线为l向：是否存在定点p（0，t）（t0），使得l与pa，pb都不相交，交点分别为d,e，且qab与pde的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。解：（1）依题意可得，12.(2012年高考四川卷理科21) (本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.所以的取值范围是. 12分【方法总结】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点p(x，y)依赖于另一动点q(x0，y0)的变化而变化，并且q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；热点二 最值与范围问题13.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：右焦点的直线交于a,b两点，p为ab的中点，且op的斜率为.()求m的方程；（）c,d为m上的两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形面积的最大值。解：()设则，（1）（2）得：，因为，设，因为p为ab的中点，且op的斜率14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点（）求椭圆的方程；（）求面积取最大值时直线的方程.解：（）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；（）因为直线，且都过点，所以设直线，直线，所以圆心到直线的距离为15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程；() 当点为直线上的定点时,求直线的方程；() 当点在直线上移动时,求的最小值.解：() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得16(2012年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为，点p在椭圆上且异于两点，为坐标原点.（）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若，证明：直线的斜率满足.17.(2012年高考浙江卷理科21) (本小题满分15分)如图，椭圆c：(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分()求椭圆c的方程；() 求abp的面积取最大时直线l的方程【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)求最值常见的解法有两种：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值热点四 定值和定点问题18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点a(4,0), 且在y轴上截得的弦mn的长为8. () 求动圆圆心的轨迹c的方程; () 已知点b(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p, q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. 19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】椭圆： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（）在（）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为.若，试证明为定值，并求出这个定值.20.(2012年高考湖南卷理科21)（本小题满分13分）www.z%zstep.co*&m在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在c2：（x-5）2y2=9外，且对c1上任意一点m，m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值.（）求曲线c1的方程；（）设p(x0,y0)（y03）为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x=4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值.解：（）解法1 ：设m的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.所以，当p在直线上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6400.21.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分) 如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点（1）求直线与直线交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值22.（2012年高考江苏卷19） （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率abpoxy（第19题）（1）求椭圆的离心率；（2）设a，b是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值 设、的方程分别为，, 由得， , 是定值.【方法总结】1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关热点五 存在性问题23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】如图，椭圆经过点p（1. ），离心率e=，直线l的方程为x=4.（1） 求椭圆c的方程；（2） ab是经过右焦点f的任一弦（不经过点p），设直线ab与直线l相交于点m，记pa，pb，pm的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.解： 代入得24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】已知a、b、c是椭圆w：上的三个点，o是坐标原点.(i)当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积.(ii)当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由.25.(2012年高考湖北卷理科21)（本小题满分13分）设a是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点a与x轴垂直的直线，d是直线i与x轴的交点，点m在直线l上，且满足丨dm丨=m丨da丨（m0,且m1）。当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线c。（i）求曲线c的方程，判断曲线c为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（）过原点且斜率为k的直线交曲线c于p、q两点，其中p在第一象限，它在y轴上的射影为点n，直线qn交曲线c于另一点h，是否存在m，使得对任意的k0，都有pqph？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 26. (2012年高考广东卷理科20)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：的离心率e=，且椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oab的面积；若不存在，请说明理由。又，此时点.【方法总结】化解探索性问题的方法(1)先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性若证明某结论不存在，也可以采用反证法(2)根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明就是由特殊到一般的指导思想【考点剖析】一明确要求1.了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2理解直线与圆锥曲线的位置关系3理解数形结合思想的应用.二命题方向直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.预测：本节内容仍是2014年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难内容会围绕直线与圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查设计出探究性、存在性问题也属正常分值1216分会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查.三规律总结1.一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数2.一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”3.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用4.求参数的取值范围根据已知条件建立等式或不等关系，再求参数的取值范围【考点模拟】一扎