高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性学案 苏教版必修4.doc

13三角函数的图象和性质13.1三角函数的周期性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数yasin(x)及yacos(x)的周期知识链接1观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式sin(x2k)sin x(kz)当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现2设f(x)sin x，则sin(x2k)sin x可以怎样表示？答f(x2k)f(x)，这就是说：当自变量x的值增加到x2k时，函数值重复出现预习导引1函数的周期性(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x知ysin x与ycos x都是周期函数，2k(kz且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.3yasin(x)，yacos(x)的周期一般地，函数yasin(x)及yacos(x)(其中a，为常数，且a0，0)的周期t.要点一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)ysin(xr)；(2)y|sin 2x|(xr)解(1)方法一令z2x，xr，zr.函数f(x)sin z的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zr)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数f(x)sin(xr)的周期是.方法二f(x)sin的周期为.(2)作出y|sin 2x|的图象由图象可知，y|sin 2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“xt”时函数值重复出现，则可得t是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法：对于形如函数yasin(x)，0(或yacos(x)，0)的周期求法通常用公式t来求解对于形如y|asin x|(或y|acos x|)的周期情况常结合图象法来解决跟踪演练1求下列函数的最小正周期(1)ycos 2x；(2)ysin x；(3)y2sin.解(1)定义法：令u2x，则cos 2xcos u是周期函数，且最小正周期为2.cos(u2)cos u，则cos(2x2)cos 2x，即cos2(x)cos 2x.cos 2x的最小正周期为.公式法：2，t，故ycos 2x的最小正周期为.(2)如果令ux，则sin xsin u是周期函数，且最小正周期为2.sinsin，即sinsin x.ysin x的最小正周期是4.(3)2sin2sin，即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.要点二三角函数周期性的应用例2定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值解f(x)的最小正周期是，ffff(x)是r上的偶函数，ffsin .f.规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪演练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解因f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.1函数y3sin1的最小正周期是_答案2已知f(x)cos的最小正周期为，其中0，则_.答案10解析t10.3已知f(x)是r上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f(8)_.答案2解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.4已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.答案解析由已知f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数f(5)f(1)5，于是f(f(5)f(5)f(1).求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xt)f(x)成立的t.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出t.如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yasin(x)或yacos(x)(其中a、为常数，a0，0，xr)的周期t.一、基础达标1函数f(x)cos(2x)的最小正周期是_答案解析最小正周期为t.2函数ysin的最小正周期是，则_.答案3解析，|3，3.3函数f(x)cos x，则f(2 016)_.答案1解析f(x)cos x的周期t12.f(2 016)f(1671212)f(12)cos cos 21.4函数y3sin的最小正周期为_答案解析t.5已知函数f(x)8sin2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是_答案7解析由已知3，|k|2，而k0，k2，正整数k的最小值是7.6若函数f(x)2cos的最小正周期为t，且t(1,3)，则正整数的最大值是_答案6解析由已知t，10，2.又n*，3,4,5,6，的最大值为6.7若函数f(x)sin (nz)，求f(97)f(98)f(99)f(102)的值解sin sinsin(nz)，f(n)f(n12)，即函数f(x)的周期t12.971281,1021286，f(97)f(98)f(99)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)sin sin sin sin sin sin 102.二、能力提升8已知奇函数yf(x)(xr)，且f(x)f(x4)，f(1)2，则f(2)f(3)f(4)_.答案2解析yf(x)为奇函数，且在x0有定义，f(0)0，f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2.f(2)f(2)f(2)，f(2)0.f(2)f(3)f(4)0(2)02.9已知定义在r上的函数f(x)满足f(x1)，且当x0,1时，f(x)2x，则f(7.5)_.答案解析f(x1)，f(x2)f(x)，f(7.5)f(80.5)f(0.5)，又x0,1时，f(x)2x，则f(0.5)20.5.10已知函数f(x)对于任意xr满足条件f(x3)，且f(1)，则f(2 014)_.答案2解析因为f(x6)f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2 014)f(4)2.11设f(x)是定义在r上且最小正周期为的函数，在某一周期上f(x)求f的值解f(x)的周期为，fff.00，sin x0，xk，kz.函数的定义域为x|xk，kz0|sin x|1，log|sin x|0，函数的值域为y|y0(2)f(x)log|sin(x)|log|sin x|f(x)，函数f(x)是周期函数，且最小正周期是.三、探究与创