华罗庚解题思想的物理新议.doc

华罗庚解题思想的物理新议内蒙古根河林业局第四中学 綦开明前 言本文参阅了著名数学家华罗庚所著的数学归纳法一书（上海教育出版社出版），本着华罗庚的解题思想，对几个问题进行了分析，力求生动、具体。希望通过简单的分析，道出深刻含义。所选题目，皆是物理教学中的典型材料。拙文中，如有与华罗庚解题思想相违背之处，请各位老师斧正。华罗庚解题思想，围绕“退”字，给出了解决问题的基本方法，不仅赋予“转化法”以目标性，明确指出了思维的正确动态方向，而且内涵丰富、生动、具体、形象；易于把握、推广，利于认识或揭示事物的实质。本文分四个方面进行分析： 一、“退”成最简单最原始的问题。二、“退”，进而确认什么量是“不变”的量，对于解题至关重要。三、根据对称性来“退”。四、“退”，不妨理解为“去掉”造成问题复杂化的因素。 华罗庚解题思想的物理新议著名数学家华罗庚在分析解决问题规律时指出： “要学会把一个复杂问题退成最简单、最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了，想透了，”然后再“飞跃上升”，问题就迎刃而解了。“退”字道出了关键。但在分析物理问题时，如何“退”，怎样认识“退”呢？一、“退”成最简单、最原始的问题。人们认识客观的规律是：先从个别的、简单的特殊的事例中摸索出规律性，再从理论上分析证明规律的一般性，即“从特殊到一般”。而我们解决问题，则正是遵循这一规律，将一般的（复杂的）问题“退”为特殊的（简单的）问题。这恰是解决问题的重要方法。正如华罗庚指出的，“退”成最简单的，最原始的问题。【例一】 用铜导线弯成边长为L的闭和正方形线框，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，且线框的一条边与磁场方向成角，如图(1)所示，当线框以转速N绕与此条边平行的轴转动时，求正方形闭合电路所产生的最大感生电动势m =?分析 如果磁场与转轴垂直，电场中（线圈）产生的电动势的最大值=BS=2N L2B，而磁场与转轴平行时,则电路电动势 =0；这是初学者容易把握的两种特殊情形。 本题尽管不属于这两种特殊情形，但可以依据“退”的思路，进行转化。根据矢量运算法则，将磁感应强度B分解为两个量，如图（2）所示。垂直轴的分量B1 =BSin,它产生的最大电动势m =B1S=2NL2BSin；平行轴的分量B2, 它产生的电动势为零。由等效性,可知本题的解为m =2NL2Bsin。解决问题应把握关键。而从问题的最简单情形入手，是最佳途径之一。下面例子中，有较突出的反映。【例二】 两直杆a、b交角为，如图（3）所示，交点为A，若二杆各以垂直于自身的速度V1、V2沿着纸面运动，求交点A运动的速度的大小 （1990年第二届全国中学生力学竞赛试题）分析错误的解法认为：交点A的速度是简单的V1和V2的合成。那么，问题的实质究竟怎样？我们把问题“退”成简单情形。考虑“b杆不动，a杆以V1的速度运动。”假如还不清楚，则再“退”。考虑“b不动，a杆沿本杆的方向以速1运动；或者a杆以平行b杆方向的速度1运动”如图（4）和（5）所示。前者交点A的速度为零，后者交点A的速度就是V1显而易见，交点的速度由哪两个速度的合成：将速度和分别沿“本杆的方向”和“平行另一个杆”的两个方向分解，如图（6）所示。交点A的速度应是V1和V2的合成。其中：V1= V1 / sin , V2= V2 / sin .由余玄定理可知本题答案：可见，善于“退”，认识到问题的特殊性，再将“特殊”与“一般”联系起来，问题就迎刃而解了。二、“退”，进而确认什么量是“不变”的量，对于解决问题至关重要。