20010年（福建.理）含详解.doc

2010年高考试题数学（理）（福建卷）解析解析（一）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1的值等于（ ）ABCD2以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A B C D3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A6 B7 C8 D94函数的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D37若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )8设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A B4 C D2A B CD【答案】C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。二、填空题11在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。【答案】0128KS*5U.C#O%14已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。15已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。其中所有正确结论的序号是 。0149P所以=。17（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为概率为。（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。KS*5U.C#O%（）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。KS*5U.C#O%（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。19（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20（本小题满分14分）（）已知函数，。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段（）对于一般的三次函数（）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。21本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，且，（）求实数的值；（）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。KS*5U.C#O%（）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。（1）选修4-2：矩阵与变换【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。KS*5U.C#O%【解析】（）由题设得，解得；（）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。（2）选修4-4：坐标系与参数方程【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。【解析】（）由得即（）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=。（3）选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。【解析】（）由得，解得，KS*5U.C#O%又已知不等式的解集为，所以，解得。（）当时，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。解析（二）【2010年福建高考试题解析】（理科数学）一、选择题1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。，。【解析】(2) 【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。的焦点为，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。【解析】抛物线的焦点为，又圆过原点，所以，方程为。(3) 【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。xye2-4-3【解析】由，得到，从而，所以，因此当取得最小值时，.(4) 【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。 KS*5U.【解析】，绘制出图像大致为所以零点个数为2。(5) 【答案】C【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。【解析】s=0i=1a=2i=4输出i=4，选择C(6) 【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活，全面地考查了考生对知识的理解。 KS*5U.【解析】若FG不平行于EH，则FG与EH相交，焦点必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台与这个图形。【答案】C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。 KS*5U.【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C，得到，当时，所以11、 【答案】【命题意图】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大。 KS*5U.【解析】，正确；取，则；，从而，其中，从而，正确；，假设存在使，即存在，又，变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在，所以该命题错误；根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是(3) 解答题16、 【解析】（1），则有，因此A包含的基本事件为：（2） 的可能去取为，则的可能取值为，因此得分布列为：0149数学期望为【命题意图】本题考查学生对概率分布的理解以及数学期望的计算，难度较易。 KS*5U.【点评】本题作为解答题的第一题具备送分的作用，考生只要掌握了基本的计算知识，能够轻松应对。（ii）过O点做OT平行于，则由有，所以即为面在内的投影，设，则，设二面角的平面角大小为，则从而，故【命题意图】本题从棱柱出发，综合地考查了学生线面垂直、面面垂直的证明方法以及二面角、简单概率的求解，综合性强，灵活度大，是一道较好的题目。【点评】在完成立体几何题目时，考生应当尽量把握从已知到未知的推理，发挥自己的空间思维能力，转化图形。正确求解。 KS*5U.(19) 【解析】（1）为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，从而（海里/时）（2） 讨论：（1）若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇时，根据小艇的速度限制，有OGAG，但实际上，这种情况中AGOG，所以不符合要求舍去。轮船与小艇的交点必在T、B之间。（2） 若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，等价于OABTGH从而所以当时，也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。【命题意图】本题从三角函数出发，考查了学生运用知识解决实际问题的能力、求解一元二次方程最值问题的能力以及综合分析问题的能力。【点评】对待应用题没有什么通解通法，只要你不畏惧困难，认真读题、审题，通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关系，总是能够轻松解题。 KS*5U.20、 【解析】（1），令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为（2）(i)，因此过点的切线方程为： (ii)【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(2)(i)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，因此过点的切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以【命题意图】本题从函数角度出发，考查了积分运算、单调性、求导等基本能力，又综合地考查了学生分析问题、解决问题的能力。计算量较大，不容易正确。【点评】该题思维量较小，计算量却较为庞大，对考生有一定的区分作用。21、 （1）（矩阵变换）【解析】（1），对应系数有；（2）取上一点，设经过变换后对应点为，则，从而，所以经过变换后的图像方程为。【命题意图】本题考查的是学生对矩阵运算理解与掌握，要求考生能够正确进行运算，熟悉矩阵的基本运算方法。 KS*5U.【点评】本题相对基础，对于学生提高自信心有一定帮助。 KS*5U.（2） （坐标系与参数方程）【解析】（1），所以；（2）直线的一般方程为，容