高中数学 第一章立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质课件 北师大版必修2.ppt

6 2垂直关系的性质 1 直线与平面垂直的性质定理 做一做1如下图所示 在四棱锥s abcd中 底面四边形abcd是平行四边形 sc 平面abcd e为sa的中点 求证 平面ebd 平面abcd 证明 如下图所示 连接ac 与bd交于点f 连接ef f为 abcd的对角线ac与bd的交点 f为ac的中点 又e为sa的中点 ef为 sac的中位线 ef sc sc 平面abcd ef 平面abcd 又ef 平面ebd 平面ebd 平面abcd 2 平面与平面垂直的性质定理 做一做2下列说法中错误的是 a 如果 那么 内的所有直线都垂直 b 如果一条直线垂直于一个平面 那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线c 如果一个平面通过另一个平面的垂线 那么两个平面互相垂直d 如果 不垂直于 那么 内一定不存在垂直于 的直线解析 根据两平面垂直的性质定理 可知a错误 故选a 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 垂直于同一条直线的两条直线平行 2 垂直于同一条直线的两条直线垂直 3 垂直于同一个平面的两条直线平行 4 垂直于同一条直线的直线和平面平行 5 如果两个平面垂直 且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于第二个平面 那么该直线一定在第一个平面内 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一线面垂直的性质定理及其应用 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别在a1d ac上 且ef a1d ef ac 求证 ef bd1 分析 要证ef bd1 只需证明ef与bd1同垂直于某一个平面即可 由条件可知这里当然选择平面ab1c 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 连接ab1 b1c bd b1d1 dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd 且bd dd1 d ac 平面bdd1b1 bd1 平面bdd1b1 bd1 ac 同理 bd1 b1c b1c ac c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又ef ac 且ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m是ab上一点 n是a1c的中点 mn 平面a1dc 求证 mn ad1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 add1a1为正方形 ad1 a1d 又cd 平面add1a1 ad1 平面add1a1 cd ad1 a1d cd d ad1 平面a1dc 又mn 平面a1dc mn ad1 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二面面垂直的性质定理及其应用 例2 如图所示 ab是 o的直径 c是圆周上不同于a b的任意一点 平面pac 平面abc 1 判断bc与平面pac的位置关系 并证明 2 判断平面pbc与平面pac的位置关系 分析 1 由于bc ac 所以利用面面垂直的性质定理可得到bc与平面pac是垂直关系 2 利用面面垂直的判定定理解决 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解 1 bc 平面pac 证明如下 ab是 o的直径 c是圆周上不同于a b的任意一点 acb 90 即bc ac 又 平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac bc 平面abc bc 平面pac 2 bc 平面pbc bc 平面pac 平面pbc 平面pac 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练2如图所示 在四棱锥p abcd中 侧面pad 底面abcd 侧棱pa pd 底面abcd是直角梯形 其中bc ad bad 90 求证 平面pab 平面pcd 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 侧面pad 底面abcd 平面pad 平面abcd ad ab 底面abcd 且ab ad ab 平面pad pd 平面pad ab pd 又pa pd 且pa 平面pab ab 平面pab ab pa a pd 平面pab pd 平面pcd 平面pab 平面pcd 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三垂直关系的综合问题 例3 如图 在rt abc中 b 90 pa 平面abc 过点a作ae pb于点e 求证 ae pc 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 ab bc pa ab a bc 平面pab bc 平面pbc 平面pbc 平面pab 又 平面pbc 平面pab pb ae pb ae 平面pbc 又 pc 平面pbc ae pc 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练3如图 1 所示 在直角梯形abcd中 adc 90 cd ab ab 4 ad cd 2 将 adc沿ac折起 使平面adc 平面abc 得到几何体d abc 如图 2 所示 求证 bc 平面acd 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 在题图 1 中 可得ac bc 2 从而ac2 bc2 ab2 故ac bc 如图所示 取ac中点o 连接do 则do ac 平面adc 平面abc 平面adc 平面abc ac do 平面acd od 平面abc od bc 又ac bc ac od o bc 平面acd 探究一 探究二 探究三 易错辨析 因逻辑推理不严谨而致误典例求证 如果一个平面与另一个平面的垂面平行 那么这两个平面互相垂直 已知 求证 探究一 探究二 探究三 易错辨析 错解 设 a 在 内作直线m a 交a于点a a m m a m 在 内存在直线n 使n m n m m n n 正解 证明m 同上 在 内任取一点p 则直线m与点p确定一个平面 设 n m n m n m n 又 n 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1234 1 若直线l 平面 直线m 平面 则l m的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 垂直答案 d 1234 2 若平面 平面 且平面 内的一条直线a垂直于平面 内的一条直线b 则 a 直线a必垂直于平面 b 直线b必垂直于平面 c 直线a不一定垂直于平面 d 过a的平面与过b的平面垂直 1234 解析 如图 1 所示 a a b 但a与 不垂直 故a错c对 如图 2 所示 a a b 这时b与 不垂直 故b错 容易判断d项也错 答案 c 1234 3 已知pa垂直于平行四边形abcd所在的平面 若pc bd 则平行四边形abcd一定是 解析 由pa 平面abcd 得pa bd 又pc bd pa pc p 所以bd 平面pac 于是bd ac 故abcd一定为菱形 答案 菱形 1234 4 如图所示 正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直 af be af ef af ef be 求证 ea 平面abcd 1234 证明 设af