高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课件 理.ppt

第4节直接证明与间接证明 数学归纳法 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 综合法和分析法有什么区别与联系 提示 1 分析法的特点是从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻求它成立的充分条件 2 综合法的特点是从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它成立的必要条件 3 分析法易于探索解题思路 综合法易于过程表述 在应用中视具体情况择优选之 2 用反证法证明问题的一般步骤有哪些 提示 1 反设 否定结论 假定所要证的结论不成立 而结论的反面成立 2 归谬 推导矛盾 将 反设 作为条件 由此出发 经过正确的推理导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 3 定论 肯定结论 矛盾产生的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 3 数学归纳法两个步骤有什么关系 提示 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 第一步中 验算n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 知识梳理 1 直接证明 1 综合法定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出的证明方法 2 分析法定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定理 定义 公理等 为止的证明方法 2 间接证明 反证法一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 所要证明的结论成立 判定一个明显成立的条件 不成立 假设错误 原命题成立 3 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 n k k n0 k n n k 1 夯基自测 1 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法 b 综合法 c 综合法 分析法结合使用 d 间接证法 解析 在证明过程中使用了大量的公式和结论 有平方差公式 同角的关系式 所以在证明过程中 使用了综合法的证明方法 b 解析 应选择分析法 b 3 用反证法证明命题 若a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 a a b都能被5整除 b a b都不能被5整除 c a b不都能被5整除 d a能被5整除 解析 至少有一个 的反面应是 一个都没有 故应选b b 答案 2k 答案 b 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 综合法 反思归纳 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 考点二 分析法 证明 因为m 0 所以1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 反思归纳 1 分析法是 执果索因 的证明方法 它是从结论入手 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论 再说明所要证明的数学问题成立 反证法 考点三 反思归纳 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 2 利用反证法进行证明时 一定要对所要证明的结论进行否定性的假设 并以此为条件进行归谬 得到矛盾 则原命题成立 数学归纳法 考点四 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 反思归纳 1 利用数学归纳法可以证明与n有关的命题 也可以解决与正整数n有关的探索性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 证明的关键是假设当n k k n k n0 时命题成立 由归纳假设推证n k 1时命题成立 2 证明n k 1 k n k n0 时命题成立的常用技巧 分析n k 1时命题与n k时命题形式的差别 确定证明目标 证明恒等式时常用乘法公式 因式分解 添拆项配方等 证明不等式常用分析法 综合法 放缩法等 备选例题 例1 2014高考北京卷 对于数对序列p a1 b1 a2 b2 an bn 记t1 p a1 b1 tk p bk max tk 1 p a1 a2 ak 2 k n 其中max tk 1 p a1 a2 ak 表示tk 1 p 和a1 a2 ak两个数中最大的数 1 对于数对序列p 2 5 4 1 求t1 p t2 p 的值 解 1 t1 p 2 5 7 t2 p 1 max t1 p 2 4 1 max 7 6 8 2 记m为a b c d四个数中最小的数 对于由两个数对 a b c d 组成的数对序列p a b c d 和p c d a b 试分别对m a和m d两种情况比较t2 p 和t2 p 的大小 3 在由五个数对 11 8 5 2 16 11 11 11 4 6 组成的所有数对序列中 写出一个数对序列p使t5 p 最小 并写出t5 p 的值 只需写出结论 解 2 t2 p max a b d a c d t2 p max c d b c a b 当m a时 t2 p max c d b c a b c d b 因为a b d c d b 且a c d c b d 所以t2 p t2 p 当m d时 t2 p max c d b c a b c a b 因为a b d c a b 且a c d c a b 所以t2 p t2 p 所以无论m a还是m d t2 p t2 p 都成立 3 数对 4 6 11 11 16 11 11 8 5 2 的t5 p 最小 t1 p 10 t2 p 26 t3 p 42 t4 p 50 t5 p 52 例3 是否存在常数a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n成立 证明你的结论 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 正确选用合理的数学证明方法 典例 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 答题模板 第一