《章末总结》课件.ppt

3 5章末总结 课件 一 合情推理与演绎推理1 归纳推理和类比推理 1 定义及特征 2 对归纳推理的认识 归纳是依据特殊现象推断一般现象 因而 归纳所得的结论超越了前提所包括的范围 归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象 因而结论具有猜测的性质 归纳的前提是特殊的情况 所以归纳是立足于观察 经验或实验的基础之上 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它具有由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对于科学的发现是十分有用的 一般地 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题就越可靠 3 对类比推理的认识 类比是用人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究中的事物的属性 它以原有认识作为基础 类比出新的结果 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 类比的结果具有猜测性 不一定可靠 一般情况下 如果类比的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的命题就越可靠 类比推理的结论具有偶然性 既可能真 也可能假 它是一种由特殊到特殊的认识过程 具有十分重要的实用价值 两个系统可作类比的前提是 它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上是一致的 因此 类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性 相似性 确切地表述出来 也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚 这不同于比喻 2 合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果 个人的经验和直觉 已有的事实和正确的结论 定义 公理 定理等 推测出某些结果的推理方式 3 演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 演绎推理的一般模式 三段论 1 大前提 已知的一般原理 M是P 2 小前提 所研究的特殊情况 S是M 3 结论 由一般原理对特殊情况做出判断 S是P 4 对演绎推理模式的认识 1 三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理 2 三段论推理的结论正确与否 取决于两个前提是否正确 推理形式 即S与M的包含关系 是否正确 3 运用三段论推理时 常可省略大前提或小前提 对于复杂的证明 也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提 辨析 合情推理与演绎推理归纳推理 由部分到整体 由个别到一般类比推理 由特殊到特殊演绎推理 由一般到特殊 2 合情推理的前提为真时 结论不一定为真 演绎推理的前提为真时 结论必定为真 3 演绎推理可以验证合情推理的结论 合情推理为演绎推理提供方向和思路 1 合情推理 二 综合法和分析法1 综合法 1 定义 从命题的条件出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 我们把这样的思维方法称为综合法 2 其推理方式可用框图表示其中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 Q1 Q2 表示中间结论 综合法常用的表达格式 P Q1 又 Q1 Q2 又 Qn Q 3 对综合法的认识 所谓综合法 是指 由因导果 的思维方法 即从已知条件出发 不断地展开思考 去探索结论的方法 综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式 已知 可知1 可知2 结论 综合法的每一步都是三段论 或其简略形式 大前提一定要正确 否则证明易出错 2 分析法 1 定义 从求证的结论出发 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理 定理等 我们把这样的思维方法称为分析法 2 其推理方式可用框图表示其中Q表示要证明的结论 3 对分析法的认识 所谓分析法 是指 执果索因 的思维方法 即从结论出发 不断地去寻找需知 直至达到已知事实为止的方法 分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式 结论 需知1 需知2 已知 使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以 分析 的语气对待的 因而证明格式上应体现出 分析 探讨性 要证 只需证 而非直接肯定结论 辨析 综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两种基本方法 两种方法各有优缺点 分析法解题方向较为明确 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简便地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后用综合法有条理地表述解题过程 三 反证法1 反证法是从否定结论入手 经过一系列的逻辑推理 导出矛盾 从而说明原结论正确 注意证明步骤和适用范围 2 对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导 综合法 甚至难于寻求到使之成立的充分条件 分析法 的 疑难 证明题 一般地 可在假设原命题不成立的前提下 经过正确的逻辑推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 备选答案 A合情推理B间接证明C归纳推理D综合法 A B C D 合情推理与演绎推理 技法点拨 合情推理与演绎推理的应用 1 归纳推理和类比推理是常用的合情推理 归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法 它在教学研究或数学学习中有着发现新知识 探索真理 预测答案 探索解题思路等重要的作用 类比推理是由特殊到特殊的推理 它以比较为基础 有助于启迪思维 触类旁通 拓宽知识 发现命题等 2 演绎推理是由一般到特殊的推理方法 又叫逻辑推理 演绎推理的前提是一般性原理 而结论是蕴含于前提之中的个别 特殊事实 在演绎推理中 前提和结论之间存在必然的联系 只要前提是真实的 推理形式是正确的 结论必定是正确的 典例1 1 给出一个 三角形 的数表如下 此表构成的规则是 第一行是0 1 2 999 以后下一行的数是上一行相邻两个数的和 问 第四行的数中能被999整除的数是什么 2 已知点O是 ABC内任意一点 连结AO BO CO并延长交边于A B C 则 这是一道平面几何题 其证明常采用 面积法 那么在空间四面体A BCD中存在怎样的结论 并证明 解析 1 首先找出第四行数的构成规律 通过观察 分析 可以看出 第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关 具体关系可以从上表看出 如果用an表示第四行的第n个数 