流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型 [附件3 分析.doc

附件3流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型分析与说明杨科中国 成都 610017E-mail: 以符号/为首者为分析说明(红色痕迹)目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见 流形上的散度公式证明 引言2)1.流形上的旋度公式和式极限证明 . 12.流形上的旋度公式和式极限数值模型. 16参考书籍. 281.1流形上的旋度公式和式极限证明:旋度公式 设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)构成向量场A在有向曲面S上有一阶连续偏导数,则 (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明(和式极限形式):定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) (2)其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值;设定参数u,v的变化范围0,/n -,0,2,其中n为任意常数,并且n 1;为任意常数或连续函数表达式,并且/n-,使曲面S非闭合(参见Poincare猜想:任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)19定义边界曲线L的参数表达式: cos(v), sin(v), (3)其中,为依存于a,b,c的常数(0,0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v的变化范围为0,2,边界曲线L闭合.(即 cos(v), sin(v), v0,2 构成依存于曲面S的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)18计算闭合边界曲线L的切向量(4):(4)设定边界曲线L的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (6)分割切向量(7): 即将(6)带入(4) (7) 分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (8)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(9):根据积分中值定理,抽象向量场(8)与切向量(7)的空间点积再乘以参数v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲线积分值(9) (9)2.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (10)(其中i为150的自然数)分割切向量(11): 即将(10)带入(4) (11)分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (12)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(13):根据积分中值定理,抽象向量场(12)与切向量(11) 的空间点积再乘以参数v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲线积分值(13) (13) 构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(dv*(idV1*idCL1+idV2*idCL2+idV3*idCL3),i=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即抽象向量场与切向量的空间点积在曲线L的所有50个 分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值(15): (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值:/该值随参数分割区间数量的无限增大,无限趋近于零 设定闭合边界曲线L的参数分割单元数量为不确定的自然数w (16)3.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (17)分割切向量(18): 即将(17)带入(4) (18) 分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (19)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在第一分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(20):根据积分中值定理,抽象向量场(19) 与切向量(18) 的空间点积再乘以参数v的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲线积分值(20): (20)4.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (21)(其中i为1w的自然数)分割切向量(22): 即将(21)带入(4) (22)分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) (23)/ 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性, 其在若干分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(24):根据积分中值定理,抽象向量场(23) 与切向量(22) 的空间点积再乘以参数v的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲线积分值(24) (24)构造有限和式(25):(在参数分割单元数量w不确定的情况下,抽象向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):(25)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(26):(在参数分割单元数量w趋于无穷的情况下,抽象向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = = 0 (26)根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵(27),获取曲面S的切平面法向量: =(27)从(27)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (28)计算抽象向量场 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 的旋度,并将其从直角坐标形式(29)转变为曲面S坐标形式(30):(29) (30)/在空间直角坐标系,抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的旋度为在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场旋度的六个组成单元,为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z皆含有子变量u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的曲面参数转换式为x = a sin(u)cos(v), y = b sin(u) sin(v), z = c cos(u)-与微分函数 (,),(,),(,) 的三个微分变量, 对应的坐标转换微分函数分别为 , 和 .“微分函数, 与坐标转换微分函数的乘积” (即两种微分函数的乘积) 构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的旋度./ 是”链式求导”还是”坐标转换”? / 如果是”链式求导”,根据”同链相乘,分链相加”的原则应为:/ 不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”, 解决的是抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)”如何求导” 、”求导方式”的问题;而这里是要将抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)旋度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个”问题”的性质和层次都是不同的,这里是”相乘”而不是”相加”,这是由坐标的空间属性决定的设定曲面S的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值): (31)5.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/n -: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (32)分割切平面法向量(33): 即将(32)带入(28) (33) 分割旋度(34): 即将(32)带入(30)(34)/由于抽象旋度的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S有定义, 则在曲面S的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为 计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值(35):根据积分中值定理, 旋度(34) 与切平面法向量(33) 的空间点积在第一分割单元的积分值6.曲面S的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/n -: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (36)(其中s和t均为150的自然数)分割切平面法向量(37): 即将(36)带入(28)(37)分割旋度(38): 即将(36)带入(30)/由于抽象旋度的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S有定义,则在曲面S的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(39):根据积分中值定理, 旋度(38) 与切平面法向量(37) 的空间点积在所有分割单元的积分值构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(40):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加 (即抽象旋度(38) 与切平面法向量(37) 的空间点积在曲面S的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(41) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)设定曲面S的参数分割单元数量为不确定的自然数w (42)7.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/n -: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (43)分割切平面法向量(44): 即将(43)带入(28) 分割旋度(45): 即将(43)带入(30)(45)/由于抽象旋度的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S有定义, 则在曲面S的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为 计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值(46):根据积分中值定理, 旋度(45) 与切平面法向量(44) 的空间点积在第一分割单元的积分值8.