有些物理问题，什么量是“不变”的难以确定，因而不能获得解答，此时不妨“退”一步。一步之“退”，往往使人茅塞顿开。【例三】 如图（7）所示，当电容器两板间距离d增大时，极板所带电量Q，两板间电压U，板间的电场强度E的变化情况是怎样的？分析 本题中，先确认哪个量“不变”是关键。错误的分析认为，板间电压U保持不变。这事实上是在电路中没有二极管情形下的结果。那么，这里什么量“不变”呢？不妨“退”一步，考虑电路中没有二极管的情形。电压U不变，由公式C = S / 4kd 可知，板间距d增大，C减小；再由公式C = Q / U，可知Q减小，即电容器放电。问题认识到这一步，再考虑电路加上二极管的情形，恢复原电路。根据二极管的单向导电性，放电无法进行，Q应保持不变。确认了这个实质性结果，继而易知本题U增大，而E = 4kQ /S不变。事实证明，这种“退”法，很有效，学生容易接受和把握。三、根据对称性来“退”“退”有奇妙的作用，但“退”必须适宜。以相应的条件为根据，在观察联想的基础上，遵循适宜的规律或性质，才能“退”得恰到好处，更有效地实现“退”的目的。【例四】 如图（8）所示，两个正方形细导线框1和2，边长都是L ，在每个框的一对对角上接有短电阻丝（图中用黑线表示），阻值r1=r1= r2= r2= r，其余部分电阻不计两框叠放在水平面上，对应边相互平行，交叠点和位于所在边的中点，而且接触良好，便于导电，在交叠区域内存在竖直向上的匀强电场（交叠区域的导线恰好在磁场边缘以内），磁感应强度为设磁场在很短时间t内均匀减小为零求流过电阻r1和r2的电流I1和I2 (引自94年全国普通高校招生考试上海试题)分析 如果本题中交叠点A、C是绝缘接触，学生不难得知1和2两框的电动势均为= / t = BL2 / 4t,因而I1 =I2 =/ 2 r = BL2 / 8rt ,方向向下.但是，由于交叠点A、C不绝缘，有良好的导电性，因而题目中出现了几个交织在一起的导电回路，与学生平常所研究的情况有较大的差别，如果没有相应的措施分析清楚，学生所产生的困惑将很难解开。不难发现，本电路存在着特定的对称性。能否根据对称性将电路“退”成平常情形呢？依据电路的对称性，交叠点A、C的电势相等，原电路可以“退”成图（9）所示的情形，因而处理成“大回路”和“小回路”，实现了向平常的转化，困难自然也就消失了。本题最终答案，与所分析的绝缘情形完全相同。四、“退”不妨理解为“去掉”造成复杂化的因素复杂问题之所以复杂，常常是因为比“平常”多了附加因素造成的，如果采用直觉思维去掉它，或者说，将整体分割成局部，然后再考虑事物的内在联系，问题往往就简单了。 【例五】 如图（10）所示电路中，R1 / R2 =2 / 3 ，R3为滑动变阻器，滑动触头C由 a向b滑动时（ ）A、灯泡亮度不改变。B、变阻器上、下部分电路为Ra / Rb =2 / 3时，灯泡熄灭。C、Ra / Rb =3 / 2时，灯泡熄灭。D、灯泡总是由亮变暗。分析 本题之所以复杂，是由于“灯泡支路”与“主体电路”的结合。而灯泡的亮暗取决于a、b两点之间的电势差，这是研究本题的基本依据。但本题不容易直接分析。如果考虑去掉“灯泡支路”，如图（11）所示，问题则“退”归平常。此时a 、b两点的电势差的大小，仍然是电路复原后，灯泡亮暗的根本原因。显然，a b两点的电势在Ra / Rb =2 / 3 时相等，所以此时接上灯泡，将不亮。故应选答案B. 而c由a滑向b,灯泡由亮变暗至熄灭，然后又变亮。可见，合理地“去掉”，亦可以回归平常。解决问题可采用多种方法：如等效法、类比法、设想法、逆向思维法等。但究其实质，这些方法都可以归结到“退”的理念上来。掌握“退”的理念，