那么an 8n 4 现在要找出an 8n 4 999k的an 显然k应是4的倍数 注意到第四行中最大的数是7980 999 8 所以k 4 由此求出第四行中能被999整除的数是999 4 3996 它是第四行的第 3996 4 8 499 项 即a499 3996 2 在四面体A BCD内 任取一点O 连结AO BO CO DO 并延长交对面于A B C D 则有证明 在四面体O BCD与A BCD中 同理有 想一想 解答本题 1 时应注意的问题是什么 解答本题 2 时应如何类比 提示 解答本题 1 时要充分发现数的规律 明确要求的数必须小于7980 本题 2 题干中给出了用面积法证明已知结论的提示 可类比用体积法证明要探索的结论 直接证明 技法点拨 综合法与分析法证题技巧 1 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 也是解决数学问题常用的思维方式 如果从解题的切入点的角度细分 直接证明方法可具体分为 比较法 代换法 放缩法 判别式法 构造函数法等 应用综合法证明问题时 必须首先想到从哪里开始起步 分析法就可以帮助我们克服这种困难 在实际证明问题时 可以把分析法和综合法结合起来使用 2 一般情况下是用分析法寻找解题思路 然后用综合法证明问题 它们相互转换 相互渗透 要充分利用这一辩证关系 在解题中综合法和分析法联合运用 转换解题思路 增加解题途径 典例2 求证 以过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦为直径的圆必与直线相切 证明 如图所示 过点A B分别作AA BB 垂直准线于点A B 取AB的中点M 作MM 垂直准线于点M 方法一 分析法 要证以AB为直径的圆与准线相切 只需证 MM AB 由抛物线的定义得 AA AF BB BF 所以 AB AA BB 因此只需证 MM 根据梯形的中位线原理可知上式是成立的 所以以过抛物线y2 2px焦点的弦为直径的圆必与直线相切 方法二 综合法 由题意知MM 为梯形AA B B的中位线 所以 MM AA BB 又AB过抛物线的焦点F 故 AA AF BB BF 由 知 MM AF BF AB 又MM A B 因此以AB为直径的圆与准线相切 故命题成立 归纳 综合法证题的关键点及分析法证题应注意的问题 提示 1 证题时要广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层递进 步步为营 由已知逐渐地引导到结论 2 当用综合法证明很困难时 可采用分析法 用分析法证题时注意步骤的书写 反证法 技法点拨 对反证法的认识 1 如果一个命题的结论难以直接证明时 可以考虑运用反证法 通过反设已知条件 经过逻辑推理 得出矛盾 从而肯定原结论成立 2 反证法着眼于命题的转换 改变了研究的角度和方向 使论证的目标更为明确 由于增加了推理的前提 原结论的否定 更易于开拓思路 因此对于直接论证较为困难的时候 往往采用反证法证明 所以反证法在数学证明中有着广泛的应用 3 反证法是高中数学的一种重要的证明方法 在不等式和立体几何的证明中经常用到 在高考题中也经常体现 它所反映出的 正难则反 的解决问题的思想方法更为重要 反证法主要证明 否定性 唯一性命题 至多 至少型问题 几何问题 典例3 已知a b c d R 且ad bc 1 求证a2 b2 c2 d2 ab cd 1 证明 假设a2 b2 c2 d2 ab cd 1 ad bc 1 a2 b2 c2 d2 ab cd ad bc a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad 0 2a2 2b2 2c2 2d2 2ab 2cd 2bc 2ad 0 a b 0 b c 0 c d 0 a d 0 a b c d 0 ad bc 0 这与已知矛盾 从而假设不成立 原命题成立 即a2 b2 c2 d2 ab cd 1成立 思考 反证法证题的理论基础是什么 证明时常犯的错误是什么 提示 1 理论基础是命题p与命题 p真假相反 2 在用反证法证明时常出现反设错误而导致证明错误 化归与转化的思想 技法点拨 化归与转化的思想 1 化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法 数学中一切问题解决都离不开化归与转化 化归与转化的原则是 将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的易解的或已解决的问题 将抽象的问题转化为具体的直观的问题 将复杂的问题转化为简单的问题 将一般性的问题转化为直观的问题 将实际问题转化为数学问题 使问题便于解决 2 在进行有关推理与证明时 当所研究问题不好证明时 常常将其转化为另一问题 使问题明朗 简单 如分析法 反证法等都是运用了这种思路 通过合理转化 往往能简捷地得到解题思路 典例4 已知函数f x 是 上的增函数 a b R 求证 若f a f b f a f b 则a b 0 证明 已知原命题的逆否命题为 已知f x 是 上的增函数 a b R 若a b 0 则f a f b f a f b 若a b 0 则a b b a f x 在 上是增函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 逆否命题为真 故原命题成立 归纳 证明本题的基本思路及易忽视的问题 提示 1 证明本题的思路为利用原命题与其逆否命题同真同假 证明其逆否命题成立 2 本题易出现直接证明原命题成立而导致思路受阻无法证明 跟踪训练 1 如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的 称为杨辉三角形 根据数组中的数构成的规律 其中的a所表示的数是 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 选C 根据数组中数的排列规律 不难发现除了每行两端的数据 其他数据都等于它 两肩 上的数字之和 故a 3 3 6 2 观察下列式子 归纳得出的一个一般的正确结论是 2 2 4 2 2 4 解析 观察各恒等式中的数之间的关系可归纳为 n 1 n是正整数 答案 3 在 ABC中 已知 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 求证 ABC为等腰三角形或直角三角形 证明 方法一 由条件可得a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 0 即a2cosAsinB b2sinAcosB 由正弦定理可得sin2AcosAsinB sin2BsinAcosB sinAsinB 0 sin2A sin2B 2A 2B或2A 2B A B或A B ABC为等腰三角形或直角三角形 方法二 由条件可得a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 0 即a2cosAsinB b2sinAcosB 由余弦定理和正弦定理得整理得a4 a2c2 b2c2 b4 0 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 ABC为等腰三角形或直角三角形 4 设a b c d是正数 求证下列三个不等式 a b c d a b c d ab cd a b cd ab c d 中至少有一个不正确 证明 假设不等式 都成立 因为a b c d都是正数 所以 与 相乘 得 a