曲面S的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/n -: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (47)(其中s和t均为1w的自然数)分割切平面法向量(48): 即将(47)带入(28) (48)分割旋度(49): 即将(47)带入(30)/由于抽象旋度的普遍性和同质性,如果该抽象旋度在曲面S有定义,则在曲面S的某一或若干分割单元,该抽象旋度仍然可以被表述为计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(50):根据积分中值定理, 旋度(49) 与切平面法向量(48) 的空间点积在所有分割单元的积分值构造有限和式(51):(在参数分割单元数量w不确定的情况下,旋度(49)与切平面法向量(48)的空间点积在所有分割单元的积分值求和): 在Intel Celeron CPU E3400 2.6G (32位处理器), 1GB 内存 硬件环境下未能完成求和运算,有待系统性能进一步提高简化求和表达式,将曲面S的u参数区间由0,Pi/n-theta更换为0,Pi/2(省略n和theta两个变量),重新计算求和值以及极限值(52) = 0 (52)即在w 情况下,(26)=(52):=亦可表述为 (1), 证毕2.流形上的旋度公式和式极限数值模型:已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式 (1)其中,u0,v0,2; 以及积分向量场 (2)计算并验证流形上的旋度公式(和式极限).图1 单连通、可定向非闭合曲面（1）不规则、不对称解: 第一部分,自由空间环路积分和式极限实现:将变量u的右边界值带(即)入目标曲面参数表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):/ 与”公式证明” 设定对抽象单连通、可定向非闭合参数曲面a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)具有依存关系的边界曲线 cos(v), sin(v),不同,在”数值模型”中可以直接将变量u的边界值带入具体单连通、可定向非闭合参数曲面(1)的参数表达式,直接获得边界曲线参数表达式 (3)图2 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)计算闭合边界曲线L的切向量(4):设定边界曲线L的参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值): (5)1.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (6)分割切向量(7): 即将(6)带入(4) (7) 分割向量场: 即将(3)带入(2)以后,再带入(6) (8)计算边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(9):根据积分中值定理,向量场(8)与切向量(7)的空间点积再乘以参数v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲线积分值(9) (9)2.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (10)(其中i为150的自然数)分割切向量(11): 即将(10)带入(4) (11) 分割向量场: 即将(3)带入(2)以后,再带入(10) (12)计算边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(13):根据积分中值定理, 向量场 (12) 与切向量 (11) 的空间点积再乘以参数v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲线积分值(13) (13) 构建有限个(即50个)微观曲线积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(dv*(idV1*idCL1+idV2*idCL2+idV3*idCL3),i=1.dus):末尾的:替换为;即可获得)数列的累加 (即抽象向量场与切向量的空间点积在曲线L的所有50个 分割单元的积分值求和),获得流形上曲线积分值(15): (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值: 设定闭合边界曲线L的参数分割单元数量为不确定的自然数n (16)3.边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (17)分割切向量(18): 即将(17)带入(4) (18) 分割向量场(19): 即将(3)带入(2)以后,再带入(17) (19)计算边界曲线L的第一分割单元的微观曲线积分值(20):根据积分中值定理,向量场(19)与切向量(18)的空间点积再乘以参数v的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲线积分值(20): (20)4.边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分过程:分割参数v的取值区间0,2: dv = (21)(其中i为1n的自然数)分割切向量(22): 即将(21)带入(4) (22)分割向量场(23): 即将(3)带入(2)以后,再带入(21) (23)计算边界曲线L的所有分割单元的微观曲线积分值(24):根据积分中值定理, 向量场 (23) 与切向量 (22) 的空间点积再乘以参数v的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲线积分值(24) (24)构造有限和式(25):(在参数分割单元数量n不确定的情况下,向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和): (25)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(26):(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下, 向量场(23)与切向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = (26) 第二部份 自由曲面积分和式极限实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量(27): (27)从(27)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:(28)计算向量场(2)的旋度(29):设定曲面S的参数分割单元数量为50(可取任意自然数值): (30)5.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/2: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (31)分割切平面法向量(32): 即将(31)带入(28) 分割旋度(33): 即将(1)带入(29)以后,再带入(31) (33) 计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值(34):根据积分中值定理, 旋度(33) 与切平面法向量(32) 的空间点积在第一分割单元的积分值6.曲面S的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/2: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (35)(其中s和t均为150的自然数)分割切平面法向量(36): 即将(35)带入(28) 分割旋度(37): 即将(1)带入(29)以后,再带入(35) (37)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(38):根据积分中值定理, 旋度(37) 与切平面法向量(36) 的空间点积在所有分割单元的积分值构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(39):(由于该数列表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令sqn:=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus):末尾的:替换为;即可获得) 数列的累加 (即旋度(37) 与切平面法向量(36) 的空间点积在曲面S的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(40) (由于该累加结果表达式极长,已省略;在附件Mape程序样本中,将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的:替换为;即可获得) 将累加结果转化为浮点数值: 设定曲面S的参数分割单元数量为不确定的自然数n (41)7.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/2: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (42)分割切平面法向量(43): 即将(42)带入(28) 分割旋度(44): 即将(1)带入(29)以后,再带入(42) (44) 计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值(45):根据积分中值定理, 旋度(44) 与切平面法向量(43) 的空间点积在第一分割单元的积分值 (45)8.曲面S的所有分割单元的微观曲面积分过程:分割参数u的取值区间0,/2: du = 分割参数v的取值区间0,2: dv = (46)(其中s和t均为1n的自然数)分割切平面法向量(47): 即将(46)带入(28) 分割旋度(48): 即将(1)带入(29)以后,再带入(46) (48)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(49):根据积分中值定理, 旋度(48) 与切平面法向量(47) 的空间点积在所有分割单元的积分值构造有限和式(50):(在参数分割单元数量n不确定的情况下,旋度(48)与切平面法向量(47)的空间点积在所有分割单元的积分值求和): (50)有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲线积分值(51):(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下,旋度(48)与切平面法向量(47)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值) = (51)即在n 情况下,(26)=(51);流形上的旋度公式(和式极限)计算并验证完毕参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 2002.1 (P363-364,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P36-38,P213-229,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P172-175)4电动力学及其计算机辅助教学科学版 2007.8 (P1-47)5场论 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P13-17)6流体力学 冶金工业版 201